第四章-简支梁设计计算

=2\*ROMANII级人群荷载备注边主梁跨中0.5380.684按“偏心压力法”计算支点0.4381.422按“杠杆原理法”计算（2）计算跨中截面车辆荷载引起的最大弯矩按式（4-2）计算，其中简支梁桥基频计算公式为，对于单根主梁：混凝土弹性模量E取，主梁跨中截面的截面惯性矩，主梁跨中处的单位长度质量，（Hz），根据表1-17，冲击系数，，双车道不折减，， 计算弯矩时，， ，按跨中弯矩影响线，计算得出弯矩影响线面积为：，沿桥跨纵向与位置对应的内力影响线最大坐标值，故得：（3）计算跨中截面人群荷载引起的最大弯矩（4）计算跨中截面车辆荷载引起的最大剪力鉴于跨中剪力影响线的较大坐标位于跨中部分（见图4-4），可采用全跨统一的荷载横向分布系数进行计算。计算剪力时，影响线的面积故得：（5）计算跨中截面人群荷载引起的最大剪力图4-4跨中剪力力学计算模型（6）计算支点截面车辆荷载引起的最大剪力绘制荷载横向分布系数沿桥跨方向的变化图和支点剪力影响线如图4-5所示。荷载横向分布系数变化区段的长度：。图4-5支点剪力力学计算模型对应于支点剪力影响线的最不利车道荷载布置如图4-5a所示，荷载的横向分布系数图如图4-5b所示。m变化区段内附加三角形荷载重心处的剪力影响线坐标为：，影响线面积为。因此，按式(4-2)计算，则得：附加剪力由式（4-5）计算：由式（4-4），公路－=2\*ROMANII级作用下，边主梁支点的最大剪力为：（7）计算支点截面人群荷载引起的最大剪力由式（4-3）和式（4-6）可得人群荷载引起的支点剪力为：三主梁内力组合和包络图为了按各种极限状态来设计钢筋混凝土或预应力混凝土梁（板）桥，需要确定主梁沿桥跨方向关键截面的作用效应组合设计值（或称为计算内力值），可将各类荷载引起的最不利作用效应分别乘以相应的荷载分项系数，按《公桥通规》规定的作用效应组合而得到计算内力值。例4-3：已知例4-1所示的标准跨径为20m的5梁式装配式钢筋混凝土简支梁桥中1号边主梁的内力值最大，利用例4-1和例4-2的计算结果确定控制设计的计算内力值。解：（1）内力计算结果汇总内力计算结果表4-3荷载类别弯矩剪力（）梁端跨中梁端跨中结构重力0．0763.4156.60.0车辆荷载0．0867.72172.8488.07不计冲击力的车辆荷载0．0669.54133.3667.96人群荷载0．073.1518.733.75（2）作用效应组合结构重要性系数1）作用效应基本组合时：跨中弯矩：梁端剪力：2）作用短期效应组合时，车辆荷载不计冲击力：跨中弯矩：梁端剪力：3）作用长期效应组合时，车辆荷载不计冲击力：跨中弯矩：梁端剪力：如果在梁轴线上的各个截面处，将所采用控制设计的各效应组合设计值按适当的比例尺绘成纵坐标，连接这些坐标点而绘成的曲线，称为效应组合设计值（或称为内力组合设计值）的包络图，如图4-6所示。一个效应组合设计值包络图仅反映一个量值（M或V）在一种荷载组合情况下结构各截面的最大（最小）内力值，若有n个需要计算的量值、m种荷载组合，就有n×m个效应组合设计值包络图。在结构设计中，按所需验算的截面，依据效应组合设计值包络图得到该截面相应的量值，根据《公桥通规》规定进行相应的验算。对于小跨径梁（如跨径在10m以下），如仅计算ML/2以及Q0，则弯矩包络图可绘成二次抛物线，剪力包络图绘成直线形。确定效应组合设计值包络图之后，就可按钢筋混凝土或预应力混凝土结构设计原理的方法设计梁内纵向主筋、斜筋和箍筋，并进行各种验算。