第1讲 模型理论、数学模型2011

模型与算法主讲人赵鹏pzhao@Tel.516867631一、主要内容1模型

1.1模型模型概述、模型方法的基本特征

1.2数学模型数学模型的种类、建模过程、数学模型的例

1.3模型化理论2算法

2.1算法分析算法概述、算法的复杂性、p类和NP类问题

2.2算法设计的基本方法穷举法、登山法、递归法、动态规划法、回溯法

2.3启发式算法遗传算法、模拟退火算法、禁忌搜索算法、局域搜索算法、蚁群算法3算法的应用

TSP问题2二、教学及考试方法1讲课教师讲课、学生讲课

(有关交通运输的主要模型及评述；TSP问题的算法及评述；背包问题)10组，10分钟关于模型、10分钟关于算法2作业演算及编程3成绩平时成绩、考试成绩3三、参考文献《模型与算法》杨浩《数学建模》叶其孝等译机械工业出版社《算法设计与分析》电子工业、清华大学出版社《算法导论》科曼等著，潘金贵等译《遗传算法》《模拟退火算法》《禁忌算法》

其他4三、参考文献5三、参考文献6三、参考文献7三、参考文献8四、典型问题

一个商人欲到n个城市推销商品，每两个城市i和j之间的距离为dij，如何选择一条道路使得商人每个城市走一遍后回到起点且走过路径最短。tsp.txt

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。背包问题旅行商TSP(TravelingSalesmanProblem)9一个小游戏在正方形的场地内(中心点)有一匹狼，在正方形的四个顶点上各有一条狗，两条及以上的狗可以打败狼(一条狗则被狼打败)，已知狗的奔跑速度是狼的1.5倍，问狗能否不让狼逃出？若能，狗采用什么策略？

请给出数学证明或算法！10第一章模型理论1.1关于模型1.2模型化理论1.3数学模型111.1关于模型1.1.1模型的概念

模型不是研究对象本身，而是对研究对象的一种抽象，它反映现实中的对象系统的主要特征，但它又高于现实，因而具有同类问题的共性。由于研究目的不同，对于同一个对象系统，可以建立完全不同的模型，分别反映该系统的不同的侧面；出于相同的研究目的，对于同一个对象系统，也可能建立不同的模型，反映不同的研究角度、考察因素和价值取向。模型:模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物。模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征12模型的特征

模型是对系统的抽象或模仿模型由说明系统本质或特征的诸因素构成模型集中地表明系统因素之间的相互关系例：肥胖程度的模型：男、女，身高牛顿第二定律：F=ma1.1.2模型的本质131.1.2模型的本质模型是系统中各种关系的表达形式模型是认识与实践活动的中介模型和认识间存在密切的反馈关系模型化的过程模型的本质（基于目的）14151.1.3模型的分类原样模型

原样模型是在工程开发末期建立的一种具象实体，是具有实物形态的模型。相似模型

相似模型是根据不同系统间的相似规律（包括几何相似、逻辑相似和过程相似等）而建立的用于研究的模型。

图形模型

图形模型可以表达非常丰富的内容，主要有：图画草图框图逻辑图工程图图论图

数学模型

数学模型是指用数学符号和公式表达研究对象系统的结构或过程的模型。161.1.4建模途径

两类方法：演绎法和归纳法演绎法：运用先验，建立某些假设和原理，通过数学的逻辑演绎建立模型。

归纳法：基于试验数据建立系统模型的方法。具体途径：

1)对于内部结构和特性清楚的系统，即白盒系统，可以利用已知的一些基本定律，经过分析和演绎导出系统模型。

2)对于那些内部结构和特性不清楚或很不清楚的系统，即所谓的黑盒和灰盒，如果允许直接进行实验性观测，则可假设模型并通过实验对假设的模型加以验证和修正。

3)对于属于黑盒但又不允许直接实验观测的系统，可采用数据收集和统计归纳的方法来假设模型。171.1.5模型的有效性实际系统数据和模型产生的数据之间的符合程度，用下式象征性地描述：实际系统数据=？模型产生的数据模型有效的三个级别1)复制有效(ReplicativelyValid)

模型产生的输入输出数据与实际系统的输入输出数据是匹配的。这类有效只能描述实际系统过去的行为或试验，不能说明实际系统将来的行为，是低水平的有效。2)预测有效(PredictivelyValid)

对实际系统的内部运行情况了解清楚，掌握了系统内部状态及总体结构，可预测实际系统的将来的状态和行为变化，但对实际系统内部的分解结构尚不了解，在实际系统获得数据之前，能够由模型看出相应的数据，模型预测有效。3)结构有效(StructurallyValid)

搞清系统内部之间的关系，了解系统的内部分解结构，把实际系统描述为许多子系统相互连接起来而构成的整体。结构有效是模型有效的最高级别，它不但能重复被观察的实际系统行为，且能反映实际系统产生这个行为的操作过程。181.2模型方法的基本特征1.2.1模型方法的综合性

