第二章 被控对象的数学模型

第二章被控过程的数学模型§1.过程建模的基本概念1.1.过程的数学模型（被控对象的特性）被控过程的输出量与输入量之间的关系的数学描述。1.静态（稳态）：当输入恒定不变时，被控参数处于相对静止状态，这种状态就是静态。2.动态：系统受到外来扰动的影响或在改变了设定值后，原来的稳态遭到破坏，被控量随时间而变化，系统未处于平衡工况的状态。3.过渡过程：从一个稳态到达另一个稳态的历程。4.控制系统过渡过程的形式(b).稳定的随动系统过渡过程(a).定值控制系统过渡过程的五种形式C(t)t单调发散0C(t)t发散振荡0衰减振荡C(t)t0等幅振荡C(t)t0单调衰减C(t)t0C(t)t01.2过程控制系统建模概念被控对象＋过程检测控制仪表按被控对象特性控制系统控制效果的好坏，在很大程度上取决于对被控对象动态特性了解的程度。过程控制系统控制方案选择测量控制仪表组成控制系统1.选择输入量与输出量A.多输入单输出的被控对象液位控制器给水控制阀锅炉汽鼓液位变送器液位给定值e(t)u(t)+-蒸汽流量给水压力选择可控性好的给水流量信号为控制信号。通道：输入信号与输出信号之间的信号联系。控制通道：控制作用至被控参数之间的信号联系。干扰通道：干扰作用至被控参数之间的信号联系。a.将复杂对象划分成若干个独立的被控区域，每个执行机构只对一个被控参数起作用。B.多输入多输出对象燃料

送风机

引风机

喷水

压力

风燃比

负压

温度

水位

给水

给水流量给水压力蒸汽流量水位汽鼓引风量炉膛压力炉膛炉膛送风量炉排转速蒸汽压力对于每个独立的被控区域对象的分析，可按只有一个被控参数的对象处理。…u1up…d1dny1yp…b.综合控制具有多个被控参数的对象有相应个数的控制作用。1.3数学模型的作用与要求1.设计过程控制系统及整定调节器参数2.指导生产工艺及其设备的设计与操作3.对被控过程进行仿真研究过程控制中实际应用的数学模型传递函数的阶次一般不超过三阶，最常用的是带有时滞的一阶惯性传递函数形式1.4建立过程数学模型的途径建立被控过程数学模型的方法机理演绎法实验辨识方法机理演绎与实验辨识相结合的混合方法开环辨识与闭环辨识1.用机理演绎法(解析法)建立被控过程的数学模型根据被控过程的内在机理,运用已知的静态和动态物料平衡、能量平衡等关系，用数学推理的方法求取被控过程的数学模型。2.实验辨识方法(系统辨识与参数估计方法)根据过程输入、输出的实验测试数据，通过过程辨识和参数估计得出数学模型。A.明确数学模型的应用目的及相应要求B.掌握足够的验前知识对过程内在物理化学规律的了解、事先的测试数据、日常操作记录分析等。C.实验设计输入信号的幅值和频谱、采样周期、总的测试时间、信号发生、数据存储、计算装置、开环或闭环辨识、离线或在线辨识、信号滤波及漂移处理方法。D.信号发生、测量、数据存储由信号发生器、特性测试仪或计算机产生输入信号，用记录仪、测试仪或计算机对输出信号进行测量处理，将结果存储起来。E.辨识方法用阶跃响应、频率响应、频谱分析、相关函数或参数估计方法来建立过程的模型。F.模型结构模型形式、时滞情况、方程阶次的确定G.模型验证自身验证：把在测试时所得同一输入下实际过程的输出与模型的计算输出加以比较。交叉验证：多进行一次验证，把另一组输入下的过程实际输出与模型的计算输出加以比较。采用以上步骤后，若所得模型不能满足精度要求，则要重新修正实验设计，修正假定结构，反复几次，直到达到要求为止。3.机理演绎与实验辨识相结合的混合方法4.开环辨识与闭环辨识A.多级过程，部分采用机理演绎方法推导出相应的数学模型。对于尚不熟悉的部分采用实验辨识的方法得出其相应的数学描述。B.先通过机理分析确定模型的结构形式，再通过实验数据来确定模型中各个参数的大小。目前常用开环辨识。若工作中无法除去反馈、开环辨识有可能破坏生产的正常进行时需采用闭环辨识。闭环辨识的实验条件:在调节器输出端施加外部信号、在调节器输入端施加外部信号、改变线性反馈规律（如调节器的放大系数）等。§2.解析法建立过程数学模型根据生产过程中实际发生的物理化学变化机理，写出物质平衡方程，能量平衡方程，动量平衡方程以及反映流体流动、传热、传质、化学反应等基本规律的运动方程、特性参数方程和某些设备的特性方程等，从中获得所需的数学模型。2.1单容过程的建模单容过程：指只有一个贮蓄容量的过程。由于不同的物理背景的若干过程都遵循同一变化规律，故单容过程可代表一类过程。单容过程可分为：有自平衡单容过程无自平衡单容过程有自平衡过程：指被控过程在扰动作用下，平衡状态被破坏后，不需要操作人员或仪表的干预，依靠自身能够恢复平衡的过程。1.单容水槽水位的动特性Q1：输入水流量的稳态值m3/sΔQ1:输入水流量的增量m3/sQ2：输出水流量的稳态值m3/sΔQ2:输出水流量的增量m3/sh0：液位的稳态值mΔh:液位的增量mΔu1：阀门1开度增量m2ΔQ1＝Ku•Δu1Ku：阀门1流量系数m/sQ20+ΔQ2Q20h0+Δhh0Rs:液阻S/m2C称为水槽的容量系数，又称液容.K＝Ku•