图4-6内力包络图第二节荷载横向分布计算一荷载横向分布计算原理荷载横向分布计算所针对的荷载主要是活载，因此又叫做活载横向分布（distributionofliveload）计算。下面先以单梁内力计算为例来说明梁式桥可变作用效应计算的特点。如图4-7a所示的单梁，用表示梁上某一截面的内力影响线，可方便计算出该截面的内力值。这里是一个单值函数，梁在XOZ平面内受力和变形，它是一种简单的平面问题。对于一座梁式板桥或者由多片主梁通过桥面板和横隔梁连接组成的梁桥，如图4-7b所示，当桥上作用荷载P时，由于结构的横向刚性必然会使所有主梁不同程度地参与工作，荷载作用的纵、横向位置不同，各梁所分担的荷载及其内力、变形也不同。鉴于结构受力和变形的空间性，求解这种结构的内力属于空间计算理论问题。空间计算理论的特点是直接求解结构上任一点的内力或挠度，也可如单梁计算中应用影响线那样，借助影响面来计算某点的内力值，如果结构某点截面的内力影响面用双值函数来表示，则该截面的内力值可表示为。但是，用影响面来求解桥梁最不利的内力值，由于力学计算模型复杂，计算工作量大，因此空间计算方法目前在实际上应用较少。目前桥梁设计中广泛使用的方法是将复杂的空间问题合理转化成图4-7（a）所示简单的平面问题：首先从横桥向确定出某根主梁所分担的荷载，然后再沿桥纵向确定该梁某一截面的内力。这种方法的实质是将前述的影响面分离成两个单值函数的乘积，即，因此，对于某根主梁某一截面的内力值就可表示为(4-7)式中：是单梁其一截面的内力影响线(见图4-7（a)。如果将看作是单位荷载沿横向作用在不同位置时对某梁所分配的荷载比值变化曲线，也称为对于某梁的荷载横向分布影响线，则就是当P作用于a（x，y）点时沿横向分布给某梁的荷载(图4-7（b），暂以P＇表示，即，这样，就可像图4-7（a）所示平面问题一样，求出某梁上某截面的内力值，这就是利用荷载横向分布来计算内力的基本原理。(a)在单梁上(b)在梁式桥上图4-7荷载作用下的内力计算在桥梁设计中，横向按照最不利位置布载，就可求得桥梁所受的最大荷载，定义，P为轴重，则m就称为活载横向分布系数（live-loaddistributionfactor），它表示某根主梁所承担的最大荷载是各个轴重的倍数（通常小于1）。注意，上述将空间计算问题转化成平面问题的做法只是一种近似的处理方法，因为实际上荷载沿横向通过桥面板和多根横隔梁向相邻主梁传递时情况是很复杂的，原来的集中荷载传至相邻梁时就不再是同一纵向位置的集中荷载了。但是，理论和试验研究指出，对于直线梁桥，当通过沿横向的挠度关系来确定荷载横向分布规律时，由此而引起的误差是很小的。如果考虑到实际作用在桥上的荷载并非只是一个集中荷载，而是分布在桥跨不同位置的多个车轮荷载，那末此种误差就会更小。关于这个问题，将在下面的“铰接板（梁）”中再作详细说明。显然，同一座桥梁内各根梁的荷载横向分布系数m是不相同的，不同类型的荷载（如车辆荷载、人群荷载）其m值也各异，而且荷载在梁上沿纵向的位置对m也有影响。这些问题将在本节以后内容中加以阐明。现在来分析桥梁结构具有不同横向连结刚度时，对荷载横向分布的影响。图4-8表示由5根主梁所组成的梁桥的跨中横截面，承受的荷载为P。图4-8a表示主梁与主梁间没有任何联系的结构，此时如果中梁的跨中作用有集中力P，则全桥中只有直接承载的中梁受力，该梁的荷载横向分布系数m＝1。