复杂系统的建模必须依靠各行各业的专家、各种方法综合集成、多因素多视角的立体思维和多学科知识的融合、交叉和渗透。这就要求系统建模具备综合的观念、综合的方法、综合的评价、综合的原则和综合的技能。同时需要建立一支由不同知识结构组成的、运用自然科学和社会科学的理论和方法的可以互相补充、启迪和丰富的知识信息综合体的系统队伍，进行集体研究和联合攻关。综合是模型方法的基础，综合性是模型方法的一个基本特征。191.2.2模型方法的创造性建模与创造性

(1)直接利用、模仿现有模型；(2)对现有模型进行改进、提高、完善和更新；(3)建立全新的模型。

所谓创造力，是指首创前所未有的、具有社会价值的精神产品或物质产品的能力；创造性是提出新的设想、创造新事物的能力，也就是能产生出新设想的创造性思维能力、新产品开发能力和生产力转化及其社会价值的实现能力。

创造性是模型方法的灵魂。20系统建模的困难性和挑战性

系统运行的机制或机理尚不十分清楚，现有的系统辨识理论和方法仍有局限性。（天气预报）

需要创造性地探索解决系统的辨识问题—事故机理(脱轨)

系统运行机理虽然较清，但数学工具不够，无法描述

创造性构模问题—非平行运行图的铺画方案数量模型

系统模型可描述，但方案数量巨大，计算机难以寻优

创造性解决快速寻优近似算法在实践中，始终需要探索模型方法同其它方法相结合的新途径。例如专家系统、人工智能、决策支持和情景分析等方法，这需要我们进行创造性的研究和开发。21

创造力的培养世界观－－唯物辩证实证精神自主精神理性精神规律意识怀疑意识要加强基础理论，不断更新专业知识和拓展知识面。注意从实践中学习和吸取新的知识、积累新经验。重视不同学科知识间的嫁接、融合、交叉和渗透。培养和训练创造性的科学思维方法－－扩散思维与集中思维相接合22新闻：您在科学网谈到，认真是获得诺贝尔奖的最重要原因之一。很多看了您博客的人都感慨，这颠覆了我们之前的认识——获奖的人都是天才。我们相信，能获奖的人肯定会有一些别人不具备的素质，或者付出了别人难以企及的努力，但您为什么会格外强调认真呢？饶毅：做科学，有很聪明的人；也有智力一般、但很认真的人。智力高的人认真少一些、可能有时也能做出杰出工作。但其实，有很多实验科学，即使依靠严谨、认真和坚持也能做出重要工作。

聪明是少数人拥有的，不能要求谁都聪明。而认真是大家普遍可以做到的事情，多强调才有意义。

当然，单靠认真做出非常突出工作的比例较低，需要较多的人认真工作才能产生少量非常突出的工作。也正因为如此，普通人靠认真而做到诺贝尔奖水平的工作，也就表明这个国家有很多人在认真做科学技术，反映这个国家的科学技术不仅发达、而且普遍。

新闻：在您博客的跟帖中有人提到，“只强调认真会误导大众，强烈的兴趣和对科学发展方向的卓越洞察力才是获得诺贝尔奖的重要原因”，对这个说法，您怎么看？

饶毅：这是儿童故事里的说法。你如果认识较多科学家，就知道各种各样的都有。兴趣很重要，洞察力却是很多科学家不具备的，只有很少人有，如果都要卓越洞察力，那多数人今天都应该引咎辞职。

做科学研究，兴趣强烈是很重要的，但是能拿到诺贝尔奖的人，也许并不是真的对科学有兴趣，因为功利心而做得很好的人，也大有人在，可能多数美国的诺贝尔奖获得者都属于功利心很强的人，虽然他们得奖后都不好意思这么说。23

模型在系统开发中的作用可简单概括为模型的适用性和有效性,即:模型揭示客观事物的状态及其变化。模型适用于反映人们对客观事物认识的思维过程并有效地帮助发展这种思维过程。1.2.3模型在系统开发中的作用24原样模型的作用原样模型是工程实体的雏形，通过原样模型可得到工程实体的外形、尺寸、运用、效能及成本等方面的大量信息，相当多的新系统或新产品开发，即使象氢弹、航天飞机、高速铁路动车组等都要经过样品研发和实验运行才能进入正式生产和使用。相似模型的作用相似模型是通过替代物体与真实物体间的相似关系来完成开发工程的一些局部或整体性能研究。如高速飞行器的风洞实验模型、河流堤坝的水力学实验模型、铁路编组站自动化驼峰实验模型等。相似性是建立在系统间共有特性基础上的特征相似。25符号模型的作用符号模型，包括图形模型和数学模型，前者的简明性和直观性，在确定问题和表达系统开发的新思想和新概念时常常有其独特的优势及作用，后者则是对现实系统的更为精练和更为抽象的概括和描述。各种模型在系统工程开发循环中的地位

26

举例：排队系统建模27运输“舒适性”概念的界定

1.运输舒适性是对旅客运输而言2.舒适性是旅客对运输服务的主观（生理、心理）感受形成的运输质量需求－视觉、嗅觉、触觉、听觉、疲劳、综合感受（体验）3.舒适性反映经济发展水平和居民消费水平

