2022年北京大学强基计划笔试高三数学试题（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2022年北京大学强基计划笔试高三数学试题1.已知2n+1与3n+1均为完全平方数且n不超过2022，则正整数2.已知凸四边形ABCD满足∠ABD=3.已知正整数y不超过2022且满足100整除2y+y，则这样的y的个数为___________4.已知x表示不超过x的整数，如1.2=1,−1.2=−A.321 B.322 C.323 D.以上都不对5.已知六位数y1y2f3f4d5d6.已知整数a,b,c,d满足a+7.已知凸四边形ABCD满足：AB=8.已知a,b∈R,z1=9.已知复数z，满足z2与2z的实部和虚部均属于−1,1，则z10.在▵ABC中，S▵ABC=c211.在梯形ABCD中，AD//BC,M在边12.已知1−x2=13.若A为十进制数，A=a0a1…an，记DA=a014.已知数列an满足a1=12,an15.已知fx是二次函数，f−2=0，且2x16.已知数列ak1≤k≤5各项均为正整数，且ak17.将不大于12的正整数分为6个两两交集为空的二元集合，且每个集合中两个元素互质，则不同的分法有___________种．18.已知y,f,d为正整数，fx=(1+x)19.若▵ABC三边长为等差数列，则cosA+20.内接于椭圆x24+y2A.413 B.1413

C.110答案和解析1.【答案】1

【解析】【分析】根据题意整理可得：(3a)2−6b2=解：设2化简得到3a2−由于3,1为佩尔方程对其任意一组解xk,yk，由于xk则a=xk由于1≤n≤2022，知5,2为佩尔方程由佩尔方程的通解知xk由特征方程知其所对应的递推公式为xk+2因此仅x2=27所以这样的n为1个．故答案为：1．2.【答案】2

【解析】【分析】先说明凸四边形ABCD是平行四边形，然后设对角线AC中点为O，固定对角线AC，则点D在固定的射线AD上，只需求出该射线上满足解：对凸四边形ABCD，由由∠ABD=∠如图，设对角线AC中点为O，下面固定对角线AC，则点D在固定的射线只需求出该射线上满足∠CDO

记过C,O且与射线AD相切的圆为ω(这样的圆存在且唯一由圆幂定理知AD′2首先说明∠C该结论等价于180∘−设∠AD′O=由正弦定理，AOsinθ注意到2=sin140故θ<则射线AD上在D′的左右两侧各有一个满足∠C故满足条件的形状不同的凸四边形有两个，故答案为：2．3.【答案】20

【解析】【分析】由题意可得4∣2y，进而得到4∣y，所以设y=4f1解：由于100∣2y显然y≠1，所以y≥2，所以设y=则5∣24f+4f设f=5d则220d由欧拉定理，φ25=20进而得到0≡所以2520d+因此这样的y有20个．故答案为：204.【答案】A

【解析】【分析】记an=1+解：记an则由其所对应的特征根方程知数列an满足an+依次可得a2a而1−5所以a12所以α12故选：A5.【答案】2065020

【解析】【分析】假设y1y2f3=m,f4d解：假设y1y2由此可得原命题等价于1000mn+由于102≤2+m≤所以n=1,2,4,5,这样的六位数之和为2065020．故答案为：2065020．6.【答案】10

【解析】【分析】由于a,所以ab原命题即为求a2+b分类讨论解得．解：由于a,所以ab+因此只需(a+b原命题即为求a2+b由柯西不等式知a2因此a2又因为a2+b所以a2+b2+下证a2+b采用反证法，若否，则a2此时a,(i)a此时a′因为a′2+所以a2+b(i由于奇数的平方模8同余于1，所以a2所以a2+b因此a2+b2+c2另一方面，设fa我们有f2,2f4因而a2+b2+c2因此ab+a故答案为：10．7.【答案】15【解析】【分析】先证明定理，根据r=Sp≤p−ap−bp−cp−dp=解：先证明一个引理：平面上四边形ABCDS其中p为四边形ABCD引理的证明：在▵ABD和又SA于是可得a两式平方相加，移项可得S整理即得．回到本题中，一方面，r另一方面，欲求r最小值，只需使得S最小，只需使得co又因为maxA+C设AC=x易知∠A,∠C随y增加而增加，所以只需比较x→3和此时四边形ABCD分别趋向退化成边长为3,3,综上，r∈故答案为：8.【答案】337【解析】【分析】根据复数三角不等式z1解：已知z1当且仅当ar此时5−a=所以当z1+z故答案为：3379.【答案】12−【解析】【分析】设满足要求的复数z=x+yi解：设满足要求的复数z=则原命题即为2xx2+y因此−1整理后得−2(x因此点z的轨迹所构成的图形为图中阴影区域，其外边界为一个边长为4的正方形，此区域面积为8×故答案为：12−10.【答案】1

