考点14直线和圆的方程（26种题型10个易错考点）

考点14直线和圆的方程（26种题型10个易错考点）一一、真题多维细目表考题考点考向2022新高考直线与圆，圆与圆的位置关系求切线方程2022新高考直线与圆，圆与圆的位置关系由直线与圆有交点求参数的取值范围2022新高考直线方程求直线方程2021新高考直线与圆，圆与圆的位置关系点到直线的距离公式，圆的方程及应用2021全国乙文直线方程点到直线的距离2020课标直线与圆，圆与圆的位置关系直线与圆相切，直线方程2020课标直线与圆，圆与圆的位置关系求弦长的最值二二、命题规律与备考策略近几年对本章的内容的考查方式及题目难度变化不大，主要考查直线、圆的方程及位置关系，考查直线方程的求解、直线过定点问题的求解、含参直线方程中参数的取值范围的求解、直线与圆的位置关系中涉及弦长与切线方程的求解，以常规题型、常规解法为主要方向，常结合基本不等式、函数、三角形面积等知识考查最值问题。三三、2023真题抢先刷，考向提前知1．（2023•全国）O为原点，P在圆C（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1上，OP与圆C相切，则|OP|＝（）A．2 B． C． D．【分析】由题意利用勾股定理即可求解．【解答】解：O为原点，P在圆C（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1上，OP与圆C相切，则|OP|＝＝＝2．故选：A．【点评】本题考查了圆的切线长问题，属于基础题．2．（2023•乙卷）已知实数x，y满足x2+y2﹣4x﹣2y﹣4＝0，则x﹣y的最大值是（）A．1+ B．4 C．1+3 D．7【分析】根据题意，设z＝x﹣y，分析x2+y2﹣4x﹣2y﹣4＝0和x﹣y﹣z＝0，结合直线与圆的位置关系可得有≤3，解可得z的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，x2+y2﹣4x﹣2y﹣4＝0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2＝9，其几何意义是以（2，1）为圆心，半径为3的圆，设z＝x﹣y，变形可得x﹣y﹣z＝0，其几何意义为直线x﹣y﹣z＝0，直线y＝x﹣z与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝9有公共点，则有≤3，解可得1﹣3≤z≤1+3，故x﹣y的最大值为1+3．故选：C．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的一般方程，属于基础题．3．（2023•乙卷）已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为BC的中点，若|PO|＝，则•的最大值为（）A． B． C．1+ D．2+【分析】设∠OPC＝α，则，根据题意可得∠APO＝45°，再将•转化为α的函数，最后通过函数思想，即可求解．【解答】解：如图，设∠OPC＝α，则，根据题意可得：∠APO＝45°，∴＝＝cos2α﹣sinαcosα＝＝，又，∴当，α＝，cos（）＝1时，取得最大值．故选：A．【点评】本题考查向量数量积的最值的求解，函数思想，属中档题．4．（2023•新高考Ⅰ）过点（0，﹣2）与圆x2+y2﹣4x﹣1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sinα＝（）A．1 B． C． D．【分析】圆的方程化为（x﹣2）2+y2＝5，求出圆心和半径，利用直角三角形求出sin，再计算cos和sinα的值．【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣1＝0可化为（x﹣2）2+y2＝5，则圆心C（2，0），半径为r＝；设P（0，﹣2），切线为PA、PB，则PC＝＝2，△PAC中，sin＝，所以cos＝＝，所以sinα＝2sincos＝2××＝．故选：B．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系应用问题，也考查了三角函数求值问题，是基础题．二．填空题（共4小题）5．（2023•上海）已知圆x2+y2﹣4x﹣m＝0的面积为π，则m＝﹣3．【分析】先把圆的一般方程化为标准方程，再结合圆的半径为1求解即可．【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣m＝0化为标准方程为：（x﹣2）2+y2＝4+m，∵圆的面积为π，∴圆的半径为1，∴4+m＝1，∴m＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题主要考查了圆的标准方程，属于基础题．6．（2023•天津）过原点的一条直线与圆C：（x+2）2+y2＝3相切，交曲线y2＝2px（p＞0）于点P，若|OP|＝8，则p的值为6．【分析】不妨设直线方程为y＝kx（k＞0），由直线与圆相切求解k值，可得直线方程，联立直线与抛物线方程，求得P点坐标，再由|OP|＝8列式求解p的值．【解答】解：如图，由题意，不妨设直线方程为y＝kx（k＞0），即kx﹣y＝0，由圆C：（x+2）2+y2＝3的圆心C（﹣2，0）到kx﹣y＝0的距离为，得，解得k＝（k＞0），则直线方程为y＝，联立，得或，即P（）．可得|OP|＝，解得p＝6．故答案为：6．【点评】本题考查直线与圆、直线与抛物线位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．7．（2023•新高考Ⅱ）已知直线x﹣my+1＝0与⊙C：（x﹣1）2+y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为”的m的一个值2（或﹣2或或﹣）．【分析】由“△ABC面积为，求得sin∠ACB＝，设∠ACB＝θ，得到cosθ，进而求得圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式，列出方程，即可求解．【解答】解：由圆C：（x﹣1）2+y2＝4，可得圆心坐标为C（1，0），半径为r＝2，因为△ABC的面积为，可得S△ABC＝×2×2×sin∠ACB＝，解得sin∠ACB＝，设∠ACB＝θ所以∴2sinθcosθ＝，可得＝，∴＝，∴tanθ＝或tanθ＝2，∴cosθ＝或cosθ＝，∴圆心到直线x﹣my+1＝0的距离d＝或，∴＝或＝，解得m＝±或m＝±2．故答案为：2（或﹣2或或﹣）．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．8．（2023•上海）已知圆C的一般方程为x2+2x+y2＝0，则圆C的半径为1．【分析】把圆C的一般方程化为标准方程，可得圆C的圆心和半径．【解答】解：根据圆C的一般方程为x2+2x+y2＝0，可得圆C的标准方程为（x+1）2+y2＝1，故圆C的圆心为（﹣1，0），半径为1，故答案为：1．【点评】本题主要考查圆的一般方程和标准方程，属基础题．四四、考点清单一．直线的倾斜角1.倾斜角的定义（1）当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．（2）当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.2.