2023-2024学年湖北省黄冈市黄梅县国际育才高级中学高二（上）开学数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年湖北省黄冈市黄梅县国际育才高级中学高二（上）开学数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.设e1，e1是两个不共线的向量，且a=e1+λA.−1 B.3 C.−132.若a2+b2=c2，则a，b，c三个数称之为勾股数，从3，4，12，A.16 B.13 C.143.甲、乙、丙三人独立解决同一道数学题，如果三人分别完成的概率依次是p1、p2、p3，那么至少有一人解决这道题的概率是A.p1+p2+p3 B.4.已知向量a，b满足|a|=3，|b|=1，且(A.−53 B.−59 5.若A、B为一对对立事件，其概率分别为P(A)=4x，PA.9 B.10 C.6 D.86.在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若PA.12a+32b+127.在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=A.26 B.42 C.28.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如：10=5+5=3+7(其中3+7与A.45 B.35 C.12二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.下列条件中，使点P与A，B，C三点一定共面的是(

)A.PC=13PA+2310.已知事件A，B，且P(A)=0.5，A.如果B⊆A，那么P(AB)=0.5

B.如果A与B互斥，那么P(AB)=0

C.11.如图是一个古典概型的样本空间Ω和事件A和B，其中n(Ω)=24，n(A)=

A.n(AB)=4 B.P12.下列命题正确的是(

)A.已知u，v是两个不共线的向量．若a=u+v，b=3u−2v，c=2u+3v，则a，b，c共面

B.若向量a//b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底

C.若A三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知一个样本容量为7的样本的平均数为5，方差为2，现在样本中加人一个新数据5，则此时方差是______．14.已知|a|=2，|b|=3，a与b夹角为135°，则a在b15.已知某运动员每次投篮命中的概率都为50%，现采用随机模拟的方法估计该运动员四次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9表示不命中；再以每四个随机数为一组，代表四次投篮的结果．经随机模拟产生了20组随机数：

9075

9660

1918

9257

2716

9325

8121

4589

5690

6832

4315

2573

3937

9279

5563

4882

7358

1135

1587

4989

据此估计，该运动员四次投篮恰有两次命中的概率为

．16.在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2，A

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AP的长为2，且AP与AB、AD的夹角都等于60°，M在棱PC上，PM=12MC，设AB=a，AD=b，18.(本小题12.0分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△

(1)求

(2)若6cosB19.(本小题12.0分)11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:(1)求(2)求事件“X20.(本小题12.0分)

已知向量a=(1,1,0)，b=(−1,0,2)．

21.(本小题12.0分)

某市工会组织举行“红心向党”职工歌咏比赛，分初赛、复赛和决赛三个环节，初赛全市职工踊跃参与，通过各单位的初选，最终有2000名选手进入复赛，经统计，其年龄的频率分布直方图如图所示．

(1)求直方图中x的值，并估计复赛选手年龄的平均值(同一组中的数据用该区间的中点值作代表，结果保留一位小数)；

(2)根据频率分布直方图估计复赛选手年龄的第75百分位数；

(3)决赛由8名专业评审、10名媒体评审和12名大众评审分别打分，打分均采用10分制．已知某选手专业得分的平均数和方差分别为x1−=8.4，S12=0.015，媒体得分的平均数和方差分别为x2−=8.8，22.(本小题12.0分)

如图，在底面ABCD为菱形的平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别在棱AA1，CC1上，且A1M=13AA1，CN=13CC1，且∠A1AD=

答案和解析1.【答案】D

【解析】解：∵e1，e1是两个不共线的向量，

若a=e1+λe2与b=−13e2−e1共线，

则存在实数μ使得：a=μb，即e1+λ2.【答案】B

【解析】解：从3，4，12，13中任取两个的基本事件有(3,4)，(3,12)，(3,13)，(4,12)，(4,13)，(123.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．