举例：运输“舒适性”模型

—高速铁路的一个重要研究领域运输“舒适性”概念开发的主要内容乘车旅行的舒适性概念舒适性的衡量舒适度与其它需求质量指标的关系28

乘车旅行的舒适性概念设备条件运输线路的平稳性设计：曲线过渡的均匀、超高（欠超高）合理无缝线路技术采用（减少冲击、震动）维护：质量良好，线路平顺29

车辆（载体）车辆（载体）提供良好的旅行服务设施有足够的活动空间，不产生拥挤之感；良好的照明、采光设备（光线柔和、可调）；良好的通风和空气（温度、湿度）自动调节设备；良好的封闭性和隔音性（车门、车窗、侧壁、地毯）；空气清新，无烟尘、浊气（禁烟车箱）；符合人机工程的座椅、卧铺设计（形状、冲填材料）；良好的卫生设备（盥洗、厕所、废弃物收集处理）；减震设备(震动、摇晃和颠簸)和缓冲向心力的设备(摆式车体)；尊重、保护个人隐私的设施：（单间、包房）；休息设施：座席及长途列车的卧铺；饮食与通信、娱乐设施：餐车（酒巴）、饮水茶炉、列车电话、广播、影视设备。车辆维护：保持良好的走行、电气、空调、性能、质量卫生整备，清扫，消毒，杀虫、灭鼠30

服务条件⑴提供卫生文明的旅行服务卫生、餐饮，休息，娱乐，信息，乘降⑵营造适宜的旅行环境车内：语言、举止、着装、仪表车外：沿途绿化⑶良好的服务态度，努力帮助旅客解决旅行困难31列车驾驶技术：平稳（上下颠簸、左右摇晃、前后冲撞）驾驶，变速自然，启动、制动过渡平稳运输组织管理提高列车速度，缩短旅行时间，减少路途疲劳增加列车频次，减少换乘等待时间，防止超员拥挤使用动车组，减少机车换挂，长交路，缩短旅行时间乘车的旅客群体小环境文明素质：遵章守纪，文明礼让，友善可亲，互相尊重列车与乘务管理立法、宣传、教育、培训；评价、激励、奖惩；

32

舒适性的衡量指标体系温度；湿度；空气质量(粉尘、CO2及有害气体含量)；照度；密封度；躁声烈度；震动强度、平稳度；人均活动空间(拥挤度)；疲劳度；旅行服务设施完备度；服务规范化程度站车清洁度(废弃物生成量及处理率)；卧具、饮水、食品的卫生标准各指标的权重指标达成度旅客满意度（问卷调查）

33

舒适度与其它需求质量指标的关系安全：拥挤度、密封度、平稳度、迅速：旅行速度、疲劳度方便：设施完备度经济：运输成本（投资、运营费用）和旅客支付承受能力不同经济发展水平对舒适度要求不同，相同经济发展水平下不同需求层次对舒适性要求不同，需要对主流消费群体的需求水平的界定34

数学模型（MathematicalModel）

是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题本质属性的抽象而又简洁的刻划，它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。

数学建模（MathematicalModeling）

应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程。

1.3

数学模型与数学建模35数学模型：1）近藤次郎（日）的定义：数学模型是将现象的特征或本质给以数学表述的数学关系式。它是模型的一种。2）本德（美）的定义：数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的简化的数学结构。3）姜启源（中）的定义：是指对于现实世界的某一特定对象，为了某个特定的目的，做出一些必要的简化和假设，运用适当的数学工具得到一个数学结构。36数学结构：是指数学符号、数学关系式、数学命题、图形图表等，这些基于数学思想与方法的数学问题。总之，数学模型是对实际问题的一种抽象，基于数学理论和方法，用数学符号、数学关系式、数学命题、图形图表等来刻画客观事物的本质属性与其内在联系。古希腊时期：“数理是宇宙的基本原理”文艺复兴时期：应用数学来阐明现象“进行尝试”微积分法的产生，使得数学与世界密切联系起来，用公式、图表、符号反映客观世界越来越广泛，越来越精确。37费马（P.Fermal1601-1665）用变分法表示“光沿着所需时间最短的路径前进”牛顿（Newton1642-1727）将力学法则用单纯的数学式表达，如，牛顿第二定律：结合开普勒三定律得出万有引力定律38

例（万有引力定律的发现）

十五世纪中期，哥白尼提出了震惊世界的日心说。丹麦著名的实验天文学家第谷花了二十多年时间观察纪录下了当时已发现的五大行星的运动情况。第谷的学生和助手开普勒对这些资料进行了九年时间的分析计算后得出著名的Kepler三定律。牛顿根据开普勒三定律和牛顿第二定律，利用微积分方法推导出牛顿第三定律即万有引力定律。1.行星轨道是一个椭圆，太阳位于此椭圆的一个焦点上。2.行星在单位时间内扫过的面积不变。3.行星运行周期的平方正比于椭圆长半轴的三次方，比例系数不随行星而改变（绝对常数）开普勒三大定律

这其中必定是某一力学规律的反映，哼哼，我要找出它。。。。

39问题：将四条腿一样长的正方形椅子放在不平的地面上，是否总能设法使它的四条腿同时着地，即放稳。假设

1）地面为光滑曲面；

2）相对地面的弯曲程度而言，椅子的腿是足够长的；

3）只要有一点着地就视为已经着地，即将与地面的接触视为几何上的点接触；

4）椅子的中心不动。§1.3.1基本数学建模示例40xyAABBCCDDO2建模分析表示A,C与地面距离之和表示B,D与地面距离之和则由三点着地，有不失一般性，设初始时：41假设：是的连续函数，且对任意，求证：至少存在，使得数学模型数学命题：.424模型求解证明：将椅子转动，对角线互换，由可得令由的连续性，根据介值定理，在中至少存在一点,使得,即又所以结论：能放稳。43连续函数的介值定理oxyab44思考题1：长方形的椅子会有同样的性质吗？45例1