直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.二．直线的斜率1.斜率的定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即.2.斜率的计算公式：定义斜率的定义式两点式过两点，的直线的斜率公式为【注意】任何直线都有倾斜角，但当倾斜角等于时，直线的斜率不存在.图示倾斜角斜率不存在三．直线的平行于垂直定义平行当存在时，两直线平行，则当不存在时，则两直线的倾斜角都为垂直当存在时，两直线垂直，则当不存在时，则一条直线倾斜角为，另一条直线倾斜角为【注意】在计算两直线平行的题时，注意考虑重合的情况.四．直线的方程直线方程适用范围点斜式不能表示与轴垂直的直线斜截式不能表示与轴垂直的直线两点式不能表示与轴、轴垂直的直线截距式不能表示与轴垂直、轴垂直以及过原点的直线一般式无局限性五．特殊的直线方程已知点，则类型直线方程与轴垂直的直线与轴垂直的直线六．方向向量与直线的参数方程除了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程外，还有一种形式的直线方程与向量有紧密的联系，它由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定，与直线的点斜式方程本质上是一致的.如图1，设直线l经过点，是它的一个方向向量，P(x,y)是直线l上的任意一点，则向量与共线.根据向量共线的充要条件，存在唯一的实数t，使，即，所以.在①中，实数t是对应点P的参变数，简称参数.由上可知，对于直线l上的任意一点P(x,y)，存在唯一实数t使①成立；反之，对于参数t的每一个确定的值，由①可以确定直线l上的一个点P(x,y).我们把①称为直线的参数方程.七．直线的平行与垂直斜截式一般式直线方程平行（注意可能重合）垂直八．利用平行与垂直解决问题斜截式一般式直线方程平行若直线，则可设的方程为：若直线，则可设的方程为：垂直若直线，则可设的方程为：若直线，则可设的方程为：九．两条直线的交点对于直线，，求交点即解方程组，该方程组的解与两直线的位置关系如下：方程组解的个数位置关系一个解相交无解平行无数解重合十．三个距离公式条件距离公式两点之间的距离公式已知两点，点到直线的距离公式已知一点，以及直线两平行线的距离公式已知直线，以及十一．对称条件方法两点关于另外一点对称，两点关于对称两点关于一直线对称，两点关于直线对称（斜率存在）1.两点的中点在直线上；2.两点所在直线与直线垂直两直线关于另一直线对称（三直线不平行）1.三条直线交于同一点；十二．两点关于一直线特殊的对称点的坐标直线方程对称点坐标十三．到角公式设的斜率分别是，到的角为，则.十四．圆的定义圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心,定长为半径).圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.十五．圆的标准方程圆的标准方程圆心半径十六．圆的一般方程圆的一般方程圆心半径十七．二元二次方程与圆的方程1.二元二次方程与圆的方程的关系：二元二次方程，对比圆的一般方程，，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程.2.二元二次方程表示圆的条件：二元二次方程表示圆的条件是&A=C≠0&B=0&(十八．点与圆的位置关系圆的标准方程为一般方程为.平面内一点到圆心的距离为.位置关系判断方法几何法代数法（标准方程）代数法（一般方程）点在圆上点在圆外点在圆内十九．与圆有关的最值问题1.与圆的几何性质有关的最值问题类型方法圆外一定点到圆上一动点距离的最值最大值：；最小值：（为该定点到圆心的距离）圆上一动点到圆外一定直线距离的最值最大值：；最小值：（为圆心到直线的距离）过园内一定点的弦的最值最大值：直径；最小值：与过该点的直径垂直的弦2.与圆的代数结构有关的最值问题类型代数表达方法截距式求形如的最值转化为动直线斜率的最值问题斜率式求形如的最值转化为动直线截距的最值问题距离式求形如的最值转化为动点到定点的距离的平方的最值问题【注意】截距式与斜率式在学习直线与圆的位置关系后，都可转化为动直线与圆相切时取得最值.同时，需要注意若是斜率式，则需考虑斜率是否存在.二十．直线与圆的位置关系位置关系图示几何法代数法相切（为圆心到直线的距离）相交（为圆心到直线的距离）相离（为圆心到直线的距离）二十一．相切→求切线方程过定点作圆的切线，则切线方程为：与圆的位置关系切线条数切线方程（方法）在圆上1条在圆外2条【分两种情况讨论】：1.斜率存在，设为点斜式，再通过或求出斜率即可；.【说明】：若情况1有一解，则情况2必有一解；若情况1有两解，则情况2必无解.二十二．相交→求弦长弦长公式：直线与圆相交于两点，则（为圆心到直线的距离）.二十三．圆与圆的位置关系两圆的半径分别为，两圆的圆心距为，则两圆的位置关系及其判断方法为：位置关系图示几何法公切线条数外离四条外切三条相交两条内切一条内含无二十四．两圆的公共弦1.公共弦方程：将两圆的方程作差，所得到的直线方程就是两圆的公共弦方程.2.公共弦长：取其中一个圆，利用圆的弦长公式即可求出.二十五、直线与圆的综合应用的一般步骤：步骤具体内容第一步设直线方程，注意讨论直线斜率是否存在第二步联立直线与圆方程消元化简第三步根据韦达定理写出两根之和与两根之积第四步根据题中所给的条件，带入韦达定理五五、题型方法一．直线的倾斜角（共1小题）1．（2023•二七区校级模拟）已知直线l的方程为，α∈R，则直线l的倾斜角范围是（）A． B． C． D．【分析】计算，再考虑和两种情况，得到倾斜角范围．【解答】解：，则，设直线l的倾斜角为，故，所以当时，直线l的倾斜角；当时，直线l的倾斜角；综上所述：直线l的倾斜角故选：B．【点评】本题主要考查了直线的倾斜角与斜率关系的应用，考查了正切函数的性质，属于基础题．二．直线的斜率（共2小题）2．（2023•湖北模拟）已知点A（2，3），B（﹣3，﹣2）与直线l：kx﹣y﹣k+1＝0，且直线l与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围为（）A．k≥2或 B．或 C． D．【分析】直线l经过定点M（1，1），求得MA、MB的斜率，可得直线l的斜率k的取值范围．【解答】解：已知点A（2，3），B（﹣3，﹣2）与直线l：kx﹣y﹣k+1＝0，且直线l与线段AB相交，直线l：kx﹣y﹣k+1＝0，即直线l：k（x﹣1）﹣y+1＝0，它经过定点M（1，1），MA的斜率为＝2，MB的斜率为＝，则直线l的斜率k的取值范围为k≥2或k≤，故选：A．【点评】本题主要考查直线的斜率，属于基础题．3．（2023•定远县校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，将点绕原点O逆时针旋转90°到点B，那么点B坐标为（﹣1，），若直线OB的倾斜角为α，则其斜率为﹣．【分析】根据点A的坐标可确定直线OA的倾斜角，由题意可得OB的倾斜角，利用三角函数定义可求得B的坐标，继而求出OB的斜率．【解答】解：设点为角θ终边上一点，如图所示，|OA|＝2，由三角函数的定义可知：，，则θ＝k•360°+30°，（k∈Z），则直线OA的倾斜角为30°，将点绕原点O逆时针旋转90°到点B，得直线OB的倾斜角为120°，且点B在120°角的终边上，由三角函数定义可得点B的坐标为（2cos120°，2sin120°），即，且α＝120°，则．