RsT＝A•

Rs对象的响应曲线：输入量作阶跃变化时，输出量对时间的变化曲线。（对象的飞升曲线）A.放大系数KB.时间常数TtThh0KΔu1Δu1tu（静态参数）（动态参数）2.对象的自衡特性对象在扰动作用下，平衡状态被破坏以后，不需要任何外力作用，依靠自身的能力，被控参数可以自发地恢复平衡的特性。A.有自衡能力对象

1

Q1

h

Q2（直到

Q2=Q1）自衡率（ρ）：对象的ρ大，表示即使加上一个很大的扰动Δu1，h变化也会很小。B.无自衡能力对象对象在扰动作用下，平衡状态被破坏以后，被调量以固定的速度一直变化下去而不会自动地在新的水平上恢复平衡的对象。

1

Q1

Q2不变(

Q2<

Q1)

h

0QQ10Q20Q2Q1h0htt0无自衡特性水槽的飞升曲线3.纯滞后单容对象的特性h0+hLQ10+Q1Q20+Q2A.有自衡能力对象干扰发生处与测定被控参数点之间有一定距离（由信号传输引起）产生纯滞后现象原因：B.无自衡能力对象h0+hLQ10+Q1Q20纯滞后、容量滞后对系统的调节品质会带来不利影响。2.2多容过程的建模1.双容对象的特性A.调节对象具有两个储蓄容器(称为双容对象)B.由两个一阶惯性环节串联起来(被调量是第二个水槽的水位)C.对于扰动的响应在时间上存在滞后（容量滞后

c，由对象储蓄容量引起）图中P为拐点，过拐点作切线交于时间轴A点，可求T、

c。2.多容对象的飞升曲线A.多容对象的飞升曲线若中间容积不止两个，则对象的惯性将随之增大B.多容对象的数学模型a.有自衡能力对象的数学模型无纯滞后对象有纯滞后对象b.无自衡能力对象的数学模型无纯滞后对象有纯滞后对象例2-6

2.3测试法建模若对于复杂的工艺过程，要求出其数学模型（微分方程）很困难。复杂对象错综复杂的相互作用可能会对结果产生估计不到的影响，即使能用机理法得到数学模型，但仍希望通过实验测定来验证，可采用实验和测试方法来求取对象数学模型。方法：时域法频域法相关统计法1.概述§3响应曲线法辨识过程的数学模型1.阶跃响应曲线法脉冲响应曲线法阶跃响应曲线法在对象上人为地加一瞬变扰动，测定对象的响应曲线，然后根据此响应曲线，推求出对象的传递函数。缺点：被控参数的偏差往往会超出实际生产所允许的数值。tu(t)ty(t)y(0)u(0)2.脉冲响应曲线法u(t)：矩形脉冲输入u1(t)：阶跃输入u(t)＝u1(t)－u1(t－T)tu(t)ty(t)

uu1(t)T2T4T3TY’(t)u(t)Y’(t)u1(t)y(t)Y’(t)＝y(t)－y(t－T)y(t)＝Y’(t)＋y(t－T)0<tT

y(t)＝Y’(t)t＝Ty(T)＝Y’(T)t=2Ty(2T)＝Y’(2T)+y(T)

t＝3Ty(3T)＝Y’(3T)+y(2T)实验中应注意的问题：a.将对象调整到相对稳定的工况，采取一切措施防止其他干扰的发生b.在相同条件下应重复多做几次试验，从几次试验中选择两次以上比较接近的响应曲线作为分析依据。c.进行正、反方向实验以检验对象的非线性特性，扰动量要适量d.测试应进行到被控参数接近的稳态值e.应在被控对象最小、最大及平均负荷下重复测试n条响应曲线3.实验结果的数据处理将测试的曲线与标准的一、二阶对象的阶跃响应曲线比较，确定其相应曲线对应的传递函数形式作为数据处理的模型。对一条曲线：用低阶传递函数拟合：数据处理简单。准确程度较低。用高阶传递函数拟合：数据处理复杂。拟合精度高。由于闭环控制尤其是PID控制并不要求非常精确的数学模型，故在满足精度要求的情况下尽量使用低阶的传递函数来拟合。A.飞升曲线确定一阶环节的参数yy0tu(t)ty(t)y(0)u(0)