【解析】【分析】利用正弦定理的边角互化结合三角恒等变换即可求解解：因为R=所以4⇒⇒因为S▵所以bc进而有sinB于是sin=====因为0<所以sinA故答案为：111.【答案】12【解析】【分析】由∠ADM=18解：如图所示：∠A所以A,因为∠BAM所以∠B于是AM又因为∠D所以BD在▵BCD即2B所以2•BD所以DB故答案为：1212.【答案】12

【解析】【分析】采用三角换元，令x=θ=π8或5解：令x=cosθθ∈0,π.则1所以3θ=π2−θ或解得θ=π8或5π8或3因而其全部解为x=cosπ8或由题意知，所求值为：3故答案为：12．13.【答案】小于

【解析】【分析】根据题意，分析得若A为n+1位数，则DA<2解：由题意知若A为n+1位数，则所以b0至多为40位，所以b所以b1至多15位，进而b所以b2至多6位，进而b所以b3至多3位，进而b所以b4至多2位，进而b依此类推可得b2022其各位数字的平方和不超过81+81=故答案为：小于14.【答案】4

【解析】【分析】令bn=1+2an，将原递推化简为bn+1−3=1解：令bn=1+原递推即为bn整理后即为4bn+12即bn+1−3=12bn−所以bn另一方面，b10所以a10综上所述，4<a10故答案为：415.【答案】36

【解析】【分析】法一：由f−2=0，可设fx=x+2ax+b=ax2+2法二：由2x≤fx≤x2+42⇒解：法一：由f−2=则由fx≥2所以a≥0且(2由fx≤x若2a−1=0所以2a−1整理后为4a与4a2+即(2a−所以fx又由于在原不等式中令x=2可得4≤f2所以fx法二：2x令gx=fx−若m≠12于是am−2>0am−2<0故m=2，令x=于是fx=g故答案为：36．16.【答案】211

【解析】【分析】由题意记bi=ai+1−ai解：记bi=a对确定的b1,b设mina1,对于给定的a,由于bi∈−1,其中不符合题设条件的数列各项均为1或2，这样的数列有25综上所述，符合要求的数列共有243−32故答案为：21117.【答案】252

【解析】【分析】依题意2,4,6,8,10,12恰好在6个不同的集合中，设依次为Y2,Y4,解：易知2,4,设依次为Y2此时剩余的正整数中1,7,11可以任意放在上述6个集合中，5不能放在Y10中，3，9①若5放入了Y6或Y12中，有两种情况，此时3与9可在4个集合中选择，有A42种情况，而②若5没有放入Y6或Y12中，则5有3个集合可以选择，进而3与9可在3个集合中选择，有A32种情况，而综上所述，不同的集合拆分方法共有A21故答案为：25218.【答案】40

【解析】【分析】由题意得y+则x2

的系数为C结合柯西不等式得出Cy2+Cf2+Cd解：由题意得y+x2的系数为C由柯西不等式知y2又由于y,f,当y=3,f=3,另一方面，若a,b为正整数，则这是因为上式展开即为ab−a所以y2当y=1,f=1,进而我们有y2+f2+d2−10故答案为：40．19.【答案】1,【解析】【分析】通过余弦定理以及等差数列的性质，将目标式转化为关于公差的关系是，通过公差的范围得出结论．解：不妨