故答案为：．【点评】本题主要考查了任意角的三角函数的定义，考查了直线的斜率公式，属于基础题．三．直线的截距式方程（共2小题）4．（2023•定远县校级模拟）直线l1：y＝2x和l2：y＝kx+1与x轴围成的三角形是等腰三角形，写出满足条件的k的两个可能取值：﹣2和．【分析】根据给定条件，按等腰三角形底边所在直线分类，结合斜率的意义及二倍角的正切求解作答即可．【解答】解：令直线l1，l2的倾斜角分别为α，θ，则tanα＝2，tanθ＝k，当围成的等腰三角形底边在x轴上时，θ＝π﹣α，k＝tan（π﹣α）＝﹣tanα＝﹣2；当围成的等腰三角形底边在直线l2上时，α＝2θ，θ∈（0，），tanα＝tan2θ＝＝2，整理得k2+k﹣1＝0，而k＞0，解得k＝．所以的两个可能取值﹣2，．故答案为：﹣2；．【点评】本题考查直线的斜率和倾斜角的关系，二倍角公式，属于基础题．5．（2023•高新区校级模拟）若直线ax+by＝ab（a＞0，b＞0）过点（1，1），则该直线在x轴与y轴上的截距之和的最小值为4．【分析】由直线过定点，得出a+b＝ab，利用“1“的代换结合基本不等式，求出该直线在x轴与y轴上的截距之和的最小值．【解答】解：由题意，a+b＝ab，即+＝1，直线ax+by＝ab（a＞0，b＞0），令x＝0，y＝a；令y＝0，x＝b，该直线在x轴与y轴上的截距之和a+b＝（+）•（a+b）＝2++≥2+2＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故答案为：4．【点评】本题考查直线的方程，考查基本不等式的应用，属于基础题．四．直线的一般式方程与直线的性质（共2小题）6．（2023•丰台区二模）已知点P（0，2），直线l：x+2y﹣1＝0，则过点P且与直线l相交的一条直线的方程是y＝x+2（答案不唯一）．【分析】求出过P（0，2）且与l：x+2y﹣1＝0不平行的方程即可．【解答】解：直线l：x+2y﹣1＝0的斜率为，故只需所求直线方程斜率不是即可，可设过点P且与直线l相交的一条直线的方程为y＝x+2．故答案为：y＝x+2（答案不唯一）．【点评】本题主要考查直线平行的性质，属于基础题．7．（2023•山东模拟）如图，P是抛物线C：y＝x2上一点，直线l过点P并与抛物线C在点P的切线垂直，l与抛物线C相交于另一点Q．（Ⅰ）当点P的横坐标为2时，求直线l的方程；（Ⅱ）当点P在抛物线C上移动时，求线段PQ中点M的轨迹方程，并求点M到x轴的最短距离．【分析】（1）由于直线l过点P并与抛物线C在点P的切线垂直，要求求直线l的方程，我们可以根据点P的横坐标为2，求出点P的坐标，并求出P点处函数的导数值，即过P点切线的斜率，进而得到直线l的斜率，代入点斜式方程进行求解．（2）方法一，求线段PQ中点M的轨迹方程，我们可以分别求出直线与抛物线两交点的坐标，代入中点公式进行化简，得到变量x，y之间的关系，即轨迹方程；方法二：将直线方程代入抛物线的方程，再结合韦达定理（根与系数关系）对式子进行化简，探究变量x，y之间的关系，即轨迹方程．【解答】解：（Ⅰ）把x＝2代入，得y＝2，∴点P坐标为（2，2）．由，①得y'＝x，∴过点P的切线的斜率k切＝2，直线l的斜率kl＝﹣＝，∴直线l的方程为y﹣2＝﹣（x﹣2），即x+2y﹣6＝0．（Ⅱ）设．∵过点P的切线斜率k切＝x0，当x0＝0时不合题意，x0≠0．∴直线l的斜率kl＝﹣＝，直线l的方程为．②方法一：联立①②消去y，得x2+x﹣x02﹣2＝0．设Q（x1，y1），M（x，y）．∵M是PQ的中点，∴消去x0，得y＝x2+（x≠0）就是所求的轨迹方程．由x≠0知x2＞0，∴．上式等号仅当时成立，所以点M到x轴的最短距离是．方法二：设Q（x1，y1），M（x，y）．则由y0＝x02，y1＝x12，x＝，∴y0﹣y1＝x02﹣x12＝（x0+x1）（x0﹣x1）＝x（x0﹣x1），∴，∴，将上式代入②并整理，得y＝x2+（x≠0）就是所求的轨迹方程．由x≠0知x2＞0，∴．上式等号仅当时成立，所以点M到x轴的最短距离是．【点评】本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法，解析几何的基本思想和综合解题能力．在使用点斜式表示过定点的直线方程时，一定要注意它不能表示斜率不存在的直线，此时与它垂直的直线斜率为0，故在使用前要对这种情况进行讨论．五．直线的一般式方程与直线的平行关系（共3小题）8．（2023•丹东模拟）直线x+ay﹣3＝0与直线（a+1）x+2y﹣6＝0平行，则a＝（）A．﹣2 B．1 C．﹣2或1 D．﹣1或2【分析】根据题意，由直线平行的判断方法可得2＝a（a+1），解可得a的值，验证可得答案．【解答】解：根据题意，直线x+ay﹣3＝0与直线（a+1）x+2y﹣6＝0平行，则有2＝a（a+1），解可得a＝1或﹣2，当a＝1时，两直线的方程为x+y﹣3＝0和2x+2y﹣6＝0，两直线重合，不符合题意；当a＝﹣2时，两直线的方程为x﹣2y﹣3＝0和﹣x+2y﹣6＝0，两直线平行，符合题意；综合可得：a＝﹣2．故选：A．【点评】本题考查直线平行的判断，涉及直线的一般式方程，属于基础题．9．（2023•河北三模）直线l1：ax+y+1＝0与l2：x+ay﹣1＝0平行的充要条件是（）A．a＝1 B．a＝﹣1 C．a＝1或﹣1 D．0【分析】由已知结合直线平行的条件即可求解．【解答】解：直线l1：ax+y+1＝0与l2：x+ay﹣1＝0平行的充要条件是：k1＝k2且不重合，由得a＝±1，又a＝﹣1时两直线重合，直线l1：ax+y+1＝0与l2：x+ay﹣1＝0平行的充要条件是a＝1．故选：A．【点评】本题主要考查了直线平行条件的应用，属于基础题．10．（2023•大庆模拟）直线l经过点A（m，2），B（﹣1，m），若直线l与直线y＝x+1平行，则m＝【分析】由题意，利用两直线平行的性质，直线的斜率公式，求得m的值．【解答】解：∵直线l经过点A（m，2），B（﹣1，m），且与直线y＝x+1平行，∴＝1，求得m＝，故答案为：．【点评】本题主要考查两直线平行的性质，直线的斜率公式，属于基础题．六．直线的一般式方程与直线的垂直关系（共3小题）11．（2023•固镇县三模）已知直线l1：ax+2y+1＝0，l2：（3﹣a）x﹣y+a＝0，则条件“a＝1”是“l1⊥l2“的（）A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不必要也不充分条件【分析】结合线面垂直的条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：若l1⊥l2，则（3﹣a）a﹣2×1＝0，解得a＝1或a＝2．所以a＝1是l1⊥l2的充分不必要条件．故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，以及直线垂直的应用，要熟练掌握直线垂直的等价条件．a1x+b1y+c1＝0​​和a2x+b2y+c2＝0​垂直的等价条件为：a1a2+b1b2＝012．（2023•吉林模拟）已知a＞0，b＞0，若直线l1：ax+by﹣2＝0与直线l2：2x+（1﹣a）y+1＝0垂直，则a+2b的最小值为（）A．1 B．3 C．8 D．9【分析】根据两直线方程表达式及其位置关系，可得，再利用基本不等式，求出a+2b的最小值即可．【解答】解：由题可知，两条直线斜率一定存在．