某人平时下班总是按预定时间到达某处，然然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早了三十分钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他的方向步行回去并在途中遇到了妻子，这一天，他比平时提前了十分钟到家，问此人共步行了多长时间？

似乎条件不够哦。。

换一种想法，问题就迎刃而解了。假如他的妻子遇到他后仍载着他开往会合地点，那么这一天他就不会提前回家了。提前的十分钟时间从何而来？

显然是由于节省了从相遇点到会合点，又从会合点返回相遇点这一段路的缘故，故由相遇点到会合点需开5分钟。而此人提前了三十分钟到达会合点，故相遇时他已步行了二十五分钟。

请思考一下，本题解答中隐含了哪些假设？数学模型的例46例2

某人第一天由A地去B地，第二天由B地沿原路返回A地。问：在什么条件下，可以保证途中至少存在一地，此人在两天中的同一时间到达该地。分析

本题多少有点象数学中解的存在性条件及证明，当然，这里的情况要简单得多。

假如我们换一种想法，把第二天的返回改变成另一人在同一天由B去A，问题就化为在什么条件下，两人至少在途中相遇一次，这样结论就很容易得出了：只要任何一人的到达时间晚于另一人的出发时间，两人必会在途中相遇。（请自己据此给出严格证明）

数学模型的例47例3

交通灯在绿灯转换成红灯时，有一个过渡状态——亮一段时间的黄灯。请分析黄灯应当亮多久。设想一下黄灯的作用是什么，不难看出，黄灯起的是警告的作用，意思是马上要转红灯了，假如你能停住，请立即停车。停车是需要时间的，在这段时间内，车辆仍将向前行驶一段距离L。这就是说，在离街口距离为L处存在着一条停车线（尽管它没被画在地上），见图1-4。对于那些黄灯亮时已过线的车辆，则应当保证它们仍能穿过马路。

马路的宽度D是容易测得的，问题的关键在于L的确定。为确定L，还应当将L划分为两段：L1和L2，其中L1是司机在发现黄灯亮及判断应当刹车的反应时间内驶过的路程，L2为刹车制动后车辆驶过的路程。L1较容易计算，交通部门对司机的平均反应时间t1早有测算，反应时间过长将考不出驾照），而此街道的行驶速度v也是交管部门早已定好的，目的是使交通流量最大，可另建模型研究，从而L1=v*t1。刹车距离L2既可用曲线拟合方法得出，也可利用牛顿第二定律计算出来。黄灯究竟应当亮多久现在已经变得清楚多了。第一步，先计算出L应多大才能使看见黄灯的司机停得住车。第二步，黄灯亮的时间应当让已过线的车顺利穿过马路，即T至少应当达到（L+D）/v。

DL数学模型的例48例4

餐馆每天都要洗大量的盘子，为了方便，某餐馆是这样清洗盘子的：先用冷水粗粗洗一下，再放进热水池洗涤，水温不能太高，否则会烫手，但也不能太低，否则不干净。由于想节省开支，餐馆老板想了解一池热水到底可以洗多少盘子，请你帮他建模分析一下这一问题。盘子有大小吗?是什么样的盘子？盘子是怎样洗的?………不妨假设我们了解到：盘子大小相同，均为瓷质菜盘，洗涤时先将一叠盘子浸泡在热水中，然后一清洗。

不难看出，是水的温度在决定洗盘子的数量

。盘子是先用冷水洗过的，其后可能还会再用清水冲洗，更换热水并非因为水太脏了，而是因为水不够热了。

那么热水为什么会变冷呢？假如你想建一个较精细的模型，你当然应当把水池、空气等吸热的因素都考虑进去，但餐馆老板的原意只是想了解一下一池热水平均大约可以洗多少盘子，杀鸡焉用牛刀？

不妨可以提出以下简化假设：（1）水池、空气吸热不计，只考虑盘子吸热，盘子的大小、材料相同（2）盘子初始温度与气温相同，洗完后的温度与水温相同（3）水池中的水量为常数，开始温度为T1，最终换水时的温度为T2（4）每个盘子的洗涤时间△T是一个常数。（这一假设甚至可以去掉不要）根据上述简化假设，利用热量守衡定律，餐馆老板的问题就很容易回答了，当然，你还应当调查一下一池水的质量是多少，查一下瓷盘的吸热系数和质量等。

可见，假设条件的提出不仅和你研究的问题有关，还和你准备利用哪些知识、准备建立什么样的模型以及你准备研究的深入程度有关，即在你提出假设时，你建模的框架已经基本搭好了。数学模型的例49例5将形状质量相同的砖块一一向右往外叠放，欲尽可能地延伸到远方，问最远可以延伸多大距离。设砖块是均质的，长度与重量均为1，其重心在中点1/2砖长处，现用归纳法推导。