uTy0.63[yy0]a.飞升曲线在输入发生阶跃的瞬间斜率最大b.飞升曲线在输入发生阶跃的瞬间斜率不是最大，而是呈一条S形的非周期曲线（a）直角坐标图解法（b）计算法（两点法）ty(0)u(t)tu(0)y(t)

uy

(t)ty(0)100%39.3%t163.2%t2选由曲线找到t1、t2值代入下述方程，求T、

。y

(t)ty(0)100%39.3%t163.2%t2（c）.半对数坐标图解法采用半对数坐标图解法的最大优点：可很方便地判断所辨识的过程究竟是不是一阶无时延环节。一阶无时延环节：阶跃响应是一条直线。B.由S形飞升曲线确定二阶环节的参数a.由飞升曲线求k、T1、T2、

u(t)tu(0)

uy(

)ty(0)y(t)t20.8t10.4ty(0)y

(t)1b.半对数坐标图解法C.二阶时延环节参数的确定二阶时延环节的传递函数D.无自衡过程的参数确定方法Y(t)可按一阶时延环节的参数确定方法求取T1、T2和的值将y(t)曲线n等份，每份的时间间隔为Δt然后按一阶时延环节的参数确定方法求取各个参数。§4相关函数法辨识过程的数学模型对于大多数系统只能进行离线辨识。由阶跃响应和频率响应辨识对象传递函数的局限性：影响控制系统的正常工作状态，有时甚至有破坏设备的危险；认为被测试对象的动态特征是不变化的，若发生变化，就必须重新进行一套反复的测试计算工作，实验、分析计算过程较长；一般不易消除各种干扰的影响；A.基本概念1.平稳随机过程、相关函数、功率谱密度相关函数法测定动态特性的基本思路：a.随机信号：随时间随机地变化的信号。x1(t),x2(t)，…,xk(t)是随时间随机地变化的信号,它们的集合就称为随机过程。在被测对象上加随机信号x(t)，测量被控参数y(t)，计算出自相关函数Rxx(

)和x(t)与y(t)的互相关函数Rxy(

)，然后再根据Rxy(

)与对象脉冲响应函数间的关系求出对象脉冲响应g(t)，对象的传递函数为G(s）＝L〔g(t)〕。b.平均值、均方值平均值均方值c.平稳随机过程若一个随机过程，它的统计特性在各个时刻都不变，则称之为平稳随机过程d.自相关函数e.互相关函数f.功率谱密度g.白噪声2.相关分析法识别对象动态特性的原理线性对象脉冲响应函数g(t)x(t)y(t)

一个线性对象的输入函数x(t)是一个平稳的随机过程，那么相应的输出y(t)亦是一个平稳的随机过程，由输入x(t)与输出y(t)的互相关函数来确定脉冲响应函数g(t)。原理：A.wiener-hopf方程X(t)看作是无数脉冲的叠加Y1(t)、Y2(t)……是x1(t)、x2(t)………的响应。y(t)＝y1(t)＋y2(t)+••••将x(t)分解为许多脉冲之和。每个脉冲的面积为这是维纳－何甫方程，是相关分析法辨识线性对象动态特性的重要依据B.用白噪声测定对象的动态特性代入上式采用白噪声作为输入信号时，对象输入与输出之间的互相关函数Rxy

与该对象的脉冲响应函数g

成正比。x(t-）实验可在正常运行状态下进行；要得到较精确的互相关函数，必须在较长一段时间内进行积分，于是会产生信号漂移和记录仪器的零点漂移。白噪声是随机信号，要使两个周期内的信号形式和状态完全相同，这几乎是不可能的。方法的特点：优点：缺点：用伪随机信号识别对象的动态特性3.用伪随机信号识别对象的动态特性A.伪随机信号的特点a.信号中有二个数值＋a和－a，在t＝kt瞬间由一个值切换到另一个值，其中－a个数为2n－1，＋a个数为2n－1－1。b.若干个＋a（或－a）连在一起称为“游程”.一个游程中的＋a（或－a）的个数称为游程长度.长度为t的游程为总数的1/2，长度为2t的游程为总数的1/4，长度为3t的游程约占总数的1/8…。在同样长度的所有游程中＋a的游程与－a的游程约各占半数。初态1111，第3、4位作模2运算11110111111100010011010——一个周期（15）伪随机信号是一种周期为T的信号序列，它的自相关函数伪随机信号的自相关函数与白噪声的自相关函数相同，只是它有重复周期Tc.伪随机信号中最常用的是M序列M序列信号有以下性质:M序列周期为N=2n-11出现的个数为（N+1）/20出现的个数