七年级数学上册专题4.23 双（多）角平分线模型（专项练习）-2022-2023学年七年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

/专题4.23双（多）角平分线模型（专项练习）图一图二图三结论：双角平分线夹角：一条射线把一个角分成两个角，得到三个角，任意两个角的平分线所形成的角等于第三个角的一半。一、单选题1．如图，点A，O，B在同一条直线上，OD，OE分别平分和．若，则的度数为（）A．145° B．120° C．90° D．75°2．如图，已知射线OB，OM，ON在内部，OM平分，ON平分.若，，则的度数为（

）A． B． C． D．3．如图，∠AOB=120°，OC是∠AOB内部任意一条射线，OD，OE分别是∠AOC，∠BOC的角平分线，下列叙述正确的是（

）A．∠DOE的度数不能确定 B．∠AOD=∠EOCC．∠AOD+∠BOE=60° D．∠BOE=2∠COD4．如图，已知平分，平分，则的度数为（

）A． B． C． D．5．已知，，OE平分，OF平分，则（

）A．50° B．50°或者10° C．50°或者20° D．100°或者20°6．如图，按照上北下南，左西右东的规定画出方向十字线，∠AOE＝m°，∠EOF＝90°，OM，ON分别平分∠AOE和∠BOF，下面说法：①点E位于点O北偏西m°的方向上；②点F位于点O北偏东m°的方向上；③∠MON＝135°，其中正确的有（

）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个7．把一副三角板ABC与BDE按如图所示的方式拼接在一起，其中A、D、B三点在同一条直线上，BM为∠ABC的角平分线，BN为∠CBE的角平分线．下列结论①∠MBN=45o，②∠BNE=∠BMC，③∠EBN=65o，④2∠NBD=∠CBM，其中结论正确的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．已知，OC为一射线，OM，ON分别平分∠BOC和∠AOC，则∠MON是（

）A． B． C．或 D．或9．如图，已知的顶点在直线上，平分，平分，则的度数是（

）A． B． C． D．10．如图，，为外的一个锐角，且，射线平分，平分，则的度数为（

）．A． B． C． D．二、填空题11．如图，已知，平分，，平分，则的度数是_________．12．如图，已知是直角，，OE平分，OF平分，那么______．13．已知，，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，则∠MOD的度数是______．14．如图，点O在直线AB上，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，若∠COM=4∠CON，则∠COM的度数为