因为两直线垂直，所以斜率乘积为﹣1，即，即2a+b＝ab，整理可得，所以，当且仅当a＝b＝3时，等号成立，因此a+2b的最小值为9．故选：D．【点评】本题主要考查了直线垂直的性质和利用基本不等式求解最值，属于基础题．13．（2023•吉林模拟）△ABC中，A（3，2），B（1，1），C（2，3），则AB边上的高所在的直线方程是（）A．2x+y﹣7＝0 B．2x﹣y﹣1＝0 C．x+2y﹣8＝0 D．x﹣2y+4＝0【分析】由题意，根据两直线垂直的性质，求出要求直线的斜率，再利用点斜式求出直线的方程．【解答】解：∵△ABC中，A（3，2），B（1，1），C（2，3），∴直线AB的斜率为＝，则AB边上的高所在的直线的斜率为﹣2，故AB边上的高所在的直线方程是y﹣3＝﹣2（x﹣2），即2x+y﹣7＝0．故选：A．【点评】本题主要考查两直线垂直的性质，用点斜式求直线的方程，属于基础题．七．两条直线的交点坐标（共2小题）14．（2023•龙华区校级模拟）若直线y＝﹣2x+4与直线y＝kx的交点在直线y＝x+2上，则实数k＝（）A．4 B．2 C． D．【分析】首先利用直线的交点建立方程组，进一步求出交点的坐标，进一步利用该点的坐标满足直线的方程求出k的值．【解答】解：直线y＝﹣2x+4与直线y＝kx的交点，满足：，解得，由于该点在直线y＝x+2上，故，解得k＝4．故选：A．【点评】本题考查的知识要点：直线的交点，方程组的解法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．（多选）15．（2023•江宁区校级模拟）已知直线l1：2x+y﹣6＝0和点A（1，﹣1），过点A作直线l2与直线l1相交于点B，且AB＝5，则直线l2的方程为（）A．x＝1 B．y＝﹣1 C．3x+4y+1＝0 D．4x+3y﹣1＝0【分析】设点B（x0，6﹣2x0），由A，B两点间的距离列出方程，解出点B，得直线l2的方程．【解答】解：因为点B在直线l1：2x+y﹣6＝0上，设点B（x0，6﹣2x0），因为A（1，﹣1），则，解得x0＝1或x0＝5，则B点坐标为（1，4）或（5，﹣4），当B点坐标为（1，4）时，直线l2的方程为x＝1，当B点坐标为（5，﹣4）时，直线l2的方程为，即3x+4y+1＝0．故选：AC．【点评】本题主要考查两条直线的交点坐标，属于基础题．八．恒过定点的直线（共2小题）16．（2023•山东模拟）方程（1+4k）x﹣（2﹣3k）y+（2﹣14k）＝0所确定的直线必经过点（）A．（2，2） B．（﹣2，2） C．（﹣6，2） D．（）【分析】直线过定点，直线是直线系，按k集项；解方程组，求得交点坐标即定点的坐标．【解答】解：方程（1+4k）x﹣（2﹣3k）y+（2﹣14k）＝0，化为（x﹣2y+2）+k（4x+3y﹣14）＝0解得故选：A．【点评】本题考查过定点的直线系方程，是基础题．17．（2023•江苏模拟）设k∈R，直线l1：kx+y﹣k＝0，I直线l2：x﹣ky+2k﹣3＝0，记l1，l2分别过定点A，B，l1与l2的交点为C，则|AC|+|BC|的最大值为4．【分析】由动直线的方程可得动点A，B的坐标，并且可得两条直线互相垂直，由勾股定理可得|CA|2+|CB|2的值，再由基本不等式可得|AC|+|BC|的最大值．【解答】解：当k＝0时，l1：y＝0，l2，：x﹣3＝0，∴l1⊥l2．当k≠0时，对于直线l1：kx+y﹣k＝0，即k（x﹣1）+y＝0，过定点A（1，0），对于直线l2：x﹣ky+2k﹣3＝0，即x﹣3﹣k（y﹣2）＝0，过定点B（3，2）．直线l1：kx+y﹣k＝0的斜率为﹣k，直线l2：x﹣ky+2k﹣3＝0的斜率为，∵﹣k•﹣1，∴l1⊥l2．综上可得，l1⊥l2．∵l1与l2的交点为C，∴CA2+CB2＝AB2＝4+4＝8，∴≤（CA2+CB2）＝4，∴≤2，∴CA+CB≤4，当且仅当CA＝CB时，|CA|+|CB|的最大值为4，故答案为：4．【点评】本题考查直线的位置关系的判断及直线恒过定点的求法，均值不等式性质的应用，属于中档题．九．与直线关于点、直线对称的直线方程（共3小题）18．（2023•琼山区校级一模）点（1，2）关于直线x+y﹣2＝0的对称点是（）A．（1，0） B．（0，1） C．（0，﹣1） D．（2，1）【分析】利用待定系数法设出对称点的坐标，然后利用中点在直线上以及两点的连线与直线垂直，列出方程组，求解即可．【解答】解：设点A（1，2）关于直线x+y﹣2＝0的对称点是B（a，b），则有，解得a＝0，b＝1，故点（1，2）关于直线x+y﹣2＝0的对称点是（0，1）．故选：B．【点评】本题考查了点关于直线的对称点的求解，考查了中点坐标公式的应用，两点间斜率公式的运用，垂直的充要条件的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．19．（2023•大连模拟）已知点A（﹣1，2），C（﹣1，0），点A关于直线x﹣y+1＝0的对称点为点B，在△PBC中，，则△PBC面积的最大值为（）A． B． C． D．【分析】先根据对称的性质求出点B的坐标，设P（x，y），再由可求出点P的轨迹方程，由图可知△PBC中BC边上的高为圆的半径时，△PBC面积最大，从而可求得结果．【解答】解：设B的坐标为（x0，y0），则，则B的坐标为（1，0），设P（x，y），⇒x2+y2﹣6x+1＝0，即（x﹣3）2+y2＝8．所以．故选：C．【点评】本题主要考查了动点轨迹方程，考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．20．（2023•思明区校级四模）已知直线l1：3x﹣4y﹣4＝0关于直线l2的对称直线为y轴，则l2的方程为y＝2x﹣1或y＝﹣﹣1．【分析】求出直线l1与x轴、y轴的交点，设出直线l2的方程，根据点关于直线l2的对称点在y轴上，由此列方程求出即可．【解答】解：直线l1：3x﹣4y﹣4＝0交x轴于点M（，0），交y轴于点P（0，﹣1）；设直线l2的方程为y＝kx﹣1，则点M关于直线l2的对称点N（a，b）在y轴上，所以a＝0，所以MN的中点Q（，）在直线l2上，所以k﹣1＝①，又﹣＝②，由①②组成方程组，解得k＝2或k＝﹣，所以直线l2的方程为y＝2x﹣1或y＝﹣x﹣1．故答案为：y＝2x﹣1或y＝﹣x﹣1．【点评】本题考查了直线关于直线的对称问题，也考查了逻辑推理与运算求解能力，是中档题．一十．两点间的距离公式（共3小题）21．（2023•昌平区二模）已知点P在直线上，点Q（2cosθ，2sinθ）（θ∈R），则|PQ|的最小值为（）A．1 B．3 C．5 D．7【分析】根据Q的轨迹为圆，利用圆的几何性质，转化为圆心到直线的距离得解．【解答】解：设Q（x，y），由Q（2cosθ，2sinθ）（θ∈R）可知x＝2cosθ，y＝2sinθ，所以x2+y2＝4，即Q在圆心为（0，0），半径为2的圆上的动点，圆心到直线的距离，所以|PQ|min＝5﹣2＝3．故选：B．【点评】本题主要考查圆的几何性质，转化为圆心到直线的距离公式，属于基础题．22．（2023•西城区校级三模）设m∈R，过定点A的动直线x+my＝0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3＝0交于点P（x，y），则|PA|+|PB|的取值范围是（）A．[，2] B．[2，4] C．[，4] D．