四川高考数理科试卷(带详解)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．设集合，集合，则（）A.B.C.D.【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】通过解不等式再考查集合间的运算.【难易程度】容易.【参考答案】A【试题解析】故选A.2．如图，在复平面内，点表示复数，则图中表示的共轭复数的点是（）第2题图A.AB.BC.CD.D【测量目标】复平面.【考查方式】利用共轭复数考查点在复平面上的位置.【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】设，且，则z的共轭复数为,其中，故选B.3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（）第3题图ABCD第3题图【测量目标】平图形的直观图和三视图.【考查方式】给出三视图判断其直观图.【难易程度】容易.【参考答案】D【试题解析】由俯视图的圆环可排除A,B,进一步将已知三视图还原为几何体，故选D.4．设，集合是奇数集，集合是偶数集．若命题，则（）A.B.C.D.【测量目标】全称量词与存在量词.【考查方式】给出全称命题求存在命题.【难易程度】容易.【参考答案】D【试题解析】命题p是全称命题：，则是特称命题：.故选D.5．函数的部分图象如图所示，则的值分别是（）【试题解析】由向量加法的平行四边形法则，得又O是AC的中点，13．设，，则的值是_________．【测量目标】二倍角公式.【考查方式】给出关系式求特殊角的正切值.【难易程度】中等.【参考答案】【试题解析】由题意得而，14．已知是定义域为的偶函数，当时，，那么，不等式的解集是________．【测量目标】解不等式.【考查方式】给出函数的部分区间的解析式，求函数在整个区间的不等式的解集.【难易程度】较难.【参考答案】【试题解析】故为在定义域上的偶函数由，所以所以不等式的解集为.15．设为平面内的个点，在平面内的所有点中，若点到点的距离之和最小，则称点为点的一个“中位点”．例如，线段上的任意点都是端点的中位点．则有下列命题：①若三个点共线，在线上，则是的中位点；②直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点；③若四个点共线，则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．其中的真命题是____________．（写出所有真命题的序号）【测量目标】考查新定义.【考查方式】给出新定义的含义，根据新定义解题.【难易程度】较难.【参考答案】①④【试题解析】当且仅当点C在线段AB上等号成立，所以点C是中位点，故①为真命题.②③为假命题，若P为点A，C,则点P在线段AC上，若点P是B,D的中位点，则点P在线段BD上，所以若点P是A,B,C,D的中位点，则p是AC，BD的交点.所以梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．故④是真命题.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．(本小题满分12分)在等差数列中，，且为和的等比中项，求数列的首项、公差及前项和．【测量目标】等差数列的性质.【考查方式】给出等差数列的项与项之间的关系，求通项和前n项和.【难易程度】中等.【试题解析】设该数列公差为,前项和为.由已知,可得.所以,（步骤1）解得,或,即数列的首相为4,公差为0,或首相为1,公差为3.所以数列的前项和或（步骤2）.17．(本小题满分12分)在中，角的对边分别为，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，，求向量在方向上的投影．【测量目标】正弦定理和余弦定理.【考查方式】给出三角形中角的关系通过投影考查余弦定理.【难易程度】中等.【试题解析】由,得,即,则,即.(步骤1)由,得,由正弦定理,有,所以,.由题知,则,故.根据余弦定理,有,解得或(舍去). （步骤2）故向量在方向上的投影为.（步骤3）18．(本小题满分12分)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量在这个整数中等可能随机产生．（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出的值为的概率；（Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行次后，统计记录了输出的值为的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．运行次数输出的值为的频数输出的值为的频数输出的值为的频数…………甲的频数统计表（部分）乙的频数统计表（部分）运行次数输出的值为的频数输出的值为的频数输出的值为的频数………… 当时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出的值为的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大；（Ⅲ）按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出的值为2的次数的分布列及数学期望．第18题图【测量目标】选择结构的程序框图.【考查方式】通过实际案列来考查对框图的识别。【难易程度】较难【试题解析】.变量x是在1,2,3，……24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能.当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y的值为1，故；当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y的值为2，故;当x从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y的值为3，故.（步骤1）当n=2100时，甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率如下：输出的值为的频率输出的值为的频率输出的值为的频率甲乙比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大.（步骤2）（3）随机变量可能饿取值为0,1,2,3.故的分布列为所以即的数学期望为1.（步骤3）19．(本小题满分12分)如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，分别是线段的中点，是线段的中点．（Ⅰ）在平面内，试作出过点与平面平行的直线，说明理由，并证明直线平面；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线交于点，交于点，求二面角的余弦值．第19题图【测量目标】二面角平面角的基本知识.【考查方式】给出几何体的相关性质求相关知识.【难易程度】较难.【试题解析】如图,在平面内,过点做直线//,因为在平面外,第19题图在平面内,由直线与平面平行的判定定理可知,//平面.由已知,,是的中点,所以,,则直线.因为平面,所以直线.又因为在平面内,且与相交,所以直线平面.（步骤1）解法一:连接,过作于,过作于,连接.由知,平面,所以平面平面.所以平面,则.所以平面,则.故为二面角的平面角(设为).（步骤2）设,则由,,有,.又为的中点,所以为的中点,且,在中,;在中,.从而,,,所以.所以.故二面角的余弦值为.（步骤3）解法二:设.如图,过作平行于,以为坐标原点,分别以,的方向为轴,轴,轴的正方向,建立空间直角坐标系(点与点重合).第19题图则,.因为为的中点,所以分别为的中点,故,所以,,.（步骤1）设平面的一个法向量为,则即故有从而取,则,所以.（步骤2）设平面的一个法向量为,则即故有从而取,则,所以.（步骤3）设二面角的平面角为,又为锐角,则.故二面角的余弦值为.（步骤4）20．(本小题满分13分)已知椭圆：的两个焦点分别为，且椭圆经过点．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于、两点，点是线段上的点，且，求点的轨迹方程．【测量目标】圆锥曲线中的轨迹问题.【考查方式】给出椭圆方程求动点的轨迹方程.【难易程度】较难.【试题解析】，所以，.又由已知，,所以椭圆C的离心率(步骤1)由知椭圆C的方程为.设点Q的坐标为(x,y).(1)当直线l与x轴垂直时，直线l与椭圆C交于两点，此时Q点坐标为（步骤2）(2)当直线l与x轴不垂直时，设直线的方程为.因为M,N在直线l上，可设点M,N的坐标分别为，则.又由，得，即①将代入中，得②（步骤3）由得.由②可知代入①中并化简，得③因为点在直线上，所以，代入③中并化简，得.由③及，可知,即.又满足，故.由题意，在椭圆C内部，所以y1（步骤4）又由有且y1，则.所以点Q的轨迹方程是，其中（步骤5）21．(本小题满分14分)已知函数，其中是实数．设，为该函数图象上的两点，且．（Ⅰ）指出函数的单调区间；（Ⅱ）若函数的图象在点处的切线互相垂直，且，求的最小值；（Ⅲ）若函数的图象在点处的切线重合，求的取值范围．【测量目标】不等式的综合应用.【考查方式】给出函数解析式回答在各种条件下的问题.【难易程度】较难.【试题解析】函数的单调递减区间为，单调递增区间为（步骤1）由导数的几何意义可知，点A处的切线斜率为，点B处的切线斜率为，故当点A处的切线与点B处的切垂直时，有.（步骤2）当时，对函数求导，得.因为，所以，所以.因此