浙教版七年级数学培优竞赛微专题训练：求不定方程整数解几种方法

浙教版七年级数学培优竞赛微专题训练：不定方程整数解一次不定方程“ax+by=c”的非负整数解————倍数分析**思考：5x+7y=50有多少组解？整数解呢？正整数解呢？*方程5x+7y=49的正整数解有_____个。**方程6x+22y=90非负整数解有_____个。**方程3x+21y=231的正整数解有_____个。***方程17x+27y=530的正整数解有_____个。***若a,b均为正整数，且2a>b，2a+b=80,则满足条件的b的值有____个。***已知x,y是非负整数，且使的解是整数，那么这样的数对（x,y）有_____个。小结：用倍数方式分析，事半功倍。找到合适的倍数主要看a，b，c特点。***陈老师给42名学生每人买了一件纪念品，其中有：每支12元的钢笔，每把4元的圆规，每册16元的词典，一共用了216元，则陈老师买了钢笔____支，词典_____册。****某人用2018元钱买了甲，乙，丙三种物品，甲每个7元，乙每个5元，丙每个6元。三种物品一共有320个，而且每种物品至少一个，不同的买法一共有_____种。小结：处理方程组，一般都是运用转化思想消元成方程，变陌生为熟悉。但是选择消哪个元，对后续的操作有很大的影响。对原始模型结构特点的认知非常重要。高次不定方程的整数解①-------因式分解法**若x,y是正整数且xy+x+y=54,则x+y=_______。2、**设正整数x,y满足xy-4x-4y+21=0,则x2+y2=_______.3、***已知整数x,y满足15xy=21x+20y-13,则xy=_______。***方程的整数解有_______个。***若正整数a,b,c满足a+2bc=,则a+b+c的最大值=_______.****整数x,y满足方程2xy+x+y=83,则x+y=______。****整数x,y满足方程3xy+x+2y=5,则x+y=______。小结：运用转化思想变成一次，因式分解是一种重要手段。以上基本采用分组分解法，同样对模型“axy+bx+cy”这种结构的熟悉，能够快速形成解题策略，加快你的解题速度和命中率。***已知a,b.c都是正整数并且a+b+c=55,a-bc=-8,则abc的最大值等于___。****若整数x,y,z满足方程组，则xyz=______.****若整数x,y,z满足方程组，则xyz=_____.小结：消元不一定顺利，即使消了也不一定有用。不忘初心：因式分解高次不定方程的整数解②-------平方差公式法**方程a2=16+b2的正整数解有_____个。***方程x2-y2=105的正整数解有_____个。***若x,y都是正整数，x是6的倍数，且x2-y2=2016,这样的x,y共有___组。4、***将2013表示成两个三位的正整数的平方差，这两个三位数中较大的一个数是___.5、***若x是自然数，x+13和x-76都是完全平方数，求x的值。小结：用平方差公式因式分解，你知道操作过程中与分组分解有什么不同吗？6、****2018能表示成两整数的平方差形式吗？2019呢？你知道哪些正整数不能表示成两个整数平方差形式吗？7、***1—100这100个数中，能表示成两个整数平方差形式的数有____个，它们的和为___.8、****某校举行春季运动会，由若干名同学组成一个8列的长方形队列。如果原队列中增加120人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少120人，也能组成一个正方形队列，问原长方形队列有多少同学。9、*****我们把能表示成两个正整数平方差形式的正整数从小到大排列，例如a1=22-11=3，a2=32-21=5，a3=42-31=7，则a1+a2+a3+……+a100=_______10、*****非负整数x,y满足（xy-7）2=x2+y2,写出所有非负整数对(x,y)。小结：平方差公式求整数解，这个考点贯穿整个初中，后续会更复杂。分式不定方程的整数解-------分离整系数法**若正整数x,y满足：，则符合条件的x的值有______个。***若分式是整数，则满足条件的整数x有______个。***若分式是整数，则满足条件的整数x有______个。***已知x为非负整数，且分式的值是整数，则x可取的值有____个。****已知m,n都是正整数，且是整数，则的最大值为_______。小结：不定方程整数解，分离整系数这种方法强大到令人发指。但是对于运算能力不足的学生而已，此法很容易算错。方程的变形能力，变形方式，搞清楚为什么要这样变尤为重要，死记硬背效果肯定不好。***若整数x,y满足4xy+3y-8x=0，则x+y=_______。7、****若正整数x,y满足：，则符合条件的x,y的值有______组。8、****设分式不是最简分数，那么正整数n的最小值=_________9、****使是自然数的正整数n有______个。小结：把以上题型弄清楚，尤其是为什么要这样变，对你以后学习有很大帮助。9、***设正整数x≠y，且满足，则x+y的值是______。10、***方程的非负整数解共有______组。11、****方程的整数解共有______组。总结：去分母后，刚好符合分组分解的格式。含参数方程（组）的整数解-------参数综合法**已知关于x的方程9x-3=kx+14有整数解，求所有满足条件整数k的值的和。***已知关于x的方程ax+3=2(x-a)的解是正整数，求整数a的值。***若方程有一个正整数解，则m取的最小正数是______。***若k为整数，则使方程(k-1999)x=2016-2000x的解也是整数的k的值有_____个。 小结：当你把整参数看成另一个未知数时，就变成不定方程整数解类型了。倍数关系，因式分解法，分离整系数法爱用哪种用哪种。***已知二元一次方程组解为正整数，求正整数m的值。***m为正整数，已知二元一次方程组有整数解，即x,y均为整数，求m的值。***已知关于x,y的二元一次方程组的解都是正整数，求整数m的值^_^。8