第二章 2.3.2　两点间的距离公式

6第二章2.3直线的交点坐标与距离公式2.3.2两点间的距离公式【素养导引】1.掌握两点间的距离公式及其应用.(数学运算)2.能用坐标法证明简单的几何问题.(逻辑推理、数学运算)一、两点间的距离公式P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点间的距离公式为|P1P2|=(x【批注】用两点间的距离公式时需要注意以下几点(1)此公式与两点的先后顺序无关,也就是说,公式也可写成|P1P2|=(x(2)当直线P1P2平行于x轴时,|P1P2|=|x2-x1|.(3)当直线P1P2平行于y轴时,|P1P2|=|y2-y1|.[诊断]1.(教材改编题)已知M(2,1),N(-1,5),则|MN|等于 ()A.5 B.37 C.13 D.4【解析】选A.|MN|=(2+1)22.(教材改编题)已知点A(1,2),点P是y轴正半轴上一点,且|PA|=10,则点P的坐标为__________.

【解析】设P(0,y),y>0,由|PA|=(1−0)2+(2−y)2=10,得y答案:(0,5)二、利用“坐标法”解决平面几何问题的基本步骤第一步:建立坐标系,用坐标表示有关的量.第二步:进行有关代数运算.第三步:把代数运算的结果“翻译”成几何结论.学习任务一求两点间的距离(数学运算)1.已知三角形的三个顶点为A(2,4),B(3,-6),C(5,2),则过点A的中线的长为 ()A.10 B.210C.112 D.310【解析】选B.设边BC的中点为D,则D(4,-2),过点A的中线长,即|AD|=(2−4)2+(4+22.已知点A(-3,4),B(2,3),点P是x轴上一点,且|PA|=|PB|,则点P的坐标为__________.

【解析】设点P(x,0),则有|PA|=(x+3)|PB|=(x−2)由|PA|=|PB|,得x2+6x+25=x2-4x+7,解得x=-95.即所求点P坐标为-95,0.答案:-95,0两点间距离公式的关注点(1)适用范围:任意两点;(2)特殊情况:当两点所在直线与坐标轴平行时结合图形求解会更便捷.学习任务二距离公式的应用(数学运算)【典例1】已知△ABC的顶点为A(-3,1),B(3,-3),C(1,7).(1)求BC边上的高AD所在直线的方程;(2)证明:△ABC为等腰直角三角形.【解析】(1)因为直线BC的斜率kBC=7+31−3所以BC边上的高AD所在直线的斜率kAD=15所以BC边上的高AD所在直线的方程为y-1=15(x+3),即x-5y+8=0(2)因为|AB|=[3−(−3)]2+(−3−1|BC|=(1−3)2+[7−(−3)|AC|=[1−(−3)]2+(7−1所以|AB|2+|AC|2=|BC|2,且|AB|=|AC|,所以△ABC为等腰直角三角形.本例中,若△ABC的顶点坐标改为:点A(-3,0),B(3,-2),C(-1,2),试判断三角形的形状.【解析】因为|AB|=(−3−3)2+(0+2|AC|=(−3+1)2+(0−2)2=8,|BC|=(3+1)2+(−2−2)|BC|2=|AB|2,所以△ABC是直角三角形.判断三角形的形状的解题策略(1)先采用数形结合的方法,大致明确三角形的形状,以确定证明的方向.(2)根据两点间的距离公式分别求出三边的长,确定是等腰、等边,还是直角三角形.已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(1,-1),B(-1,3),C(3,0).(1)判断△ABC的形状;(2)求△ABC的面积.【解析】(1)如图所示,△ABC为直角三角形,下面进行验证.因为|AB|=(−1−1)2+[3−(−1)|AC|=(3−1)2+[0−(−1)|BC|=[3−(−1)]2所以|AB|2+|AC|2=|BC|2,即△ABC是以A为直角顶点的直角三角形.(2)由(1)得|AB|=25,|AC|=5.又因为∠A=90°,所以S△ABC=12|AB||AC|=12×25×5学习任务三坐标法的应用(数学运算)【典例2】已知在正方形ABCD中,E,F分别是BC,AB的中点,DE,CF相交于点G,用坐标法求证:|AG|=|AD|.【证明】建立如图所示的平面直角坐标系,设正方形的边长为2,则B(0,0),C(2,0),A(0,2),E(1,0),F(0,1),D(2,2).易得直线DE的方程为y=2x-2,直线CF的方程为y=-12x联立得y=2解得x=65,y=2即点G65,25,所以|AG|=(65−0)

用坐标法证明平面几何问题时的关注点(1)解题关键:结合图形的特征,建立恰当的平面直角坐标系.(2)建系原则:①让尽可能多的点落在坐标轴上;②如果条件中有互相垂直的两条线,要考虑将它们作为坐标轴;如果图形为中心对称图形,可考虑将中心作为原点;如果有轴对称性,可考虑将对称轴作为坐标轴.提醒:证明过程中要不失一般性.在△ABC中,AO是BC边上的中线,用坐标法求证:|AB|2+|AC|2=2(|AO|2+|OC|2).【证明】以BC的中点O为坐标原点,BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系,如图,则O(0,0),设B(-a,0),C(a