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特别解析：特征方程法求解递推关系中的数列通项（一阶线性递推式）设已知数列的项满足,其中求这个数列的通项公式。定理1：设上述递推关系式的特征方程的根为，则当时，为常数列，即，其中是以为公比的等比数列，即.证明：因为由特征方程得作换元则当时，，数列是以为公比的等比数列，故当时，，为0数列，故（证毕）例1．已知数列满足：求解：作方程当时，数列是以为公比的等比数列.于是：例2．已知数列满足递推关系：其中为虚数单位。当取何值时，数列是常数数列？解：作方程则要使为常数，即则必须（二阶线性递推式）定理2：对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。例3：已知数列满足，求数列的通项公式。解法一（待定系数、迭加法）由，得，且。则数列是以为首项，为公比的等比数列，于是：。把代入，得：，，，。把以上各式相加，得：。。解法二（特征根法）：数列：，的特征方程是：。,。又由，于是：故(分式递推式)定理3：如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程.（1）当特征方程有两个相同的根（称作特征根）时，若则若中证明：先证明定理的第（1）部分.作交换，则①∵是特征方程的根，∴将该式代入①式得②将代入特征方程可整理得这与已知条件矛盾.故特征方程的根于是③当，即=时，由②式得故当即时，由②、③两式可得此时可对②式作如下变化：④由是方程的两个相同的根可以求得∴将此式代入④式得令则故数列是以为公差的等差数列.∴其中当时，当存在使时，无意义.故此时，无穷数列是不存在的.再证明定理的第（2）部分如下：∵特征方程有两个相异的根、，∴其中必有一个特征根不等于，不妨令于是可作变换故，将代入再整理得⑤由第（1）部分的证明过程知不是特征方程的根，故故所以由⑤式可得：⑥∵特征方程有两个相异根、方程有两个相异根、，而方程与方程又是同解方程.∴将上两式代入⑥式得当即时，数列是等比数列，公比为.此时对于都有当即时，上式也成立.由且可知所以(证毕)注:当时,会退化为常数;当时,可化归为较易解的递推关系,在此不再赘述.求数列通项公式的方法很多，利用特征方程的特征根的方法是求一类数列通项公式的一种有效途径.1.已知数列满足......①其中.定义1:方程为①的特征方程,该方程的根称为数列的特征根,记为.定理1:若且,则.定理2:若且,则.例1（09·江西·理·22）各项均为正数的数列,,且对满足的正数都有.(1)当时,求通项;(2)略.例2已知数列满足,求通项.例3已知数列满足，求数列的通项例4已知数列满足，求数列的通项2.已知数列满足②其中为常数,且.定义2:方程为②的特征方程,该方程的根称为数列的特征根,记为.定理3:若,则,其

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