______．15．已知，射线在内部，且，，射线、分别平分、，则的度数是_____．16．如图，∠AOB＝90°，OC是∠AOB里任意一条射线，OD，OE分别平分∠AOC，∠BOC，则∠DOE＝_____．17．如图，、是内的两条射线，平分，平分，若，，则_______°（用含m、n的代数式表示）．18．把一副三角尺按如图所示拼在一起，如图，其中B，C，D三点在同一条直线上，∠ACB=45°，∠DCE=60°．（1）若CM和CN分别平分∠ACB和∠DCE，如图1，则∠MCN的度数为___________；（2）若CM平分∠BCE，CN平分∠DCA，如图2，则∠MCN的度数为___________．三、解答题19．如图，OB是的平分线，OD是的平分线．(1)若，，那么是多少度？(2)若，，那么是多少度？20．如图，已知，平分，平分．(1)若，求的度数；(2)若是内任意一条射线，求的度数．21．如图，已知∠AOB=90°，∠EOF=60°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，求∠AOC和∠COB的度数．22．如图1，射线OC，OD在∠AOB的内部，且∠AOB=150°，∠COD=30°，射线OM，ON分别平分∠AOD，∠BOC．（1）若∠AOC=60°，试通过计算比较∠NOD和∠MOC的大小；（2）如图2，若将图1中∠COD在∠AOB内部绕点O顺时针旋转．①旋转过程中∠MON的大小始终不变．求∠MON的值；②如图3，若旋转后OC恰好为∠MOA的角平分线，试探究∠NOD与∠MOC的数量关系．23．已知∠AOB和∠COD均为锐角，∠AOB＞∠COD，OP平分∠AOC，OQ平分∠BOD，将∠COD绕着点O逆时针旋转，使∠BOC=α（0≤α＜180°）（1）若∠AOB=60°，∠COD=40°，①当α=0°时，如图1，则∠POQ=；②当α=80°时，如图2，求∠POQ的度数；③当α=130°时，如图3，请先补全图形，然后求出∠POQ的度数；（2）若∠AOB=m°，∠COD=n°，m＞n，则∠POQ=，（请用含m、n的代数式表示）．24．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一直角边OM在射线OB上，另一直角边ON在直线AB的下方．(1)将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使边OM在的内部，且恰好平分．问：此时直线ON是否平分？请说明理由．(2)将图1中的三角板绕点O以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转过程中，第n秒时，直线ON恰好平分，则n的值为______（点接写结果）(3)若图1中的三角板绕点O旋转至图3，使ON在的内部时，的度数是多少？参考答案1．C【分析】根据OD，OE分别平分和，得出，，从而得出．解：∵OD，OE分别平分和，∴，，∴，故选：C．【点拨】本题主要考查了角平分线的定义，根据得出，是解题的关键．2．C【分析】由OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，求出∠NOM＝∠AOD，进而可求∠AOM．解：∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，∴∠NOB＝∠DOB，∠BOM＝∠BOA，∴∠NOB＋∠BOM＝∠DOB＋∠BOA＝（∠DOB＋∠BOA）＝∠AOD，∴∠MON＝∠AOD＝×156°＝78°，∴∠AOM＝∠AOD－∠DON－∠MON＝156°－48°－78°＝30°，故选：C．【点拨】本题主要考查角平分线的定义以及角的和差计算，熟练掌握角平分线的定义以及角的和差关系是解决本题的关键．3．C【分析】依据OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分线，即可得出∠AOD+∠BOE=∠EOC+∠COD=∠DOE=60°，结合选项得出正确结论．解：∵OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分线，∴∠AOD=∠COD，∠EOC=∠BOE．又∵∠AOD+∠BOE+∠EOC+∠COD=∠AOB=120°，∴∠AOD+∠BOE=∠EOC+∠COD=∠DOE=60°．故选C．【点拨】本题考查了角的平分线的性质，理解角平分线将角分成相等的两部分是解题的关键．4．B【分析】根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论．解：∵OM平分∠AOD，ON平分∠BOC，∴∠AOD＝2∠DOM、∠BOC＝2∠NOC，又∵∠AOB＝∠AOD+∠BOC﹣∠COD，∴∠AOB＝2∠DOM+2∠NOC﹣∠COD，即∠AOB＝2（∠DOM+∠NOC）﹣∠COD，∵∠AOB＝140°，∠COD＝40°，∴∠DOM+∠NOC＝90°，则∠MON＝∠DOM+∠NOC﹣∠COD＝50°，故选：B．【点拨】本题考查了角度的计算，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．5．B【分析】根据题意画出图形，分OC在∠AOB外部或内部两种情况分别计算即可．解：如图，当OC在∠AOB外部时，∵∠AOB＝60°，∠AOC＝40°，∴∠BOC＝∠AOB＋∠AOC＝100°，∵OE平分∠AOB，OF平分∠AOC，∴∠AOE＝∠AOB＝30°，∠AOF＝∠AOC＝20°，∴∠EOF＝∠AOF＋∠AOE＝50°；如图，当OC在∠AOB内部时，∵OE平分∠AOB，OF平分∠AOC，∴∠AOE＝∠AOB＝30°，∠AOF＝∠AOC＝20°，∴∠EOF＝∠AOE−∠AOF＝30°−20°＝10°；综上所述，∠EOF＝50°或10°，故选：B．【点拨】本题考查了角平分线的定义，角的计算，体现了分类讨论的数学思想，根据题意画出两种图形是解题的关键，不要漏解．6．B【分析】观察方向图形，根据方向角解答即可．解：①点E位于点O北偏西（90﹣m）°的方向上，原结论错误；②∵∠AOE+∠EOD=90°，∠DOF+∠EOD=90°，∴∠DOF=∠AOE＝m°，∴点F位于点O北偏东m°的方向上，原结论正确；③∵∠AOE+∠BOF=90°，OM，ON分别平分∠AOE和∠BOF，∴∠MOE+∠NOF=45°，∴∠MON＝135°，原结论正确；其中正确的有2个．故选：B．【点拨】此题考查的知识点是方向角，角平分线的性质，解题关键是明确方向角的意义，熟练运用角平分线和余角的性质推导角的关系．