Zn(n－1)n(n＋1)由第n块砖受到的两个力的力矩相等，有：

1/2-Zn=(n－1)Zn故Zn=1/(2n)，从而上面n块砖向右推出的总距离为，故砖块向右可叠至任意远

，这一结果多少有点出人意料。

数学模型的例50例6某人住在某公交线附近，该公交线路为在A、B两地间运行，每隔10分钟A、B两地各发出一班车，此人常在离家最近的C点等车，他发现了一个令他感到奇怪的现象：在绝大多数情况下，先到站的总是由B去A的车，难道由B去A的车次多些吗？请你帮助他找一下原因AB发出车次显然是一样多的，否则一处的车辆将会越积越多。由于距离不同，设A到C行驶31分钟，B到C要行驶30分钟，考察一个时间长度为10分钟的区间，例如，可以从A方向来的车驶离C站时开始，在其后的9分钟内到达的乘客见到先来的车均为B开往A的，仅有最后1分钟到达的乘客才见到由A来的车先到。由此可见，如果此人到C站等车的时间是随机的，则他先遇上B方向来的车的概率为90%

。数学模型的例51例7飞机失事时，黑匣子会自动打开，发射出某种射线。为了搞清失事原因，人们必须尽快找回匣子。确定黑匣子的位置，必须确定其所在的方向和距离，试设计一些寻找黑匣子的方法。由于要确定两个参数，至少要用仪器检测两次，除非你事先知道黑匣子发射射线的强度。数学模型的例52方法一点光源发出的射线在各点处的照度与其到点光源的距离的平方成反比，即黑匣子所在方向很容易确定，关键在于确定距离。设在同一方向不同位置检测了两次，测得的照度分别为I1和I2，两测量点间的距离为a，则有53方法二在方法一中，两检测点与黑匣子位于一直线上，这一点比较容易做到，主要缺点是结果对照度测量的精度要求较高，很少的误差会造成结果的很大变化，即敏感性很强，现提出另一方法，在A点测得黑匣子方向后，到B点再测方向，AB

距离为a

，∠BAC=α，∠ABC=β，利用正弦定理得出d=asinα/sin(α+β)

。需要指出的是，当黑匣子位于较远处而α又较小时，α+β可能非常接近π（∠ACB接近于0），而sin（α+β）又恰好位于分母上，因而对结果的精确性影响也会很大，为了使结果较好，应使a也相对较大。BACaαβ5437支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的每两支球队中的胜者及轮空者进入下一轮，直至比赛结束。问共需进行多少场比赛？一般思维：逆向思维：每场比赛淘汰一名失败球队，只有一名冠军，即就是淘汰了36名球队，因此比赛进行了36场。思考题551）按变量的性质分离散模型确定性模型线性模型单变量模型连续模型随机性模型非线性模型多变量模型§1.3.2

模型的分类56常用的单因素变量模型类型表达式图象常量型渐升(降)型阶跃型尖峰型57类型表达式图像高速增长(下降)型阶跃恢复型龚帕兹曲线型生长型二次曲线型583）按模型的应用领域（或所属学科）分人口模型、交通模型、生态模型、城镇规划模型、水资源模型、再生资源利用模型、污染模型、生物数学模型、医学数学模型、地质数学模型、数量经济学模型、数学社会学模型等。4）按建立模型的数学方法（或所属数学分支）分初等模型、几何模型、线性代数模型、微分方程模型、图论模型、马氏链模型、运筹学模型等。2）按时间变化对模型的影响分静态模型参数定常模型动态模型参数时变模型595）按建模目的分描述性模型、分析模型、预报模型、优化模型、决策模型、控制模型等。6）按对模型结构的了解程度分白箱模型：其内在机理相当清楚的学科问题，包括力学、热学、电学等。灰箱模型：其内在机理尚不十分清楚的现象和问题，包括生态、气象、经济、交通等。黑箱模型：其内在机理（数量关系）很不清楚的现象，如生命科学、社会科学等。60

数学建模的基本方法机理分析测试分析根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究(CaseStudies)来学习。二者结合用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数§1.3.3

建立数学模型的方法和过程61

数学建模的一般过程了解实际背景明确建模目的搜集有关信息掌握对象特征形成一个比较清晰的‘问题’形成问题：假设与简化：针对问题特点和建模目的作出合理的、简化的假设在合理与简化之间作出折中脑海里可以想象一下运筹学中的问题与模型62用数学的语言、符号描述问题发挥想像力使用类比法尽量采用简单的数学工具

数学建模的一般过程建立模型：模型的检验与评价：如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的稳定性分析与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适用性63各种数学方法、软件和计算机技术

数学建模的一般过程模型的改进：现实世界形成问题模型应用简化问题归结模型模型评价模型求解模型检验模型的求解：64数学建模的全过程现实对象的信息数学模型现实对象的解答数学模型的解答表述求解解释验证(归纳)(演绎)表述求解解释验证根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题选择适当的数学方法求得数学模型的解答将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象用现实对象的信息检验得到的解答实践现实世界数学世界理论实践65建模示例1初等模型

