n阶行列式计算的观察总结

n阶行列式计算的观察总结

高等代课对行列式的重要性需要进一步理解行列式的含义。在这项工作中，我们总结了行列式解题方法的技能。1、行列方程的定义和性质1.1其他同单元的nn阶行列式[a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋮an1an2⋯ann]⎡⎣⎢⎢⎢⎢a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋯a1na2n⋮ann⎤⎦⎥⎥⎥⎥等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积a1j1a2j2…anjn的代数和,这里j1j2…jn是1,2,…,n的一个排列。每一项a1j1a2j2…anjn中把行下标按自然顺序排列后,其符号由列下标排列j1j2…jn的奇偶性决定。当j1j2…jn是偶排列时取正号,当j1j2…jn是奇排列时取负号,即[a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋮an1an2⋯ann]=∑j1j2⋯jn(-1)τ(j1⋯jn)a1j1a2j2⋯anjn⎡⎣⎢⎢⎢⎢a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋯a1na2n⋮ann⎤⎦⎥⎥⎥⎥=∑j1j2⋯jn(−1)τ(j1⋯jn)a1j1a2j2⋯anjn1.2行列式的编码记D=[a11a12⋯a1na21a22⋯an2⋮⋮⋮an1an2⋯ann]‚DΤ=[a11a21⋯an1a12a22⋯an2⋮⋮⋮a1na2n⋯ann]行列式D成为行列式DT的转置行列式。性质1行列式与它的转置行列式相等,即D=DT。说明1行列式中行与列具有同等地位,因此行列式的性质凡是对行列式也同样成立。上、下三角形行列式的值等于主对角线上的元素的乘积。性质2互换行列式的两行(列),行列式变号。推论1如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式为零。证明1互换行列式的两行,有D=-D,所以D=0。性质3n阶行列式等于任意一行(列)所有元素与其对应的代数余子式的乘积之和。推论2行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号外面。性质4n阶行列式中任意一行(列)的元素与另一行(列)的相应元素的代数因子式的乘积之和等于零。性质5行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k,等于用数k乘此行列式。推论3行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。推论4行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式为零。性质6若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和。性质7把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去,行列式不变。2、计算n阶行列的公式常用的行列式解法技巧包括化三角形解行列式法,降阶法,递(逆)推公式法,利用范德蒙行列式解行列式法,数学归纳法等。2.1化三角形的计算若能把一个行列式经过适当的变化化为三角形,其结果为行列式主对角线上元素的乘积,因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。化三角形法是将原行列式化为上(下)三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法,这是计算行列式的基本方法重要方法之一。2.2拉普拉斯定理法降阶法是按某一行(或某一列)展开行列式,这样可以降低一阶,更一般的使用拉普拉斯定理,这样可以降低多阶,为了时运算更加简便,往往根据行列式的特点,先利用行列式的性质简单使行列式中有较多的零出现,然后再展开。2.3计算dn值递推法是根据行列式的结构特点,建立起Dn与Dn+1的递推关系式,逐步推下去,求出Dn的值,有时Dn与Dn+1的递推关系最后利用D1,D2得到Dn的值。用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的相同结构,如果没有的话,即很难找出递推关系式,从而不能使用此方法。2.4公因式转换根据行列式的特点,适当的变形(利用行列式的性质——热:提取公因式;互换两行(列);一行乘以适当的数加到另一行(列)把所求行列式化成已知的或简单的形式,其中范德蒙行列式就是一种。这种变形方法是计算行列式最常用的方法。2.5保持原行列式不变的方法,加图说明列加边法(又称升阶法)是在原行列式中增加一行一列,且保持原行列式不变的方法。加边法适用于某一行(列)有一个相同的字母外,也可以用于其第列(行)的元素分别为n-1个元素的倍数的情况。2.6拆除搅拌方案的法由行列式拆项性质知,将已知行列式拆成若干个行列式之和,计算其值,再得原行列式值,此法称拆行(列)法。2.7以数学归纳法求当D与Dn+1是同类型的行列式时,可以考虑用数学归纳法求之。一般是利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值,在用数学归纳法给出猜想的证明。2.8假设当及其他式中,有如果行列式D中有一些元素是变数x(或某个参数)的多项式,那么可以将行列式D当作一个多项式f(x)的互素的一次因式,使得f(x)与这些因式的乘积g(x)只相差一个常数因子c,根据多项式相等的定义,比较f(x)与g(x)的某一项的系数,求出c值,便可求得D=Cg(x)。行列式中的两行(其中含变数x),若x等于某一数a时,使得两行相同,根据行列式的性质,可使得D=0.那么x-a便是一个一次因式,再找其他的互异数使得D=0,记得到与D阶数相同的互素一次因式,那么便可用此法。3、研究热点的最适合于不同的教学方法对于行列式的计算,往往方法不同,难以繁简差别程度