十四　两条直线平行和垂直的判定

7十四两条直线平行和垂直的判定1.若直线l1的倾斜角为135°,直线l2经过点P(-2,-1),Q(3,-6),则直线l1与l2的位置关系是 ()A.垂直 B.平行C.重合 D.平行或重合【解析】选D.由题意,直线l2的斜率为-1,所以直线l2的倾斜角也为135°,故直线l1与l2平行或重合.2.已知直线l1经过A(3,4),B(8,-1)两点,直线l2的倾斜角为45°,那么l1与l2 ()A.垂直 B.平行C.重合 D.相交但不垂直【解析】选A.因为直线l1经过A(3,4),B(8,-1)两点,所以直线l1的斜率k1=4+13-因为直线l2的倾斜角为45°,所以直线l2的斜率k2=tan45°=1,所以k1·k2=-1,所以l1⊥l2.3.已知点A(2,3),B(-2,6),C(6,6),D(10,3),则以A,B,C,D为顶点的四边形是 ()A.梯形 B.平行四边形C.菱形 D.矩形【解析】选B.先画出四边形ABCD的大致图形,如图所示,由斜率公式得kBC=kAD=0,kAB=kCD=-34,所以四边形ABCD为平行四边形4.已知△ABC的两顶点坐标为B(2,1),C(-6,3),其垂心为H(-3,2),则顶点A的坐标为()A.(-19,-62) B.(19,-62)C.(-19,62) D.(19,62)【解析】选A.设A的坐标为(x,y),由已知得,AH⊥BC,BH⊥AC,且直线AH,BH的斜率存在,所以k即y解得x即顶点A的坐标为(-19,-62).5.(多选题)设点P(-4,2),Q(6,-4),R(12,6),S(2,12),则有 ()A.PQ∥SR B.PQ⊥PSC.PS∥QS D.PR⊥QS【解析】选ABD.由斜率公式知,kPQ=-4-26+4=-35,kSRkPS=12-22+4=53,kQS=12+42-6=-4,kPR=6-212+4=14,所以PQ∥SR,PQ⊥PS,PR⊥QS.而6.(多选题)已知直线l1经过点A(3,a),B(a-1,2),直线l2经过点C(1,2),D(-2,a+2).若l1⊥l2,则a的值可以是 ()A.-4 B.-3 C.3 D.4【解析】选AC.设直线l1的斜率为k1,直线l2的斜率为k2,则k1=a-23-(a-1)=a若l1⊥l2,①当k2=0时,此时a=0,k1=-12②当k2≠0时,l1的斜率存在,此时k1=2-由k1k2=-1,可得2-aa-4·(-a3)=-1,解得a=3或a=-4.所以当a=3或a=-4时,7.已知△ABC中,A(0,3),B(2,-1),E,F分别是AC,BC的中点,则直线EF的斜率为__________.

【解析】根据三角形的中位线定理,得EF∥AB,所以kEF=kAB=3-(-1答案:-28.已知△ABC的顶点坐标分别为A(1,2),B(-1,1),C(0,2),则BC边上的高所在直线的斜率为__________,倾斜角为__________.

【解析】设BC边上的高所在直线的斜率为k,则有k·kBC=-1.因为kBC=2-10-(-所以BC边上的高所在直线的倾斜角为135°.答案:-1135°9.判断下列各题中l1与l2是否垂直.(1)l1经过点A(-1,-2),B(1,2);l2经过点M(-2,-1),N(2,1);(2)l1的斜率为-10;l2经过点A(10,2),B(20,3);(3)l1经过点A(3,4),B(3,10);l2经过点M(-10,40),N(10,40).【解析】(1)k1=2-(-k2=1-(-1)k1k2=1,所以l1与l2不垂直.(2)k1=-10,k2=3-220-10=110所以l1⊥l2.(3)由A,B的横坐标相等得l1的倾斜角为90°,则l1⊥x轴.k2=40-4010-(-10)=0,则l2∥x轴,所以10.已知点M(2,2),N(5,-2),点P在x轴上,分别求满足下列条件的点P的坐标.(1)∠MOP=∠OPN(O是坐标原点);(2)∠MPN是直角.【解析】(1)因为∠MOP=∠OPN,所以OM∥NP,所以kOM=kNP.设P(x,0),又kOM=2-02-0=1,kNP所以1=2x-5即点P的坐标为(7,0).(2)因为∠MPN为直角,所以MP⊥NP,根据题意知MP,NP的斜率均存在,所以kMP·kNP=-1.设P(x0,0),则kMP=22-x0,k所以22-x解得x0=1或x0=6,即点P的坐标为(1,0)或(6,0).11.满足下列条件的直线l1与l2,其中l1∥l2的是 ()①l1的斜率为2,l2过点A(1,2),B(4,8),且l1不经过A点;②l1经过点P(3,3),Q(-5,3),l2平行于x轴,但不经过P点;③l1经过点M(-1,0),N(-5,-2),l2经过点R(3,2),S(5,3).A.①② B.②③C.①③ D.①②③【解析】选D.由斜率公式,①中,直线l2的斜率也为2,故l1∥l2;②中,直线l1的斜率也为0,故l1∥l2;③两条直线的斜率均为12,故两直线平行12.已知两点A(2,0),B(3,4),直线l过点B,且交y轴于点C(0,y),O是坐标原点,且O,A,B,C四点共圆,则y的值是 ()A.19 B.194 C.5 D.【解析】选B.由O,A,B,C四点共圆可以得出四边形OABC的对角互补,又由题意得∠COA=90°,所以∠CBA=90°,所以AB⊥BC,所以kAB·kBC=-1,即4-03-2·413.已知A(1,-1),B(2,2),C(3,0)三点,若CD⊥AB,且CB∥AD,则点D的坐标为__________.

【解析】设D(x,y),则kCD=yx-3,kAB=3,kCB=-2,kAD因为CD⊥AB,CB∥AD,所以kCD·kAB=-1,kAD=kCB,所以y解得x所以点D的坐标为(0,1).答案:(0,1)14.已知正方形ABCD的边长为4,若E是BC的中点,F是CD的中点,则BF与AE的位置关系是__________.

【解析】建立平面直角坐标系,如图所示,则B(4,0),E(4,2),F(2,4),A(0,0),所以kAE=24=12,kBF=4又kAE·kBF=12所以AE⊥BF.答案:垂直15.已知A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点,顺次连接A,B,C,D四点,试判断图形ABCD的形状.【解析】A,B,C,D四点在平面直角坐标系中的位置如图:由斜率公式可得kAB=5-32kCD=0-3-3-6=1kBC=3-56所以kAB=kCD,由图可知AB与CD不重合,所以AB∥CD.因为kAD≠kBC,所以AD与BC不平行.又kAB·kAD=13所以AB⊥AD.故四边形ABCD为直角梯形.16.直线l的倾斜角为30°,点P(2,1)在直线l上,直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置,此时直线l1与l2平行,且l2是线段AB的垂直平分线,其中A(1,m-1),B(m,2),则m的值为__________.

【解析】如图,