四足动物的身长和体重问题问题：四足动物的躯干（不包括头尾）的长度和它的体重有什么关系？§1.3.4

建立数学模型假设：四足动物的躯干为圆柱体，质量为，长度为,断面面积为，直径为。建模：重量实际中，根据动物进化，不同种类的动物其截面积与长度之比可视为常数，即66所以，得出：重量与长度的平方成正比。即注意：这个公式要在实际中检验，基本符合实际，就可作为经验公式来应用，否则要重新建立和完善模型。事实上，与实际吻合不好。假设：四足动物躯干为一根支撑在四肢上的弹性梁。为下垂度，即梁的最大弯曲度。由弹性理论:67

为相对下垂度，其值太大，四肢无法支撑；其值过小，四肢的材料和尺寸超过了支撑身体的需要，是一种浪费。因此，从生物角度可以认为，经过长期进化，对于每一种动物，已经达到其合适的数值，即是一个常数（不同种类的动物此值不尽相同），于是因为即68而所以结论：此公式比较符合于实际，可在实际中推广使用。

，可以由统计数据找出。69建模示例2初等模型

双层玻璃的功效问题北方城镇的窗户玻璃是双层的,这样做主要是为室内保温目的,试用数学建模的方法给出双层玻璃能减少热量损失的定量分析结果。

模型准备热传导物理定律:厚度为d的均匀介质,两侧温度差为

T,则单位时间由温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量Q,与T成正比,与d成反比,即:Q=kT/dk为热传导系数。70消去不方便测量的Ta,Tb,有71

对中间无缝隙的双层玻璃,可以视为厚为2d的单层玻璃,根据热传导物理定律，有常用玻璃:k1=4

10-3~810-3(焦耳/厘米.秒.度)静止的干燥空气:k2=2.510-4(焦耳/厘米.秒.度)若取最保守的估计,有

简评:

对于不太熟悉的问题，可以用根据实际问题涉及的概念着手去搜索有利于进行数学建模的结论来建模，此时建模中的假设要以相应有用结论成立的条件给出。72建模示例3动态规划模型

安全渡河问题问题：三名商人各带一名随从乘船渡河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行。随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中。商人们怎样才能安全渡河呢？1）建模示例，2）解决更广泛的问题，理论上进行推广。3）将安全渡河问题视为一个多步决策的过程（状态转移）。模型构成：设第次渡河前此岸的商人数为，随从数为，称为状态。73如：表示第三次渡河前，此岸有3名商人1名随从，表示第五次渡河前，此岸有1名商人2名随从，根据题意，要安全渡河，状态是不允许的。设允许状态集合为设第次渡船上的商人数为，随从数为。定义决策为允许决策集合为

为奇数时，船由此岸到彼岸；为偶数时，船由彼岸到此岸。状态在决策下不断转移，规律如何？74问题:

求决策使状态按照以上规律由初始状态经过有限步到达状态。当然越小越好。2模型求解1234567891011753结论：共有四种最佳方案，经过11次方可安全过河。此作法可进行推广，有多名商人和随从时，利用计算机编程来实现。4图解法xyd1d2d3d4d5d6d7d8d9d10d11状态转移规则：1）第奇数次需向下或向左移动两格。2)第偶数次需向上或向右移动一格或两格。3）每次移动需落在可取状态上。76问题：人、狗、鸡、米均要过河，船需要人划，另外至多还能载一物，而当人不在时，狗要吃鸡，鸡要吃米。问人、狗、鸡、米怎样过河，试设计一个安全渡河方案，并使渡河次数尽可能地少。思考题1

人狗鸡米过河问题77思考题1人狗鸡米过河问题状态转移问题1）允许状态集合S人、狗、鸡、米依次用四维向量表示它们的状态，在此岸用1表示，在彼岸用0表示。如（0，1，0,1)表示人、鸡在彼岸，狗、米在此岸。人在此岸(1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,1),(1,0,1,1),(1,0,1,0)人在彼岸(0,0,0,0),(0,0,0,1),(0,0,1,0),(0,1,0,0),(0,1,0,1)782)允许决策集（划船方式）D用四维向量表示决策，如（1，1，0，0）表示人带狗摆渡。D={(1,0,0,0),(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1)}问题转化为：由初始状态(1,1,1,1)出发，经奇数次上述运算转化为状态(0,0,0,0)的过程。规定运算：分量1+1=0,1+0=0+1=1,0+0=0如(1,1,1,1)+(1,0,1,0)=(0,1,0,1)其实际意义：人狗鸡米原均在此岸，人带鸡过河，此岸为新状态，即仅剩狗和米。s(i+1)=s(i)+d(i)79背景

年1625183019301960197419871999人口(亿)5102030405060世界人口增长概况中国人口增长概况

年19081933195319641982199019952000人口(亿)3.04.76.07.210.311.312.013.0问题：研究人口变化规律，控制人口过快增长建模示例4微分方程模型如何预报人口的增长80指数增长模型——马尔萨斯提出(1798)常用的计算公式x(t)~时刻t的人口基本假设

:人口(相对)增长率r

是常数今年人口x0,年增长率rk年后人口随着时间增加，人口按指数规律无限增长81指数增长模型的应用及局限性

与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合

适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代

可用于短期人口增长预测

不符合19世纪后多数地区人口增长规律

不能预测较长期的人口增长过程19世纪后人口数据人口增长率r不是常数(逐渐下降)82阻滞增长模型(Logistic模型)人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用且阻滞作用随人口数量增加而变大假设r~固有增长率(x很小时)xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）r是x的减函数83dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲线,x增加先快后慢x0xm/2阻滞增长模型(Logistic模型)84参数估计用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数r或r,xm