7．C【分析】根据三角板中角的度数及角平分线的概念逐个进行分析判断．解：由题意可得：，，∴，∵BM为∠ABC的角平分线，BN为∠CBE的角平分线，∴，，故③错误；∴∠MBN==45o，故①正确；∠BNE=180°-=60°，∠BMC=90°-=60°，∴∠BNE=∠BMC，故②正确；，∴2∠NBD=∠CBM，故④正确；正确的是①②④，共3个，故选：C．【点拨】本题主要考查了角平分线的定义，利用角平分线的定义计算角的度数是解答此题的关键．8．C【分析】分射线OC在∠AOB内部和外部两种情况，讨论求解即可得到答案.解：当射线OC在∠AOB内部时，如图所示∵OM，ON分别平分∠BOC和∠AOC∴∠AON=∠NOC，∠COM=∠BOM又∵∠AOB=90°∴2（∠NOC+∠COM）=90°∴∠MON=∠NOC+∠COM=45°当射线OC在∠AOB外部时，∠COB为锐角时∵OM，ON分别平分∠BOC和∠AOC∴∠AON=∠NOC，∠COM=∠BOM又∵∠AOB=90°∴∠AON+∠NOB=90°∴∠NOB+∠BOM+∠MOC+∠NOB=90°∴∠NOB+∠BOM=45°∴∠MON=45°当射线OC在∠AOB外部时，∠COB为直角时此时ON与OB重合，∵OM，ON分别平分∠BOC和∠AOC∴∠MON=45°当射线OC在∠AOB外部时，∠COB为钝角时∵∵OM，ON分别平分∠BOC和∠AOC∴∠AON=∠NOC，∠COM=∠BOM又∵∠AOB=90°∴∠AOC+∠BOC=360°-90°=270°∴∠AON+∠NOC+∠COM+∠BOM=270°∴∠NOC+∠COM=135°∴∠MON=135°当射线OC在∠AOB外部时，∠COB为平角时同理可以求得∠MON=135°综上所述，∠MON=45°或∠MON=135°故选C.【点拨】本题主要考查了角平分线的定义，解题的关键在于能够熟练掌握角平分线的定义.9．D【分析】运用角平分线的定义算出∠FOE=2∠COF，再由∠COE为直角，可求出∠COF的度数，再求出∠AOF的度数，最后可求得∠BOE的度数．解：∵平分∴∠AOF=∠FOE∵平分∴∠AOF=2∠COF∴∠FOE=2∠COF又∠COE是直角∴∴∠AOF=∠FOE=60°∴故选：D．【点拨】此题考查角平分线的定义和角的有关运算．发现组成RT∠COE的两个角：∠FOE=2∠COF是解决问题的关键．10．A【分析】根据题意，先求得∠COB的值；OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，则可求得∠AOM、∠AON的值；∠MON=∠AOM+∠AON，计算得出结果．解：∵∠AOB=90°，且∠AOC=40°，∴∠COB=∠AOB+∠AOC=90°+40°=130°，∵OM平分∠BOC，∴∠BOM=∠BOC=65°，∴∠AOM=∠AOB-∠BOM=25°，∵ON平分∠AOC，∴∠AON=∠AOC=20°，∴∠MON=∠AOM+∠AON=45°．∴∠MON的度数是45°．故选：A．【点拨】本题考查了余角的计算，角的计算，角平分线的定义．首先确立各角之间的关系，根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化是解题的关键．11．##75度【分析】根据角平分线得出∠AOC=∠BOC=45°，结合题意得出∠BOD=15°，再由角平分线及各角的关系求解即可．解：∵∠AOB=90°，OC平分∠AOB∴∠AOC=∠BOC=45°∵∠COD=60°∴∠BOD=15°∵OD平分∠BOE∴∠BOE=30°∴∠COE=∠BOE+∠BOC=75°故答案为：75°．【点拨】题目主要考查角平分线的计算，理解题意，找准图中各角之间的关系是解题关键．12．45【分析】先计算出∠AOC的度数，再根据角平分线的定义得到∠FOC，∠EOC度数，然后求它们的差即可．解：解∵∠AOB是直角，∠BOC=60°，∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=150°．∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，∴∠EOC∠AOC=75°，∠FOC∠BOC=30°，∴∠EOF=∠EOC﹣∠FOC=45°．故答案为：45．【点拨】本题考查了角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．13．或##25°或45°【分析】分①在的外部，②在的内部两种情况，利用角平分线的定义、角的和差进行求解即可得．解：由题意，分以下两种情况：①如图，当在的外部时，平分，且，，同理可得：，则；②如图，当在的内部时，同理可得：，，则；综上，的度数是或，故答案为：或．【点拨】本题考查了与角平分线有关的计算，正确分两种情况讨论是解题关键．14．72°##72度【分析】利用平角、角平分线的性质，可求得∠MON的度数，由∠COM=4∠CON，得关于∠COM的方程，求解即可．解：∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠COM=∠AOC，∠CON=∠COB，∵∠AOC+∠COB=180°，∴∠COM+∠CON=90°，∵∠COM=4∠CON，∴∠COM+∠COM=90°，即∠COM=90°，∴∠COM=72°，故答案为：72°．【点拨】本题考查了角平分线的性质、平角的定义及一元一次方程方程的解法．利用平角是180°、角平分线的性质，得∠MON=90°是解决本题的关键．15．或##55°或5°【分析】先根据角的和差可得，再根据角平分线的定义可得的度数，然后分射线在的内部和射线在的外部两种情况，分别根据角的和差即可得．解：，射线在内部，且，，射线、分别平分、，且，，①如图，当射线在的内部时，则；②如图，当射线在的外部时，则；综上，的度数是或，故答案为：或．【点拨】本题考查了与角平分线有关的计算，正确分两种情况进行讨论是解题关键．16．45°##45度【分析】由角平分线的定义得到，，再由∠AOB=90°，得到∠AOC+∠BOC=90°，则∠DOE=∠DOC+∠EOC=．解：∵OD，OE分别平分∠AOC，∠BOC，∴，，∵∠AOB=90°，∴∠AOC+∠BOC=90°，∴∠DOE=∠DOC+∠EOC=，故答案为：45°．【点拨】本题主要考查了角平分线的定义，熟知角平分线的定义是解题的关键．17．【分析】由角平分线的定义可得，结合可求解．解：平分，平分，故答案为：．【点拨】本题主要考查角的平分线，角的计算，灵活运用角的平分线的定义是解题的关键．18．