显然这种结构形式整体性差，很不经济。(a)横向无联系(b)(c)图4-8不同横向刚度时主梁的变形和受力情况如果将各主梁相互间借横隔梁和桥面刚性连结起来，并且设想横隔梁的刚度接近无穷大（如图4-8c），则在同样的荷载P作用下，由于横隔梁无弯曲变形，因此5根主梁将共同参与受力。此时5根主梁的挠度均相等，荷载P由5根梁均匀分担，每梁只承受P/5，各粱的荷载横向分布系数m＝0.2。一般混凝土梁桥实际构造情况是：各根主梁通过横向结构联成整体，但是横向结构的刚度并非无穷大。因此，在相同的荷载P作用下，各根主梁按照某种复杂的规律变形（如图4-8b），此时中梁的挠度必然要小于而大于，设中梁所受的荷载为mP，则其荷载横向分布系数m也必然小于1而大于0.2。由此可见，桥上荷载横向分布规律与结构的横向连结刚度有着密切关系，横向连结刚度愈大，荷载横向分布作用愈显著，各主梁的分担的荷载也愈趋均匀。在实际桥梁工程中，由于桥梁施工和构造的不同，混凝土梁式桥上可能采用不同类型的横向结构。因此，为使荷载横向分布的计算能更好地适应各种类型的结构特性，就需要按不同的横向结构采用相应的简化计算模型。目前常用的荷载横向分布计算方法有：（1）杠杆原理法——把横向结构（桥面板和横隔梁）视作在主梁上断开而简支在其上的简支梁；（2）刚性横梁法——把横隔梁视作刚性极大的梁，也称偏心压力法。当计及主梁抗扭刚度影响时，此法又称为修正刚性横梁法（修正偏心压力法）；（3）铰接板(梁)法——把相邻板（梁）之间视为铰接，只传递剪力；（4）刚接梁法——把相邻主梁之间视为刚性连接，即传递剪力和弯短；（5）比拟正交异性板法——将主梁和横隔梁的刚度换算成两向刚度不同的比拟弹性平板来求解，并由实用的曲线图表进行荷载横向分布计算。上列各种实用的计算方法所具有的共同特点是：从分析荷载在桥上的横向分布出发，求得各梁的荷载横向分布影响线，通过横向最不利布载来计算荷载横向分布系数m。有了作用于单梁上的最大荷载，就能按结构力学的方法求得主梁的可变作用效应值。由于钢筋混凝土和预应力混凝土梁桥的永久作用一般比较大，即使在计算可变作用效应中会带来一些误差，但对于主梁总的设计内力来说，这种误差的影响一般是不太大的。下面分别介绍各种荷载横向分布系数计算方法的基本原理并举例说明各自的计算过程。二杠杆原理法（1）计算原理和适用场合按杠杆原理法进行荷载横向分布计算的基本假定是忽略主梁之间横向结构的联系，即假设桥面板在主梁上断开，而当作沿横向支承在主梁上的简支梁或悬臂梁。图4-9a表示桥面板直接搁在工字形主梁上的装配式桥梁。当桥上有车辆荷载作用时，作用在左边悬臂板上的轮重P1/2只传递至1号和2号梁，作用在中部简支板上者只传给2号和3号梁（图4-9b），板上的轮重P1/2各按简支梁反力的方式分配给左右两根主梁，而反力Ri的大小只要利用简支板的静力平衡条件即可求出，这就是通常所谓作用力平衡的“杠杆原理”。如果主梁所支承的相邻两块板上都有荷载，则该梁所受的荷载是两个支承反力之和，如图4-9b中2号梁所受的荷载为。图4-9按杠杆原理受力图式图4-10按杠杆原理计算横向分布系数为了求主梁所受的最大荷载，通常可利用反力影响线来进行，此时，它也就是计算荷载横向分布影响线，如图4-10所示。有了各根主梁的荷载横向影响线，就可根据车辆和人群的最不利荷载位置求得相应的横向分布系数moq和mor，如图4-10中所示。这里m，表示按杠杆原理法计算的荷载横向分布系数，拼音字母的脚标q和r相应表示车辆荷载和人群荷载。