[，2]【分析】动直线x+my＝0经过定点A（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3＝0定点B（1，3），由此能求出|PA|+|PB|的取值范围．【解答】解：由题意可知，动直线x+my＝0经过定点A（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3＝0即m（x﹣1）﹣y+3＝0，经过定点B（1，3），∵动直线x+my＝0和动直线mx﹣y﹣m+3＝0始终垂直，P又是两条直线的交点，∴PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2＝|AB|2＝10．由基本不等式可得|PA|2+|PB|2≤（|PA|+|PB|）2≤2（|PA|2+|PB|2），即10≤（|PA|+|PB|）2≤20，可得≤|PA|+|PB|≤2．故选：D．【点评】本题考查动点到两个定点的距离之和的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线、基本不等式性质的合理运用，是中档题．23．（2023•邯郸三模）在平面直角坐标系内，已知A（﹣3，4），B（﹣3，1），动点P（x，y）满足|PA|＝2|PB|，则（x﹣1）2+（y﹣t）2（t∈R）的最小值是（）A． B．2 C．4 D．16【分析】由题意求出点P的轨迹方程，则可以看成圆（x+3）2+y2＝4上动点P（x，y）与定直线x＝1上动点Q（1，t）的距离，求得其最小值，即可求得答案．【解答】解：因为A（﹣3，4），B（﹣3，1），动点P（x，y）满足|PA|＝2|PB|，则（x+3）2+（y﹣4）2＝4（x+3）2+4（y﹣1）2，整理得（x+3）2+y2＝4，可以看成圆（x+3）2+y2＝4上动点P（x，y）与定直线x＝1上动点Q（1，t）的距离，其最小值为圆心M（﹣3，0）到直线x＝1的距离减去圆的半径2，即|PQ|≥4﹣2＝2，因此，（x﹣1）2+（y﹣t）2的最小值是22＝4，故选：C．【点评】本题主要考查了点的轨迹方程的求解，还考查圆的性质的求解，属于中档题．一十一．点到直线的距离公式（共2小题）24．（2023•开福区校级二模）点P在单位圆上运动，则P点到直线l：（1+3λ）x+（1﹣2λ）y﹣（7+λ）＝0（λ为任意实数）的距离的最大值为（）A． B．6 C． D．5【分析】先求出直线的定点，再根据两点间距离公式求圆心到定点距离，最后可求圆上点到直线的最大距离．【解答】解：将直线方程变形为l：（x+y﹣7）+（3x﹣2y﹣1）λ＝0，由，解得直线过定点Q（3，4），P在单位圆上运动，圆O（0，0），圆的半径r＝1故原点到直线l距离的最大值为，则P点到直线l的距离的最大值为r+|OQ|＝1+|OQ|＝1+5＝6．故选：B．【点评】本题主要考查点到直线的距离，属于基础题．25．（2023•南关区校级二模）直线l的方程为（λ+2）x+（λ﹣1）y﹣3λ＝0（λ∈R），当原点O到直线l的距离最大时，λ的值为（）A．﹣1 B．﹣5 C．1 D．5【分析】首先求出直线l过定点A（1，2），然后当OA⊥l时，原点O到l的距离最大，即可求解．【解答】解；由（λ+2）x+（λ﹣1）y﹣3λ＝0（λ∈R）可得（x+y﹣3）λ+2x﹣y＝0，令，解得，故直线l过定点A（1，2），当OA⊥l时，原点O到l的距离最大，因为kOA＝2，所以直线l的斜率为﹣，即﹣＝﹣，解得λ＝﹣5，故选：B．【点评】本题主要考查恒过定点的直线，属于基础题．一十二．两直线的夹角与到角问题（共3小题）26．（2023•延庆区一模）O为坐标原点，点A，B的坐标分别为（2，﹣1），（﹣1，3），则tan∠AOB等于（）A．1 B．﹣1 C． D．【分析】求出OA，OB的斜率，然后利用夹角公式求解即可．【解答】解：O为坐标原点，点A，B的坐标分别为（2，﹣1），（﹣1，3），可得kOA＝，kOB＝﹣3，tan∠AOB＝＝﹣1，故选：B．【点评】本题考查夹角公式的灵活应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题．27．（2023•道里区校级一模）已知A（﹣1，0），B（1，0），若直线y＝k（x﹣2）上存在点P，使得∠APB＝90°，则实数k的取值范围为（）A． B． C． D．【分析】根据题意，可得直线y＝k（x﹣2）与圆O：x2+y2＝1有公共点（公共点不能是A、B），结合直线与圆的位置关系求解即可．【解答】解：若∠APB＝90°，则点P在以A（﹣1，0），B（1，0）为直径的圆上（点P不能是A、B），∵以A（﹣1，0），B（1，0）为直径的圆的圆心为O（0，0），半径r＝1，则圆O的方程为x2+y2＝1，即直线y＝k（x﹣2）与圆O：x2+y2＝1有公共点（公共点不能是A、B），当直线y＝k（x﹣2）与圆O：x2+y2＝1有公共点时，，解得；当直线y＝k（x﹣2）与圆O：x2+y2＝1的公共点为A或B时，k＝0，不符合题意；综上，实数k的取值范围为．故选：B．【点评】本题主要考查直线的斜率，直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题．28．（2023•睢宁县校级模拟）在△ABC中，∠A的内角平分线方程为y＝x，B（1，4），C（4，3），则角C的正切值为3．【分析】由题意可知，点B（1，4）关于y＝x的对称点B'（a，b）一定在直线AC上，根据对称性求出点B'的坐标，进而得到直线AC的方程，再与y＝x联立即可求出点A的坐标，从而求出结果．【解答】解：由题意可知，点B（1，4）关于y＝x的对称点B'（a，b）一定在直线AC上，由，解得，∴B'（4，1），又∵C（4，3），∴直线B'C的方程为x＝4，∴直线AC的方程为x＝4，而直线AC与直线y＝x的交点即为点A，联立方程，解得，∴A（4，4），∴直线AB的方程为y＝4，∴AB⊥AC，即△ABC为直角三角形，且|AB|＝3，|AC|＝1，∴tanC＝＝＝3．故答案为：3．【点评】本题主要考查了直线关于直线的对称直线问题，考查了直线的一般方程，属于中档题．一十三．与直线有关的动点轨迹方程（共1小题）29．（2023•固镇县三模）如图，在平行四边形OABC中，点O是原点，点A和点C的坐标分别是（3，0）、（1，3），点D是线段AB上的动点．（1）求AB所在直线的一般式方程；（2）当D在线段AB上运动时，求线段CD的中点M的轨迹方程．【分析】（1）求出AB所在直线的向量，然后求出AB所在的直线方程；（2）设点M的坐标是（x，y），点D的坐标是（x0，y0），利用平行四边形，推出M与D坐标关系，利用当D在线段AB上运动，求线段CD的中点M的轨迹方程．【解答】（本小题满分10分）解：（1）∵AB∥OC，∴AD所在直线的斜率为：KAB＝KOC＝＝3．∴AB所在直线方程是y﹣0＝3（x﹣3），即3x﹣y﹣9＝0．（2）：设点M的坐标是（x，y），点D的坐标是（x0，y0），由平行四边形的性质得点B的坐标是（4，6），∵M是线段CD的中点，∴x＝，y＝，于是有x0＝2x﹣1，y0＝2y﹣3，∵点D在线段AB上运动，∴3x0﹣y0﹣9＝0，（3≤x0≤4），∴3（2x﹣1）﹣（2y﹣3）﹣9＝0即6x﹣2y﹣9＝0，（2≤x≤）．【点评】本题考查直线方程的求法，与直线有关的动点的轨迹方程的求法，考查转化思想与计算能力．一十四．圆的标准方程（共2小题）30．（2023•湖南模拟）若圆C与y轴相切，则圆C的方程可以为（）A．x2+y2＝1 B．