至少有一人解决这道题的对立事件是三个人同时不能解决这道题，由此能求出至少有一人解决这道题的概率．

【解答】

解：甲、乙、丙三人独立解决同一道数学题，

如果三人分别完成的概率依次是p1、p2、p3，

至少有一人解决这道题的对立事件是三个人同时不能解决这道题，

∴至少有一人解决这道题的概率是p=4.【答案】A

【解析】【分析】根据(2a−9b)⊥a即可求出a⋅【解答】

解：∵(2a−9b)⊥a，

∴(2a−9b)5.【答案】A

【解析】【分析】本题考查对立事件的概率间的关系、利用基本不等式求代数式的最值要注意：一正、二定、三相等，属于中档题．

利用两个互为对立事件的概率和为1列出x，y的等式；将x+【解答】

解：由已知得4x+1y=1(x>0,y>0)，6.【答案】C

【解析】解：由于四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若PA=a，PB=b，PC=c，

所以BE=17.【答案】C

【解析】【分析】本题考查空间向量的线性运算，空间向量数量积定义以及运算律的应用，空间向量模的求解，属于中档题．

根据图形，利用向量的加法法则得到AM=A【解答】

解：在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，

AC=AB+AD，AM=AC+CM=AB+AD+23AA1，

由题意可知，AB=AD=8.【答案】D

【解析】解：在大于4且不超过16的偶数中6=3+3，8=3+5，10=3+7=5+5，12=5+7，14=3+11=7+7，16=3+13=5+11，

其中，可以有两种方法表示为两个素数的和的偶数有10，14，16.，从大于4且不超过16的偶数中，

随机选取两个不同的偶数的所有情况有：

(6,8)，(6,10)，(6,12)，(6,14)，9.【答案】AB【解析】解：对于A：∵OC−OP=13(OA−OP)+23(OB−OP)，

∴OC−OP=13OA−13OP+23OB−23OP，

∴23OP+13OP−OP=13OA+23OB−OC=0，

故OC=1310.【答案】BC【解析】解；对于A，由B⊆A得A∩B=B，则P(AB)=P(A∩B)=P(B)=0.2，A错；

对于B，由A与B互斥得A∩B=⌀，则P(AB)=P(A∩B)=P(⌀)=0，B对；

对于CD，11.【答案】AB【解析】解：对于A，∵n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(AB)，

∴n(AB)=n(A)+n(B)−12.【答案】AB【解析】解：对于A，因为u，v是两个不共线的向量，可设由u,v确定的平面为α，由于，

a，b，c分别可由u,v线性表示，所以都与由u,v确共面α，所以A对；

对于B，假设存在非零向量c，使a,b,c，构成空间的一个基底，a与b不平行，与条件矛盾，所以B对；

对于C，AB=(0−1,1−0,0−0)=(−1,1,0)，|AB|=2，AB|AB|=e13.【答案】74【解析】解：设原数据样本为x1，x2，…，x7，

则x1+x2+…+x7=5×7=35，(x1−14.【答案】−【解析】解：∵|a|=2，|b|=3，a与b夹角为135°，

∴a在b方向上的投影向量为|a|cos<a15.【答案】0.35

【解析】【分析】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．

由题意得20组机数中，该运动员四次投篮恰有两次命中的有7个，据此能求出该运动员四次投篮恰有两次命中的概率．【解答】

解：由题意得20组机数中，

该运动员四次投篮恰有两次命中的有：

1918，2716，9325，6832，2573，3937，4882，共7个，

据此估计，该运动员四次投篮恰有两次命中的概率为p=720=0.3516.【答案】23【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设点P的坐标为(0,λ,2λ)，λ∈[0,1]，点Q【解答】

解：建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，C1(0,1,2)，

设点P的坐标为(0,17.【答案】解：(1)因为PM=12MC，

所以BM=BC+CM=BC+23CP，

因为四边形ABCD是边长为1的正方形，

所以CP=AP−AC=AP−(AB+AD)=AP−AB−AD，

因为BC=AD，

所以BM=AD+23(A【解析】(1)由空间向量的线性运算直接计算即可；

(218.【答案】解

：(1)因为△ABC所以a23sin由正弦定理得sin2因为sinA(2)由(1)得因为A+B+又A∈(0,π)，所以由余弦定理得a2=b由正弦定理得b=asin所以bc=a由①②得：b所以a+b+c=

【解析】本题考查了三角形的面积公式和两角和的余弦公式和诱导公式和正弦定理余弦定理，考查了学生的运算能力，属于中档题．

(1)根据三角形面积公式和正弦定理可得答案．

(2)根据两角余弦公式可得cosA=119.【答案】解：(1)设双方10：10平后的第k个球甲获胜为事件Ak(k=1,2,3,…)，

则P(X=2)【解析】本题考查相互独立事件同时发生的概率，考查推理能力与计算能力，是中档题．

(1)设双方10：10平后的第k个球甲获胜为事件Ak(k=1,2,20.【答案】解：(1)a+kb=(1−k,1,2k)，2a+b=(1,2,2)，

∵(a+kb)//(2【解析】(1)可求出a+kb=(1−k,1,2k)，2a+b=21.【答案】解：(1)由题意，(0.01+0.015+0.020+2x+0.030+0.035+0.040)×5=1，解得x=0.025，

x−=(22.5×0.010+27.5×0.025+3