采用杠杆原理法计算时，应当计算几根主梁的横向分布系数，以便得到受载最大主梁的最大内力作为设计的依据。对于一般多梁式桥，不论跨度内有无中间横隔梁，当桥上荷载作用在靠近支点处时，例如当计算支点剪力时，荷载的绝大部分通过相邻的主梁直接传至墩台。再从集中荷载直接作用在端横隔梁上的情形来看，虽然端横隔梁是连续于几根主梁之间的，但由于不考虑支座的弹性压缩和主梁本身的微小压缩变形，显然荷载将主要传至两个相邻主梁支座，即连续端横隔梁的支点反力与多跨简支梁的反力相差不多。因此，在实践中人们习惯偏于安全地用杠杆原理法来计算荷载位于靠近主梁支点时的荷载横向分布系数。杠杆原理法也可近似地应用于横向联系很弱的无中间横隔梁的桥梁。但是这样计算得到的荷载横向分布系数，通常对于中间主梁会偏大些．而对于边梁则会偏小。对于无横隔梁的装配式箱形梁桥的初步设计，在绘制主梁荷载横向影响线时可以假设箱形截面是不变形的，故箱梁内的竖标值为等于l的常数，如图4-11所示。图4-11无横隔梁装配式箱梁桥的主梁横向影响线（2）计算举例例4-4：图4-12a为一桥面净空为净—7+2×0.75m人行道的钢筋混凝土T梁桥，共设5根主梁。试求荷载位于支点处时1号梁和2号梁相应于车辆荷载和人群荷载的横向分布系数。当荷载位于支点处时，应按杠杆原理法计算荷载横向分布系数。首先绘制1号梁和2号梁的荷载横向影响线，如图4-12b和c所示。再根据《公桥通规》规定，在横向影响线上确定荷载沿横向最不利的布置位置，求出相应于荷载位置的影响线竖标值后，就可得到横向所有荷载分布给1号梁的最大荷载值为：车辆荷载人群荷载图4-12杠杆原理法计算荷载横向分布系数（单位：cm）式中：和相应为汽车车轮轴重和每延米跨长的人群荷载集度；和为对应于汽车车轮和人群荷载集度的影响线竖标。由此可得1号梁在车辆荷载和人群荷载作用下的最不利荷载横向分布系数分别为。同理从图4-12c，计算可得2号梁的最不利荷载横向分布系数为和。这里，在人行道上没有布载，这是因为人行道荷载引起负反力，在考虑荷载组合时反而会减小2号梁的受力。各根主梁的横向分配系数可能不一样，通常就取最大的这根梁按常规方法来计算截面内力。对横向分布影响线加载时必须注意：车辆的横向布置必须符合规范要求，如车间距、车辆至边距离等；车辆的中已含车道数n；当某轮位于影响线外时，取i=0。三刚性横梁法在钢筋混凝土或预应力混凝土梁桥上，通常除在桥的两端设置横隔梁外，还设置中间横隔梁，这样可以显著增加桥梁的整体性，并加大横向结构的刚度。根据试验观测结果和理论分析，在具有可靠横向联结的桥上，且在桥的宽跨比B/L小于或接近于0.5（一般称为窄桥）的情况时，车辆荷载作用下中间横隔梁的弹性挠曲变形同主梁的弹性挠曲变形相比较小，中间横隔梁像一根刚度无穷大的刚性梁一样保持直线的形状，如图4-13所示，图中w表示梁跨中央的竖向挠度。鉴于横隔梁无限刚性的假定，此法称“刚性横梁法”，从桥上受荷载后各主梁的变形规律来看，它完全类似于一般材料力学中杆件偏心受压的情况，也称为“偏心压力法”。偏心压力法的基本假定是：在车辆荷载作用下，中间横隔梁可近似地看作一根刚度无穷大的刚性梁，横隔梁全长呈直线分布；忽略主梁抗扭刚度的影响，即不计入主梁对横隔梁的抵抗扭矩。图4-13梁桥挠曲变形（刚性横梁）（1）偏心荷载P对各主梁的荷载分布从图4-13中可见，在偏心荷载P作用下，由于各根梁的挠曲变形，刚性的中间横隔梁将从原来的c－d位置变位至c＇－d＇，呈一根倾斜的直线；靠近P的1号边梁的跨中挠度最大，远离P的5号边梁的最小(也可能出现负值)，其它任意梁的跨中挠度均按c＇－d＇线呈直线规律分布。