利用统计数据用最小二乘法作拟合例：美国人口数据（单位~百万）186018701880……196019701980199031.438.650.2……179.3204.0226.5251.4专家估计阻滞增长模型(Logistic模型)r=0.2557,xm=392.185模型检验用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较实际为281.4(百万)模型应用——预报美国2010年的人口加入2000年人口数据后重新估计模型参数Logistic模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量)阻滞增长模型(Logistic模型)r=0.2490,xm=434.0x(2010)=306.086建模示例5简单的优化模型

生猪出售时机

一饲养场每天投入4元资金用于饲料、设备、人力，估计可使一头80公斤重的生猪每天增加2公斤．目前生猪出售的市场价格为每公斤8元，但是预测每天会降低0.1元，问该场应该什么时候出售这样的生猪．如果上面的估计和预测有出入，对结果有多大影响？87问题分析投人资金可使生猪体重随时间增长，但售价(单价)随时间减少，应该存在一个最佳的出售时机，使获得利润最大．这是一个优化问题，根据给出的条件，可作如下的简化假设．模型假设每天投人4元资金使生猪体重每天增加常数r(=2公斤)；生猪出售的市场价格每天降低常数g(=0.1元)88模型建立给出以下记号：t-时间(天);w-生猪体重(公斤);p-单价(元/公斤);R-出售的收人(元);C-t天投人的资金(元);Q-纯利润(元).按照假设，w=80+rt(r=2),

p=8-gt(g=0.1)

．又知道R=pw,C=4t，再考虑到纯利润应扣掉以当前价格(8元/公斤)出售80公斤生猪的收人，有Q=R-C-8*80，得到目标函数(纯利润)为

Q(t)=(8-gt)(80+rt）-4t-640(1)其中：r=2,g=0.1．求t(≥0)使Q(t)最大．模型求解这是求二次函数最大值问题，用代数或微分法容易得到，

t=(4r-40g-2)/rg(2)r=2,g=0.1时，t=10,Q(10)=20，即10天后出售，可得最大纯利润2089敏感性分析

由于模型假设中的参数(生猪每天体重的增加r和价格的降低g)是估计和预测的，所以应该研究它们有所变化时对模型结果的影响．

1.设每天生猪价格的降低g=0.1元不变，研究r变化的影响，由(2)式可

t=(40r-60)/r,r≥1.5t是r的增函数，表和图表示902.设每天生猪体重的增加r=2公斤不变，研究g变化的影响，由(2)式可

t=(3-20g)/g,0≤g≤0.15

t是g的减函数，表和图给出它们的关系．91强健性分析

(Robustness)

建模中假设生猪体重的增加和价格的降低都是常数，由此得到的w和p都是线性函数，这是对现实情况的简化．更实际的模型应考虑非线性和不确定性，如记w=w(t),p=p(t)，则(1)式应为

Q(t)=p(t)w(t)-4t-640(8)用微分法求解(8)式的极值问题，可知最优解应满足

p'(t)w(t)+p(t)w'(t)=4(9)(9)式左端是每天利润的增值,右端是每天投入的资金.出售的最佳时机是保留生猪直到利润的增值等于每天投人的资金为止.评注问题本身及其建模过程都非常简单，着重介绍的是它的敏感性分析和强健性分析，这种分析对于一个模型，特别是优化模型，是否真的能用，或者用的效果如何，是很重要的92建模示例6数值方法模型

估计水塔的水流量93一、问题的提出美国某州的用水管理机构要求社区提供以每小时多少加仑计的用水率以及每天所用的总用水量．但社区并没有测量流入或流出当地水塔的水量的设备，只能每小时测量水塔中的水位，其精度在0.5%以内．更为重要的是，无论什么时候，只要水塔中的水位下降到某一最低水位L时，水泵就启动向水塔重新充水直到某一最高水位Ｈ，但也无法得到水泵的供水量的测量数据．因此，在水泵正在工作时，人们不容易建立水塔中水位与水泵工作时的用水量之间的关系．水泵每天向水塔充水一次或两次，每次大约二小时．试估计在任何时候，包括水泵正在工作的时间内，水从水塔流出的流量

