陕西省宝鸡市金台区2020-2021学年高一上学期期末考试数学试卷

20202021学年度第一学期期末检测题高一数学（必修2）注意事项：1.答卷前，考生将答题卡有关项目填写清楚.2.全部答案在答题卡上作答，答在本试题上无效.一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若点A是点关于x轴对称的点，点C是点关于y轴对称的点，则等于（）A.5 B. C.10 D.————B分析：求出点A，C的坐标，利用空间两点距离公式求解．解答：点是点关于轴对称的点，∴，同理．∴．点拨：本题主要考查了空间两点距离公式：，，则．2.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为（）A. B. C. D.————D答案：D左视图即是从正左方看，找特殊位置的可视点，连起来就可以得到答案．3.到直线3x－4y＋1＝0的距离为3，且与此直线平行的直线方程是()A.3x－4y＋4＝0B.3x－4y＋4＝0或3x－4y－2＝0C.3x－4y＋16＝0D.3x－4y＋16＝0或3x－4y－14＝0————D在直线3x－4y＋1＝0上取点(1,1)．设与直线3x－4y＋1＝0平行的直线方程为3x－4y＋m＝0，则，解得m＝16或m＝－14，即所求直线方程为3x－4y＋16＝0或3x－4y4.平面与平面平行的条件可以是（）A.内有无穷多条直线与平行B直线，C.直线，直线，且，D.内的任何直线都与平行————D分析：根据面面平行的判定定理与性质，逐项判断，即可得出结果.解答：当内有无穷多条直线与平行时，与可能平行，也可能相交，故不选A.当直线时，与可能平行，也可能相交，故不选B.当直线，直线，且时，与可能平行，也可能相交，故不选C.当内的任何直线都与平行时，由两个平面平行的判定定理可得，这两个平面平行，故选D.点拨：本题主要考查判断面面平行的条件，熟记面面平行的判定定理即可，属于常考题型.5.已知过点和点的直线为，，．若，，则的值为（）A. B. C.0 D.8————A分析：利用直线平行垂直与斜率的关系即可得出．解答：∵l1∥l2，∴kAB＝＝－2，解得m＝－8．又∵l2⊥l3，∴×(－2)＝－1，解得n＝－2，∴m＋n＝－10．故选A．点拨：本题考查了直线平行垂直与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.已知、是平面，、是直线，下列命题中不正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则————A分析：根据已知条件判断直线、的位置关系，可判断A选项的正误；利用线面垂直的性质可判断BC选项的正误；利用面面垂直的判定定理可判断D选项的正误.解答：对于A选项，若，则直线与平面内的直线平行或异面，由于，则直线、平行或异面，A选项错误；对于B选项，若，，则，B选项正确；对于C选项，若，，则，C选项正确；对于D选项，若，，由面面垂直的判定定理可知，D选项正确.故选：A.点拨：方法点睛：对于空间线面位置关系的组合判断题，解决的方法是“推理论证加反例推断”，即正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明，错误的结论需要通过举出反例说明其错误，在解题中可以以常见的空间几何体（如正方体、正四面体等）为模型进行推理或者反驳．7.已知是异面直线，直线平行于直线，那么与（）A.一定是异面直线 B.一定是相交直线C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线————C分析：解答：如图：设，为两个相交于直线的平面，其中，平面；，平面，且.A、D项，如图中满足题设条件，但与是相交直线，故A、D项错误；B项，如图中满足题设条件，但与是异面直线，故B项错误；C项，假设，则由可知，这与、异面矛盾，所以与不可能平行，故选C.8.如图，正方形的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形用斜二测画法得到的直观图，则原图形的周长是（）A.8cm B.6cm C. D.————A分析：将直观图还原为平面图形平行四边形，然后计算．解答：解：将直观图还原为平面图形，如图所示.＝，，所以，所以原图形的周长为8cm故选：A.点拨：本题考查斜二测画法，掌握斜二测画法的定义是解题关键．根据斜二测画法的定义才能根据直观图中直线的位置关系确定原图形中直线的位置关系，从而解决原图形中的问题．9.若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（）A. B. C. D.————B分析：由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为，可得圆的半径为，写出圆的标准方程，利用点在圆上，求得实数的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离.解答：由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为，则圆的半径为，圆的标准方程为.由题意可得，可得，解得或，所以圆心的坐标为或，圆心到直线的距离均为；圆心到直线的距离均为圆心到直线的距离均为；所以，圆心到直线的距离为.故选：B.点拨：本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.10.如图，三棱柱中，侧棱底面，底面三角形是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是（）A.与是异面直线 B.平面C.AE，为异面直线，且 D.平面————C分析：根据异面直线定义可判断A；由线面垂直的性质即可判断B；由异面直线的位置关系并得可判断C；根据线面平行的判定定理可判断D.解答：对于A项，与在同一个侧面中，故不是异面直线，所以A错；对于B项，由题意知，上底面是一个正三角形，故平面不可能，所以B错；对于C项，因为，为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线，由底面是正三角形，E是BC中点，根据等腰三角形三线合一可知，结合棱柱性质可知，则，所以C正确；对于D项，因为所在的平面与平面相交，且与交线有公共点，故平面不正确，所以D项不正确.