根据在弹性范围内，某根主梁所受到的荷载Ri与该荷载所产生的弹性挠度成正比的原则，由此可以得出结论：在中间横隔梁刚度相当大的窄桥上，在沿横向偏心布置的荷载作用下，总是靠近荷载一侧的边梁受载最大。为了计算1号边梁所受的荷载，考察图4-14所示在跨中有单位荷载P=1作用在左边1号梁轴上（偏心距为e）时的荷载分布情况。假定各主梁的惯性矩Ii是不相等的（实践中往往有边梁大于中间主梁的情况）。显然，对于具有近似刚性中间横隔梁的结构，图4-14a的荷载可以用作用于桥轴线的中心荷载P=1和偏心力矩M＝1·e来替代，如图4-14b所示。因此，只要分别求出在上述两种荷载下（图4-14c和d）对各主梁的作用力，并将它们相应地叠加，便可得到偏心荷载P＝1对各根主梁的荷载横向分布。1）中心荷载P＝1的作用由于假定中间横隔梁是刚性的，且横截面对称于桥中线，在中心荷载的作用下，各根主梁就产生同样的挠度(图4-14c)，即：······根据材料力学，不计主梁抗剪刚度，作用于简支梁跨中的荷载(即主梁所分担的荷载)与挠度的关系为：或(4-8)式中：＝常数（E为主梁材料的弹性模量）。由静力平衡条件并代入式（4-8），可得故将上式代入式（4-8），得中心荷载P=1在各主梁间的荷载分布为(4-9)例如，对于1号梁式中：—1号梁(边梁)的抗弯惯性矩；—桥梁横截面内所有主梁抗弯惯性矩的总和，对于已经确定的桥梁横截面，它是常数；n—主梁根数。如果各主梁的截面均相同，则得：······图4-14偏心荷载P=1对各主梁的荷载分布图2）偏心力矩的作用在偏心力矩作用下，会使桥的横截面产生绕中心点O转角（图4-14d），因此各根主梁产生的竖向挠度可表示为(4-10)由式（4-8），主梁所受荷载与挠度的关系为：将式（4-10）代入上式得(4-11)从图4-14d中可知，当不计主梁抗扭作用时，对桥的截面中心点o所形成的反力矩之和应与外力矩平衡，故据此平衡条件并利用式（4-11）可得则(4-12)式中：···，对于已经确定的桥梁截面，它是常数。将式（4-12）代入式（4-11），得偏心力矩作用下各主梁所分配的荷载为：(4-13)3）偏心荷载P＝1对各主梁的总作用将式（4-9）和式（4-13）相叠加，并设荷载位于k号梁轴上（），就可写出任意i号主梁荷载分布的一般公式为(4-14)式中：的第2个脚标表示荷载作用位置，第1个脚标则表示由于该荷载引起反力的梁号；注意，上式中的荷载位置和梁位位于同一侧时两者的乘积取正号，反之应取负号。（2）利用荷载横向影响线求主梁的荷载横向分布系数以上论述了沿桥的横向只有一个集中荷载作用的情况，然而实际桥梁沿桥宽作用的车轮荷载不止一个，因此为方便起见，通常利用荷载横向影响线来计算横向一排荷载对某根主梁的总影响。已经知道：为单位荷载P=1作用在桥跨中第k号梁轴线上时，对各根主梁的荷载横向分布（可理解为P=1作用于k号梁，荷载位置k不变时，求其它主梁分配的荷载）；为单位荷载P＝1作用在任意梁轴线上，分布至第k号梁的荷载，即荷载横向影响线，通常写成（可理解为影响线应是已知，P=1移动时，分布至k号梁的荷载）。由式（4-14）：所以：(4-15)这就是k号主梁的荷载横向影响线在各梁位处的竖标值。