x2+（y﹣1）2＝1 C．（x﹣1）2+y2＝1 D．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2【分析】求出圆的圆心和半径，判断是否符合题意，即得答案．【解答】解：依题意可得圆C的圆心到y轴的距离应等于圆心横坐标的绝对值，x2+y2＝1的圆心为原点，不符合题意，A错误；x2+（y﹣1）2＝1的圆心为（0，1），不符合题意，B错误；（x﹣1）2+y2＝1的圆心为（1，0），半径为1，符合题意，C正确；（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2圆心为（1，1），半径为，不符合题意，D错误．故选：C．【点评】本题主要考查圆的标准方程，考查转化能力，属于中档题．31．（2023•江西模拟）已知函数f（x）＝ex﹣e﹣x，所有满足f（m）+f（n﹣1）＝0的点（m，n）中，有且只有一个在圆C上，则圆C的方程可以是x2+y2＝2．（写出一个满足条件的圆的方程即可）【分析】由题意可得f（x）是单调递增的奇函数，点（m，n）在直线x+y﹣1＝0上，再根据直线与圆相切，可得一个圆C的方程．【解答】解：∵函数f（x）＝ex﹣e﹣x，是R上的增函数，且是奇函数，故满足f（m）+f（n﹣1）＝0的点（m，n），满足f（m）＝﹣f（n﹣1），即f（m）＝f（1﹣n），故有m＝1﹣n，即m+n﹣1＝0，故点（m，n）在直线x+y﹣1＝0上．再根据有且只有一个点（m，n）在圆C上，故圆C和直线x+y﹣1＝0相切，故圆的方程可以为x2+y2＝2，故答案案为：x2+y2＝2．【点评】本题考查函数的性质及导数的综合运用，训练了利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化思想，是中档题．一十五．圆的一般方程（共1小题）32．（2023•平江县校级模拟）若点A（m，n）在圆C：x2+y2﹣2x﹣8y+1＝0上，则的取值范围为（）A． B． C．[0，4] D．【分析】的几何意义为圆上点与定点P（﹣4，0）的斜率，然后结合直线与圆相切的性质可求．【解答】解：因为点A（m，n）在圆C：x2+y2﹣2x﹣8y+1＝0上，则的几何意义为圆上点与定点P（﹣4，0）的斜率，因为圆C：x2+y2﹣2x﹣8y+1＝0化为标准方程为（x﹣1）2+（y﹣4）2＝16，由题意可知切线的斜率存在且PB的斜率为0，设圆C的切线方程为y＝k（x+4），则＝4，解得k＝0或k＝，故k的范围为[0，]．故选：B．【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，属于中档题．一十六．轨迹方程（共5小题）33．（2023•广西模拟）已知线段AB，则平面上全体满足|AP|2+|BP|2为定值的点P的轨迹是（）A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线【分析】由题意，建立坐标系，结合所给信息再进行求解即可．【解答】解：已知线段AB，且平面上全体满足|AP|2+|BP|2为定值，因为|PA|2+|PB|2为定值，所以以AB所在直线为x轴，中垂线为y轴，设A（﹣1，0），则B（1，0），|AP|2+|BP|2＝（x+1）2+y2+（x﹣1）2+y2＝2x2+2y2+2＝＝2，所以x2+y2＞0，以其一定在AB中点M为圆心，确定半径的一个圆上运动，则点P的轨迹为圆．故选：B．【点评】本题考查轨迹方程，考查了逻辑推理和运算能力．34．（2023•枣强县校级模拟）已知定点B（3，0），点A在圆（x+1）2+y2＝4上运动，则线段AB的中点M的轨迹方程是（）A．（x+1）2+y2＝1 B．（x﹣2）2+y2＝4 C．（x﹣1）2+y2＝1 D．（x+2）2+y2＝4【分析】设出动点坐标，利用已知条件确定坐标之间的关系，利用P在圆上，可得结论．【解答】解：设点M的坐标为（x，y），点A（m，n），则（m+1）2+n2＝4．∵M是线段AB上的中点，∴（x﹣m，y﹣n）＝（3﹣x，﹣y）∴m＝2x﹣3，n＝2y，∵（m+1）2+n2＝4，∴（2x﹣2）2+（2y）2＝4，∴（x﹣1）2+y2＝1．故选：C．【点评】本题考查点的轨迹方程、中点坐标公式、代入法等基础知识，考查运算求解能力与转化思想，属于基础题．35．（2023•淄博三模）设A，B是半径为3的球体O表面上两定点，且∠AOB＝60°，球体O表面上动点P满足PA＝2PB，则点P的轨迹长度为（）A． B． C． D．【分析】建立直角坐标系，根据|PA|＝2|PB|确定轨迹为圆，转化到空间得到轨迹为两球的交线，计算球心距，对应圆的半径为，再计算周长得到答案．【解答】解：以AOB所在的平面建立直角坐标系，AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴，|AB|＝3，则，设P（x，y），|PA|＝2|PB|，则，整理得到，故P轨迹是以为圆心，半径r＝2的圆，转化到空间中：当P绕AB为轴旋转一周时，|PA|，|PB|不变，依然满足|PA|＝2|PB|，故空间中P的轨迹为以C为球心，半径为r＝2的球，同时P在球O上，故P在两球的交线上，为圆．球心距为，△OCP为直角三角形，对应圆的半径为，周长为．故选：D．【点评】本题考查了空间中点的轨迹长度的计算，属于中档题．36．（2023•惠州模拟）已知圆F1：x2+y2+4x＝0，圆F2：x2+y2﹣4x﹣12＝0，一动圆与圆F1和圆F2同时内切．（1）求动圆圆心M的轨迹方程；（2）设点M的轨迹为曲线C，两互相垂直的直线l1，l2相交于点F2，l1交曲线C于M，N两点，l2交圆F1于P，Q两点，求△PQM与△PQN的面积之和的取值范围．【分析】（1）根据动圆圆心到两定点距离的关系可以判断其为双曲线；（2）分两种情况讨论，每一种情况中计算|MN|、|PQ|，从而求得面积的表达式，再求范围即可．【解答】解：（1）由，得（x+2）2+y2＝4，可知F1（﹣2，0），其半径为2，由，得（x﹣2）2+y2＝16，可知F2（2，0），其半径为4．设动圆半径为r，动圆圆心到F1的距离为n，到F2的距离为m，则有⇒n﹣m＝2或⇒m﹣n＝2，即|n﹣m|＝2＝2a，得a＝1，又|F1F2|＝4＝2c＞2a，所以动圆圆心M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线，由c2＝a2+b2，可得b2＝3．所以动圆圆心M的轨迹方程为．（2）①当直线l，的斜率存在时，由题意，k≠0，设l1：y＝kx﹣2k，与双曲线联立⇒（3﹣k2）x2+4k2x﹣4k2﹣3＝0，由于其与双曲线有两个不同的交点，所以，得k2≠3且k2≠0，且．设，即x+ky﹣2＝0．设圆F1到直线l2的距离为d，则，因为l2交圆F1于P，Q两点，故d＜2，得k2＞3．且，由题意可知MN⊥PQ，所以，因为k2＞3，可得S△PQM+S△PQN＞12．（2）当直线l1的斜率不存在时，|PQ|＝4，|MN|＝6，所以，所以S△PQM+S△PQN≥12．即S△PQM+S△PQN∈[12，+∞）．【点评】本题考查双曲线的轨迹方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的运算能力，属于中档题．37．（2023•河北三模）已知点P（2，2），圆C：x2+y2﹣16x＝0过点P的动直线l与圆C交于A、B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．