故选C.点拨：该题考查的是有关立体几何中空间关系的问题，在解题的过程中，需要对其相关的判定定理和性质定理的条件和结论熟练掌握，注意理清其关系，属于中档题11.若直线：与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（）A. B. C. D.————D分析：联立两直线方程得到一个二元一次方程组，求出方程组的解集即可得到交点坐标，根据交点在第一象限得到横纵坐标都大于，联立得到关于的不等式组，求出解集即可得到的范围，然后根据直线的倾斜角的正切值等于，根据正切函数得到倾斜角的范围.解答：联立两直线方程得：，得，所以两直线的交点坐标为，因为两直线交点在第一象限，所以得到，解得，即，设直线的倾斜角为，则，所以，故选：D.点拨：求斜率可用k＝tanα(α≠90°)，其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段，90°是分界，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”．12.已知为圆C:上任意一点，则的最大值为（）A.2 B. C. D.0————C分析：首先确定圆的圆心和半径，然后结合斜率的几何意义求解的最大值即可.解答：圆的方程即：，圆心坐标为，半径为，代数式表示圆上的点与定点连线的斜率，设过点的直线方程为，与圆的方程联立可得：，考虑临界条件，令可得：，则的最大值为.本题选择C选项.点拨：本题主要考查等价转化的数学思想，直线与圆的位置关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.当a为任意实数时，直线ax－y＋1－3a＝0恒过定点_____————(3,1)分析：解答：将化为，即该直线恒过点.14.长方体长，宽，高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为__________.————长方体的体对角线长为球的直径，则，，则球的表面积为.15.一块正方形薄铁片的边长为4cm，以它的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形（如图）.用这块扇形铁片围成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的容积等于______.————分析：设圆锥的底面圆的半径为，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到,然后根据勾股定理计算圆锥的高．即可求解几何体的体积．解答：由题,设圆锥的底面圆的半径为,因为圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,故.又圆锥的母线长为4,故圆锥的高.故容积.故答案为：点拨：本题主要考查了圆锥的体积计算,需要根据母线长与高和底面半径的勾股定理进行求解高,属于基础题型.16.两圆相交于两点和，两圆圆心都在直线上，且、均为实数，则__________．————分析：设两圆交点为和，根据题意可知：直线是线段的垂直平分线，故可求得所在直线斜率，进而求得，在利用中点公式和的值求出线段中点，代入，即可求出的值，即可得的值.解答：由题意可知：直线时线段的垂直平分线，又直线的斜率为，则，且，解得，则，故答案为：三、解答题：本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知圆过点，半径为，且圆关于直线对称，圆心在第二象限．（1）求圆的方程.（2）已知不过原点的直线与圆相切，且在轴、轴上的截距相等，求直线的方程.————（1）；（2）或．分析：（1）根据已知条件设圆的方程，及圆心坐标，根据题干列出方程，即可求解；（2）由截距相等且不过原点可设出直线的截距式，再根据与圆相切，圆心到直线距离等于半径，确定直线方程.解答：（1）设圆，圆心为，且由题意有，且，解得，圆的方程为；（2）设，即．直线与圆相切，由，得或．直线l的方程为或．点拨：处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．18.如图，中，，是边长为的正方形，平面⊥平面，若、分别是、的中点．（1）求证：平面；（2）求证：⊥平面．————（1）证明见解析；（2）证明见解析.分析：（1）连接，可知为的中点，利用中位线的性质可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）利用面面垂直的性质定理可得出平面，可得出，再利用勾股定理可得出，利用线面垂直的判定定理可证得结论成立.解答：（1）证明：连接．四边形为正方形，为中点，为的中点，又为的中点，所以，，平面，平面，平面；（2）证明：四边形为正方形，，因为平面⊥平面，平面平面，平面，平面，平面，，，由勾股定理可得，，，平面.点拨：方法点睛：证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面），解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形（或给出线段长度，经计算满足勾股定理）、直角梯形等等．19.如图，在三棱锥中，，，，，为线段的中点，为线段上一点．（1）求证：平面平面；（2）当面时，求三棱锥的体积．————（1）证明见解析；（2）．分析：（1）根据线面垂直证明面面垂直，（2）由面，可知，故以为底面，为高求三棱锥体积.解答：（1）证明：由，为线段的中点，可得，由，，，可得平面，又平面，可得又所以平面，平面，所以平面平面；（2）解：平面，平面，且平面平面，可得，又为的中点，可得为的中点，且，由平面，可得平面，可得，则三棱锥的体积V=．20.已知点，圆：.（1）若直线过且被圆截得的弦长为，求直线的方程；（2）点，，点是圆上的任一点，求点到直线的距离的最小值．————（1）或；（2）．分析：（1）求出圆的圆心坐标及半径，直线斜率不存在时直线方程为：，利用勾股定理验证是否符合题意；当直线斜率存在时，设出直线方程并利用弦长及勾股定理求出斜率即可得解；（2）求出直线MN的方程，求出圆心到直线的距离d，圆上