如果各根主梁的截面尺寸相同，则如以1号边梁为例，它的横向影响线的两个控制竖标值就是：倘若各主梁的截面均相同，上式可简化成：鉴于Ri1图形呈直线分布，这一点从各梁挠度呈直线规律变化也可加以证明，故实际上只要计算两根边梁的荷载值R11和R51就足够了。有了荷载横向影响线，就可以根据荷载沿横向的最不利位置来计算相应的横向分布系数，从而求得其所受的最大荷载。在使用中应注意：与的关系；与的符号；荷载横向分布影响线应呈直线分布，若不呈直线分布，则计算有误。（3）计算举例例4-5：计算跨径=19.50m的桥梁，其横截面如图4-15a所示，试求荷载位于跨中时l号边梁的荷载横向分布系数（车辆荷载）和（人群荷载）。(a)桥梁横断面(b)1号梁横向影响线图4-15横向分布系数计算图示此桥在跨度内设有横隔梁，具有强大的横向连结刚性，且承重结构的长宽比为故可按刚性横梁法来绘制横向影响线并计算横向分布系数。本桥各根主梁的横截面均相等，梁数n＝5，梁间距为1.60m，则：＝由式（4-15），l号梁横向影响线的竖标值为：由和绘制的1号梁横向影响线，见图4-15b，图中并按《公桥通规》规定确定了车辆荷载和人群荷载的最不利荷载位置。可由和计算横向影响线的零点位置，在本例中，设零点至1号梁位的距离为x，则；解得x=4.80m零点位置确定后，就可求出各类荷载相应于各个荷载位置的横向影响线竖标值。设人行道路缘石至1号梁轴线的距离为△，则于是，1号梁的荷载横向分布系数可计算如下（以分别表示影响线零点至汽车车轮和人群荷载集度的横坐标距离）：车辆荷载人群荷载求得1号梁的各种荷载横向分布系数后，就可得到各类荷载分布至该梁的最大荷载值。四修正刚性横梁法刚性横梁法在推导计算公式时由于作了横隔梁近似刚性和忽略主梁抗扭刚度的两项假定，这就导致了边梁受力的计算结果偏大。为了弥补刚性横梁法的不足，国内外广泛采用考虑主梁抗扭刚度的修正刚性横梁法。（1）计算原理刚性横梁法计算荷载横向影响线坐标（以1号边梁为例）的公式为：上式等号右边第1项是由中心荷载P＝1所引起，此时各主梁只发生挠度而无转动（参见图4-14c），显然它与主梁的抗扭无关。等号右边的第2项源自于偏心力距的作用，此时，由于截面的转动，各主梁不仅发生竖向挠度，而且还必然同时引起扭转，可是在算式中却没有计入主梁的抗扭作用。由此可见，要计入主梁抗扭影响，只需对等式第2项进行修正。跨中垂直于桥轴平面内有外力矩作用，如图4-16所示，此时每根主梁除产生不相同的挠度外尚转动一个相同的角（图4-16b）。如设荷载通过跨中的刚性横隔梁传递，截出此横隔梁作为脱离体来分析，可得各根主梁对横隔梁的反作用为竖向力和抗扭矩（图4-16c）。根据平衡条件：（4-16）由材料力学，简支梁考虑自由扭转时跨中截面扭矩与扭转角以及竖向力与挠度的关系为：和（4-17）式中：—为简支梁的计算跨度；—为梁的抗扭惯矩；G—为材料的剪切模量。由几何关系（图4-16b）：图4-16考虑主梁抗扭的计算图式将公式（4-17）代入，则：再将上式代入与的关系式，就得：（4-18）为了计算任意k号梁的荷载，利用几何关系和式（4-17），则，即得（4-19）再将式（4-18）和式（4-19）代入平衡条件式（4-16），则得：于是：（4-20）最后可得考虑主梁抗扭刚度后任意k号梁的横向影响线竖标为：（4-21）式中：系数就称为抗扭修正系数，它与梁号无关，仅取决于结构的几何尺寸和材料特性。（4-22）由此可见，与刚性横梁法公式不同点仅在于第2项上乘了小于l的抗扭修正系数，所以此法称为“修正刚性横