52.5°【分析】(1)利用角平分线的定义求出∠ACM、∠ECN，可得结论；(2)利用角平分线的定义求出∠BCM、∠CAN，可得结论．解：（1）CM和CN分别平分∠ACB和∠DCE，∠ACB=45°，∠DCE=60°∴，∴.（2），∴，CM平分∠BCE∴∴同理则∴.【点拨】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．19．(1)50°(2)35°解：（1）OB是的平分线，∴；∵OD是的平分线，∴，∴；（2）OB是的平分线，∴，∴，∵OD是的平分线，∴．20．(1)(2)【分析】根据平分，平分，可得，．从而得到．进而得到．即可求解；（2）根据平分，平分，可得，．从而得到．即可求解．（1）解：因为平分，平分，所以，．因为，所以．所以．所以．（2）解：因为平分，平分，所以，．因为，所以．因为，所以．【点拨】本题主要考查了有关角平分线的计算，根据题意，准确得到角与角之间的数量关系是解题的关键．21．120°，30°【分析】先根据角平分线，求得的度数，再根据角的和差关系，求得的度数，最后根据角平分线，求得、的度数．解：∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°∴∠BOE=∠AOB=45°又∵∠EOF=60°∴∠BOF=∠EOF－∠BOE=15°又∵OF平分∠BOC∴∠BOC=2∠BOF=30°∴∠AOC=∠AOB＋∠BOC=120°故∠AOC=120°，∠COB=30°．【点拨】本题主要考查了角平分线的定义，根据角的和差关系进行计算是解题的关键注意：也可以根据的度数是度数的2倍进行求解．22．（1）；（2）①；②．【分析】（1）先根据角的和差求出和的度数，再角平分线的定义可得和的度数，然后根据角的和差即可得；（2）①先根据角的和差可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据角的和差即可得；②设，先根据角平分线的定义可得，再根据建立方程可求出，从而可得，然后根据角的和差、角平分线的定义可得，从而可得，由此即可得．解：（1），，射线OM，ON分别平分，，，，；（2）①，，射线OM，ON分别平分，，，②设，是的角平分线，，射线OM平分，，，，解得，，，射线ON平分，，，．【点拨】本题考查了角平分线的定义、角的和差等知识点，熟练掌握角平分线的定义是解题关键．23．（1）①50°；②50°；③130°；（2）m°+n°或180°-m°-n°【分析】（1）根据角的和差和角平分线的定义即可得到结论；（2）根据角的和差和角平分线的定义即可得到结论．解：（1）①∵∠AOB=60°，∠COD=40°，OP平分∠AOC，OQ平分∠BOD，∴∠BOP=∠AOB=30°，∠BOQ=∠COD=20°，∴∠POQ=50°，故答案为：50°；②解：∵∠AOB=60°，∠BOC=α=80°，∴∠AOC=140°，∵OP平分∠AOC，∴∠POC=∠AOC=70°，∵∠COD=40°，∠BOC=α=80°，且OQ平分∠BOD，同理可求∠DOQ=60°，∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC=20°，∴∠POQ=∠POC-∠COQ=70°-20°=50°；

③解：补全图形如图3所示，∵∠AOB=60°，∠BOC=α=130°，∴∠AOC=360°-60°-130°=170°，∵OP平分∠AOC，∴∠POC=∠AOC=85°，∵∠COD=40°，∠BOC=α=130°，且OQ平分∠BOD，同理可求∠DOQ=85°，∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC=85°-40°=45°，∴∠POQ=∠POC+∠COQ=85°+45°=130°；（2）当∠AOB=m°，∠COD=n°时，如图2，∴∠AOC=m°+°，∵OP平分∠AOC，∴∠POC=(m°+°)，同理可求∠DOQ=(n°+°)，∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC=(n°+°)-n°=(-n°+°)，∴∠POQ=∠POC-∠COQ=(m°+°)-(-n°+°)=m°+n°，当∠AOB=m°，∠