第03讲圆的方程（原卷版）

第03讲圆的方程1．圆的定义和圆的方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆方程标准(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圆心C(a，b)半径为r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)圆心Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))半径r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)2．点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：(1)|MC|>r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外；(2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；(3)|MC|<r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔M在圆内．一．圆的方程例1．（1）已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（

）A． B．C． D．【复习指导】：直接法求圆的标准方程的策略确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等．（2）圆关于直线对称的圆的方程是（

）A． B．C． D．（3）已知，则的外接圆的一般方程为（

）A． B．C． D．【复习指导】：求圆的方程(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．（4）若直线是圆的一条对称轴，则（

）A． B． C．1 D．（5）“”是“方程表示圆”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【复习指导】：圆的一般方程的辨析(1)由圆的一般方程的定义，若D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆．(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解．（6）经过，两点，且圆心在直线上的圆的标准方程为______.（7）圆的直径为___________.二．点与圆的位置关系例2．（1）点与圆的位置关系是（

）．A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．不能确定（2）已知两直线与的交点在圆的内部，则实数k的取值范围是（

）.A． B．C． D．（3）已知四点共圆，则实数的值为（

）A． B． C． D．（4）若点在圆外，则实数a的取值范围是______.【复习指导】：判断点与圆位置关系的两种方法(1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小．(2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断．三．与圆有关的最值问题例1．（1）已知为圆上一动点，则点到直线的距离的最大值是（

）A． B． C． D．（2）已知直线：与圆：，则上各点到距离的最小值为（）A． B． C． D．（3）已知直线l过点，则直线l被圆O：截得的弦长的最小值为（

）A．3 B．6 C． D．（4）在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当、变化时，的最大值为A．B．C．D．（5）已知实数x，y满足方程，则=1\*GB3①的最大值和最小值分别为________和________；=2\*GB3②y－x的最大值和最小值分别为________和________；=3\*GB3③的最大值和最小值分别为_______和_______．（6）已知为圆C：上任意一点，且点．=1\*GB3①求的最大值和最小值．=2\*GB3②求的最大值和最小值．=3\*GB3③求的最大值和最小值．【复习指导】：与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u＝eq\f(y－b,x－a)型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；②形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点到定点(a，b)的距离的平方的最值问题．四．与圆有关的轨迹方程例4．（1）已知点，，则以为斜边的直角三角形的直角顶点的轨迹方程是（

）A． B．C． D．（2）已知A，B是：上的两个动点，P是线段的中点，若，则点P的轨迹方程为（

）A． B．C． D．（3）点与两个定点，的距离的比为，则点的轨迹方程为______．（4）在平面直角坐标系中，A（6，0），点B为圆C：上的动点，点P满足，则动点P的运动轨迹方程为_________.的最小值为_________.【复习指导】：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．(3)几何法：利用圆的几何性质列方程．(4)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．1．已知，则外接圆的方程为（

）A． B． C． D．2．在平面直角坐标系中，以点(0，1)为圆心且与直线相切的圆的标准方程为（

）A． B．C． D．3．已知点A（1，2）在圆C：外，则实数m的取值范围为（

）A． B．C． D．4．若方程表示圆，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．5．若圆：过坐标原点，则实数的值为（

）A．2或1 B．2或1 C．2 D．16．已知直线过定点P，线段MN是圆的直径，则（

）A． B．3 C．7 D．97．点在圆上，点，则的最大值为（

）A．3 B．4 C．5 D．68．已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为（

）A． B．9 C．4 D．89．已知圆上两动点A，B满足为正三角形，O为坐标原点，则的最大值为（）A．B．C．D．10．已知是圆上的两个动点，点，若，则的最大值为（

）A． B． C． D．11．已知过点的动直线l与圆C：交于A，B两点，过A，B分别作C的切线，两切线交于点N．若动点，则的最小值为（

）A．6 B．7 C．8 D．912．已知，关于直线对称的圆记为，点E，F分别为，上的动点，EF长度的最小值为4，则（

）A．或 B．或 C．或 D．或13．已知圆内一点P(2，1)，则过P点的最短弦所在的直线方程是（

）A． B．C． D．14．直线l：与圆C：交于A，B两点，则当弦AB最短时直线l的方程为A． B．C． D．15．已知圆的方程为，过点的直线与圆交于，两点，则弦的最小值为（