（1）求M的轨迹方程；（2）当|OP|＝|OM|，求l的方程及△POM的面积．【分析】（1）由圆C的方程求出圆心坐标和半径，设出M坐标，由与数量积等于0列式得M的轨迹方程；（2）设M的轨迹的圆心为N，由|OP|＝|OM|得到ON⊥PM．求出ON所在直线的斜率，由直线方程的点斜式得到PM所在直线方程，由点到直线的距离公式求出O到l的距离，再由弦心距、圆的半径及弦长间的关系求出PM的长度，代入三角形面积公式得答案．【解答】解：（1）设点M（x，y），当点M不与点P重合时，即当x≠2且y≠2时，由垂径定理可知CM⊥AB，即CM⊥PM，设点M（x，y），又圆C的圆心为（8，0），P（2，2），则，，即（x﹣5）2+（y﹣1）2＝10，当点M与点P重合时，点P的坐标也满足方程（x﹣5）2+（y﹣1）2＝10，故点M的轨迹方程为圆N：（x﹣5）2+（y﹣1）2＝10，（2）当时，点M与点P满足圆O的方程x2+y2＝8，又点M与点P在圆N：（x﹣5）2+（y﹣1）2＝10，∴直线MP为圆O和圆N的交线，圆O与圆N的方程相减得，直线MP的方程为（x2+y2）﹣[（x﹣5）2+（y﹣1）2]＝8﹣10，即5x+y﹣12＝0，∴l的方程为：5x+y﹣12＝0，点O到直线MP的距离，又圆O的半径，∴弦长＝11，∴△POM的面积．【点评】本题考查圆的轨迹方程的求法，训练了利用向量数量积判断两个向量的垂直关系，训练了点到直线的距离公式的应用，是中档题．一十七．点与圆的位置关系（共1小题）38．（2023•海淀区校级三模）在平面直角坐标系xOy中，已知P是圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1上的动点．若A（﹣a，0），B（a，0），a≠0，则的最大值为（）A．16 B．12 C．8 D．6【分析】根据题意得到，，即可得到答案．【解答】解：因为，，所以．故选：B．【点评】本题主要考查了向量数量积的性质在最值求解中的应用，还考查了圆的性质的应用，属于基础题．一十八．关于点、直线对称的圆的方程（共3小题）39．（2023•汕头二模）与圆C：x2+y2﹣x+2y＝0关于直线l：x+y＝0对称的圆的标准方程是（x﹣1）2+（y+）2＝．【分析】先求得所求圆的圆心坐标，进而得到该圆的标准方程．【解答】解：圆C：x2+y2﹣x+2y＝0的圆心，半径，点关于直线l：x+y＝0对称的点坐标为，则所求圆的标准方程为（x﹣1）2+（y+）2＝．故答案为：（x﹣1）2+（y+）2＝．【点评】此本题考查了直线与圆的位置关系，以及圆的标准方程，弄清题意是解本题的关键．40．（2023•济南一模）在平面直角坐标系xOy中，圆C1：x2+y2＝2关于直线l对称的圆为C2：x2+y2+2x﹣4y+3＝0，则l的方程为2x﹣4y+5＝0．​【分析】先找出两圆的圆心坐标，再结合中点坐标公式与两条直线垂直的条件，即可得直线l的方程．【解答】解：圆C1：x2+y2＝2表示圆心为C1（0，0），半径为的圆，圆C2：x2+y2+2x﹣4y+3＝0化成标准方程为（x+1）2+（y﹣2）2＝2，表示圆心为C2（﹣1，2），半径为的圆，所以两圆心所在直线的斜率为＝﹣2，线段C1C2的中点为（﹣，1），因为直线l是线段C1C2的中垂线所在直线的方程，所以直线l的斜率为，其方程为y﹣1＝（x+），即2x﹣4y+5＝0．故答案为：2x﹣4y+5＝0．【点评】本题考查关于直线对称的圆的方程，熟练掌握圆的标准方程与一般方程的互化，两条直线垂直的条件是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．41．（2023•大理州模拟）已知直线l：x﹣y+1＝0，圆C：x2+y2＝1，则圆C关于直线l对称的圆的方程为（x+1）2+（y﹣1）2＝1．【分析】求出圆心C关于直线l的对称点即为对称圆的圆心，从而可得对称圆的方程．【解答】解：设圆心C（0，0）关于直线l对称圆心为C′（a，b），根据对称性可知，直线l为线段CC′的垂直平分线，所以有，解得a＝﹣1，b＝1，所以对称圆心为C′（﹣1，1），又圆的半径为1，所以圆C关于直线l对称的圆的方程为（x+1）2+（y﹣1）2＝1．故答案为：（x+1）2+（y﹣1）2＝1．【点评】本题考查了圆关于直线的对称圆的方程的计算问题，属于基础题．一十九．圆的切线方程（共2小题）42．（2023•延边州二模）经过P（2，3）向圆x2+y2＝4作切线，切线方程为（）A．5x﹣12y+26＝0 B．13x﹣12y+10＝0 C．5x﹣12y+26＝0或x＝2 D．13x﹣12y+10＝0或x＝2【分析】根据切线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式求得正确答案．【解答】解：（1）当切线的斜率不存在时，直线x＝2是圆的切线；（2）当切线斜率存在时，设切线方程为l：y﹣3＝k（x﹣2），由（0，0）到切线距离为，得，此时切线方程为，即5x﹣12y+26＝0．故选：C．【点评】本题考查圆的切线方程的求解，方程思想，化归转化思想，属中档题．43．（2023•晋安区校级模拟）在平面直角坐标系中，过点P（3，0）作圆＝4的两条切线，切点分别为A，B．则直线AB的方程为（）A． B． C． D．【分析】求出以（3，0）、为直径的圆的方程，将两圆的方程相减可得公共弦AB的方程．【解答】解：圆的圆心为，半径为2，以P（3，0）、为直径，则PO的中点坐标为，，∴以N为圆心，PO为直径的圆的方程为，因为过点P（3，0）圆的两条切线切点分别为A，B，∴AB是两圆的公共弦，将两圆的方程相减可得公共弦AB的方程为：．故选：A．【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．二十．直线与圆相交的性质（共3小题）44．（2023•思南县校级模拟）若直线2x+y+m＝0与圆x2+2x+y2﹣2y﹣3＝0相交所得弦长为，则m＝（）A．1 B．2 C． D．3【分析】将圆的方程化简成标准方程，得圆心坐标（﹣1，1），半径为，所以直线2x+y+m＝0过圆心，即可得出答案．【解答】解：圆x2+2x+y2﹣2y﹣3＝0的标准方程（x+1）2+（y﹣1）2＝5，圆心坐标为（﹣1，1），半径为，因为直线2x+y+m＝0与圆x2+2x+y2﹣2y﹣3＝0相交所得弦长为，所以直线2x+y+m＝0过圆心，得2×（﹣1）+1+m＝0，即m＝1．故选：A．【点评】本题考查了根据垂径定理求解直线中参数的方法，属于基础题．45．（2023•红桥区二模）已知直线x﹣y+8＝0和圆x2+y2＝r2（r＞0）相交于A，B两点．若|AB|＝6，则r的值为5．【分析】根据题意，分析圆的圆心，由点到直线的距离公式可得圆心到直线x﹣y+8＝0的距离，结合直线与圆相交的性质可得r2＝d2+（）2，计算可得答案．【解答】解：根据题意，圆x2+y2＝r2的圆心为（0，0），半径为r；则圆心到直线x﹣y+8＝0的距离d＝＝4，若|AB|＝6，则有r2＝d2+（）2＝16+9＝25，故r＝5；故答案为：5【点评】本题考查直线与圆相交的性质，涉及弦长的计算，属于基础题．46．（2023•南关区校级模拟）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2＝4（a＞0）及直线l：x﹣y+3＝0，当直线l被C截得弦长为时，则a＝．