，并估计一天的总用水量．本题为美国大学生数学建模竞赛（MCM）1991年问题A时间(秒)水位时间(秒)水位时间(秒)水位0317535932水泵工作6853528423316311039332水泵工作7185427676635305439435355075021269710619299443318344579154水泵工作13937294746636335082649水泵工作179212892499533260859683475212402850539363167899533397252232797572543087932703340285432752605743012322842697645542927表１．某小镇某天的水塔水位水塔是一个垂直圆形柱体，高为40英尺，直径为57英尺。通常当水塔的水位降到约27.00英尺时，水泵就向水塔重新充水，而当水塔的水位升到约35.50英尺时水泵停止工作。二、模型假设(1)影响水从水塔中流出的流量的唯一因素是公众对水的要求(2)水塔中的水位不影响水流量的大小，气候条件、温度变化等也不影响水流量．(3)水泵工作起止时间由它的水位决定，每次充水时间大约为两个小时．水泵工作性能效率总是一定的，没有工作时需维修、使用次数多影响使用效率问题，水泵充水量远大于水塔水流量.(4)表中的时间数据准确在一秒以内．(5)水塔的水流量与水泵状态独立，并不因水泵工作而增加或减少水流量的大小．(6)水塔的水流量曲线可以用一条光滑的曲线来逼近．这时，水流量曲线的两阶导数是连续的．三、符号约定及说明h：水塔中水位的高度，是时间的函数，单位为英尺V：水塔中水的体积，是时间的函数，单位为加仑t：时间，单位为小时f：水塔水流量，是时间的函数，单位为加仑/小时p：水泵工作时充水的水流量，是时间的函数，单位为加仑/小时四、问题分析与建模本题可以分成三个步骤：由所给数据得到在各数据点处的水流量(数值转换)。找出一个水从水塔流出的水流量的光滑拟合逼近处理水泵工作时的充水水量以及一天该小镇公众的总用水量，同时也重建了水泵工作时所缺的数据．1．所给数据的处理把表１所给的数据作为时间的函数画成散点图图1．时间与水位的关系图充水期间的水流量的处理要想获得一个好的水流量的光滑拟合，首先要解决如何描述水塔充水期间的水流量的行为，特别是水泵的起止工作时间问题。要解决两个问题：一是两次充水准确的起始时间和停止时间；二是充水期间的水流量如何描述．从所给的数据自然无法知道水泵开始和停止的准确时间，考虑两次充水期间的数据情况。第一次充水期间的数据有：32284(秒)26.97（英尺）35932(秒)水泵工作39332(秒)水泵工作39435(秒)35.50（英尺）

39435-32284=71519(秒)

1.99小时第二次充水期间的数据变为：

85968-75021=10947(秒)

3.04小时82649-75021=7628(秒)

2.12小时75021(秒)26.97（英尺）79154(秒)水泵工作82649(秒)35.50英尺85968(秒)34.75（英尺）2．水流量曲线的拟合

时间t（小时）体积V(加仑)

时间t（小时）体积V(加仑)

时间t（小时）体积V(加仑)06061259.9811working19.03755425540.921159371710.9256working19.95945282361.843158302610.954267771520.83925148722.949757157112.032865767022.015working3.871456259912.954463953422.95816777154.978155209913.875862235223.88006633975.900054408114.982260459824.98696485067.006453396315.903958932525.90836376257.928652537216.82615750088.967851487217.9317558781

表2．时间与体积的关系2．水流量曲线的拟合

图2．时间与体积的关系图为获得流量函数的数据点集（tk,f(xk)），采用差商的方法。数据被水泵充水两次分割成三组，如果去掉水泵工作时间的不确定数据，还有25个数据点，假设这些数据点对应的时间分别为：t0,t1,…,t24。那么这三组对应的数据分别为：第一组：t0,t1,…,t9

第二组：t10,t1,…,t20

第三组：t21,t22,t23,t24为减少计算误差，对每一组数据分别采用不同的公式来计算每一组数据点的水流量，具体为：

流量与体积有关系

对处于中间的数据，采用中心差商公式对每组前两个数据点，采用向前差商公式来计算对于每组最后二个数据，采用向后差商公式计算

时间(小时)

流量(加仑/小时)

时间（小时)

流量加仑/小时

时间（小时）

流量(加仑/小时)0144059.9811working19.0375166530.92111118010.9256working19.9594144961.84311006310.95421946920.8392146482.94971101212.03282019622.015working3.8714879712.95441894122.9581152254.9781999213.87581590323.8800152645.9000812414.98221805524.9869137087.00641016015.90391564625.908396337.9286848816.8261137418.96781101817.931714962表3．时间与流量的关系图3．时间与流量的关系

采用三次样条插值来得到水流量的近似函数f(t)。(注：是一条一条三次多项式拼合而成的曲线，在拼接处不仅函数连续，而且一阶、二阶导数连续，可用Matlab求解)

为给出样条插值函数所需的边界条件，用如上向前和向后的差商公式得出两个边界条件图4．水流流量拟合曲线3.水泵充水期间的水流量处理第一次充水期间充满水的水体积

V1=677715-514872=162843（加仑）充水时间t1=10.9542-8.9678=1.9864（小时）则第一次充水期间的水泵平均水流量为3.水泵充水期间的水流量处理第二次充水期间充满水的水体积

V2=677715-514872=162843（加仑）充水时间t2=22.9581-20.8392=2.1189（小时）则第二次充水期间的水泵平均水流量为采用两次充水期间的平均水流量作为水泵充水期间的水流量可以尽量减少误差1)估计该镇一天的总用水量

用水流量插值曲线f(t)在24小时的时间区间上积分即可以求出该镇在一天的总用水量。考虑到插值函数受端点边界条件的影响，我们用在[0.9211,24.9211]时间区间积分作为该镇在一天的总用水量,有4.模型求解4.模型求解检验1.用所得水流量函数检验利用所给数据的时间在[0，25.9083]的特点，在其上任取24小时的时间段做积分，有它们相差约1%。

检验2：利用给定的数据检验我们把非充水期间的用水量用已知数