）A． B．10 C． D．516．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（，且）的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹的圆心坐标为（

）A． B． C． D．17．已知点P在圆上，则点P到x轴的距离的最大值为（

）A．2 B．3 C． D．18．在平面直角坐标系xOy中，以点(0,1)为圆心且与直线x－by＋2b＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为()A．x2＋(y－1)2＝4 B．x2＋(y－1)2＝2C．x2＋(y－1)2＝8 D．x2＋(y－1)2＝1619．（多选）已知直线，圆，则（

）A．直线过定点B．圆的半径是1C．存在一个实数，使得直线经过圆的圆心D．无论取何值，直线与圆相交20．（多选）已知圆的方程为，对任意的，该圆（

）A．圆心在一条直线上 B．与坐标轴相切C．与直线不相交 D．不过点21．（多选）椭圆上一点和圆上一点，则的值可能是（

）A． B．1 C．3 D．422．（多选）已知直线与圆交于A，B两点，点M为圆C上的一动点，点，记M到l的距离为d，则（

）A． B．d的最大值为C．是等腰三角形 D．的最小值为23．（多选）过圆外一点作直线交圆于、两点，则弦的中点（

）A．轨迹为圆 B．满足方程C．轨迹为一段圆弧 D．满足方程24．(多选)设有一组圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命题正确的是()A．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上B．所有圆Ck均不经过点(3,0)C．经过点(2,2)的圆Ck有且只有一个D．所有圆的面积均为4π25．与圆同圆心且过点的圆的方程是_____________．26．若圆的圆心在直线上，则C的半径为______．27．若圆上有且仅有三个点到直线的距离为1，则_______．28．若不同的四点共圆，则实数__________．29．直线与的交点在曲线上，则______．30．已知，是曲线上的动点，为直线上的一个动点，则的最小值为______.31．若点P在椭圆C1：＋y2＝1上，C1的右焦点为F，点Q在圆C2：x2＋y2＋10x－8y＋39＝0上，则的最小值为__________．32．在平面内，一只蚂蚁从点出发，爬到轴后又爬到圆上，则它爬到的最短路程是______．33．当直线l：ax－y＋2－a＝0被圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝9截得的弦长最短时，实数a的值为________.34．己知实数满足，则的最大值为__________．35．已知圆过点，，则圆心到坐标原点的距离的最小值为___________.36．已知圆经过点，与直线相切，且被轴截得的弦长为，则圆的标准方程为________.37．已知A(0,2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是________．38．在平面直角坐标系中，点满足，则动点的运动轨迹方程为__________；的最小值为__________.39．已知直线l：与圆相交于A、B两点，M是线段AB的中点，则M的轨迹方程为_____；M到直线的距离的最小值为_____．40．已知曲线：．（1）当取何值时，方程表示圆？（2）求证：不论为何值，曲线必过两定点．（3）当曲线表示圆时，求圆面积最小时的值．41．已知圆心为C的圆经过两点，且圆心C在直线上(1)求圆C的标准方程．(2)若直线PQ的端点P的坐标是，端点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点M的轨迹方程42．已知圆C经过点且圆心C在直线上.(1)求圆C方程；(2)若E点为圆C上任意一点，且点，求线段EF的中点M的轨迹方程.43．已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，(1)求eq\f(y,x)的最大值和最小值．(2)求x2＋y2的最大值和最小值．44．已知圆经过点，且圆心在直线上，点为圆上的一个动点，为原点.(1)求圆的方程；(2)求面积的最大值.45．已知圆C经过，两点，且圆心C在直线上．(1)求圆C的标准方程；(2)若P是直线上的动点，Q是圆C上的动点，定点，求的最大值．46．已知圆心在轴上的圆与轴交于两点，(1)求此圆的标准方程；(2)设为圆上任意一点，求到直线的距离的最大值.47．已知圆内有一点，直线l过点P且和圆C