【分析】由题意可得圆心C（a，2）半径r＝2，则圆心（a，2）到直线x﹣y+3＝0得距离d＝＝，在Rt△CBM中由勾股定理可得，d2+BM2＝BC2结合a＞0可求【解答】解：由题意可得圆心C（a，2）半径r＝2则圆心（a，2）到直线x﹣y+3＝0的距离d＝＝Rt△CBM中由勾股定理可得，d2+BM2＝BC2∵a＞0∴或a＝（舍去）故答案为：【点评】本题主要考查了直线与圆相交的弦的应用，出了此类问题一般有两个方法：①直接利用弦长公式求解，该方法思路清晰但需要一定的计算②利用本题中的解法，结合弦长及弦心距及半径三者之间的关系进行求解．二十一．直线与圆的位置关系（共3小题）47．（2023•历下区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y＝2x﹣4．设圆C的半径为1，圆心在l上．若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，则圆心C的横坐标a的取值范围为（）A． B． C． D．【分析】先求得圆C的方程，再利用|MA|＝2|MO|求得点M满足的圆的方程，进而利用两圆有公共点列出关于a的不等式，解之即可求得a的取值范围．【解答】解：圆心C的横坐标为a，则圆心C的坐标为（a，2a﹣4），则圆C的方程（x﹣a）2+（y﹣2a+4）2＝1，设M（x，y），由|MA|＝2|MO|，可得，整理得x2+（y+1）2＝4，则圆（x﹣a）2+（y﹣2a+4）2＝1与圆x2+（y+1）2＝4有公共点，则，即1≤5a2﹣12a+9≤9，解之得．故选：D．【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题．48．（2023•涪城区校级模拟）已知动圆C过M（4，0），N（0，2）两点，圆心C关于直线x﹣y＝0的对称点为E，过点E的直线交圆于A，B两点，当圆C的面积最小时，|AB|的最小值是（）A．4 B．2 C．2 D．2【分析】当该圆的面积最小时，MN是圆C的一条直径；点C是线段AB的中点（过定圆内一定点作圆的弦，以该定点为中点的弦最短）时，|AB|最小．【解答】解：根据题意知，∵动圆C的半径不小于|MN|＝＝，即当该圆的面积最小时，MN是圆C的一条直径，∴此时点C是线段MN的中点，即点C（2，1），点E的坐标是（1，2），∴|CE|＝＝，∴点E位于圆C内，点E是线段AB的中点（过定圆内一定点作圆的弦，以该定点为中点的弦最短）时，|AB|最小，其最小值等于＝2．故选：D．【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是找到当圆C的面积最小时，该圆的直径是线段MN，是中档题．49．（2023•武汉模拟）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1上两动点A，B满足△ABC为正三角形，O为坐标原点，则的最大值为（）A． B． C． D．【分析】根据已知条件，结合弦长公式，即可求解点AB的中点N的轨迹方程，根据向量的运算可得，＝2||，再结合点与圆的位置关系，即可求解．【解答】解：∵圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，∴圆C的圆心坐标C（1，1），半径R＝1，设圆心到直线l的距离为d，∵△ABC为正三角形，∴|AB|＝r＝1，由圆的弦长公式，可得|AB|＝2，即2＝1，解得d＝，设AB的中点为N，|CN|＝，∴点N的轨迹表示以C（1，1）为圆心，以为半径的圆，∴点M的轨迹方程为（x﹣2）2+y2＝，根据向量的运算可得，＝2||，又∵|OC|＝，∴|OC|−≤||≤|OC|+，即﹣≤||≤+，即的取值范围为[2﹣，2+]．故选：D．【点评】本题主要考查轨迹方程的求解，需要学生较强的综合能力，属中档题．二十二．圆与圆的位置关系及其判定（共2小题）50．（2023•沙坪坝区校级模拟）圆C1：x2+y2+4x﹣2y﹣10＝0与圆C2：x2+y2＝r2（r＞0）的公共弦恰为圆C1的直径，则圆C2的面积是（）A．2π B．4π C．10π D．20π【分析】对两圆的方程作差即可得到两圆的公共弦所在的直线方程，据题意，C1（﹣2，1）经过该直线，可求出r，即可求解．【解答】解：因为圆C1：x2+y2+4x﹣2y﹣10＝0，①圆C2：x2+y2＝r2，②①﹣②可得：4x﹣2y﹣10+r2＝0，此即两圆的公共弦所在直线方程，由题意，公共弦所在直线为圆C1的直径，则圆心C1（﹣2，1）满足直线方程，即﹣8﹣2﹣10+r2＝0，即r2＝20，则圆C2的面积为πr2＝20π．故选：D．【点评】本题考查两圆的相交弦问题，属基础题．51．（2023•山西模拟）已知圆O：x2+y2＝1与圆C：（x﹣3）2+y2＝r2外切，直线l：x﹣y﹣5＝0与圆C相交于A，B两点，则|AB|＝（）A．4 B．2 C． D．【分析】由两圆外切列方程求r，再求圆心C到直线l的距离，结合弦长公式求弦长．【解答】解：圆O：x2+y2＝1的圆心O的坐标为（0，0），半径为1，圆C：（x﹣3）2+y2＝r2的圆心C的坐标为（3，0），半径为|r|，因为圆O与圆C外切，所以|OC|＝1+|r|，所以r2＝4，设圆心C（3，0）到直线l的距离为d，则，所以．故选：D．【点评】本题主要考查了圆与圆的位置关系，考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．二十三．两圆的公切线条数及方程的确定（共2小题）52．（2023•荔湾区校级模拟）经过直线y＝2x+1上的点作圆x2+y2﹣4x+3＝0的切线，则切线长的最小值为（）A．2 B． C．1 D．【分析】根据题意，求出圆的圆心，设其圆心为M，P为直线y＝2x+1上任意一点，分析可得当直线MP与直线y＝2x+1垂直时，|MP|最小，此时切线长最小，由此计算可得答案．【解答】解：根据题意，圆x2+y2﹣4x+3＝0，即（x﹣2）2+y2＝1，其圆心为（2，0），半径r＝1，设点M（2，0），P为直线y＝2x+1上任意一点，当直线MP与直线y＝2x+1垂直时，|MP|最小，此时切线长最小，此时|MP|的值就是点M到直线y＝2x+1的距离，故|MP|min＝d＝＝，且切线长的最小值为＝2；故选：A．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及切线的长的计算，属于基础题．53．（2023•渝中区校级模拟）已知圆O1：x2+y2＝1，圆O2：（x﹣4）2+y2＝4，请写出一条与两圆都相切的直线的方程：或或或（答案不唯一）．【分析】由题可知：两圆外离，所以两圆有4条公切线，设切线与两圆圆心连线的交点为A（x0，y0），分①当切线为外公切线和②当切线为内公切线两种情况分别计算即可．【解答】解：由题可知：两圆外离，所以两圆有4条公切线，设切线与两圆圆心连线的交点为A（x0，y0）．①当切线为外公切线时：，所以，得，所以A（﹣4，0），设公切线l：y＝k（x+4），所以圆心O1到切线l的距离，解得，所以公切线为或；②当切线为内公切线时：，所以，所以，设公切线，所以圆心O1到切线l的距离，解得，所以公切线为或．故答案为：或或或（答案不唯一）．【点评】本题考查了两圆的公切线方程的计算，属于中档题．二十四．相交弦所在直线的方程（共3小题）54．（2023•山西模拟）已知圆和交于A，B两点，则|AB|＝（）A． B． C． D．【分析】先求得相交弦所在直线方程，然后根据圆的弦长的求法求得|AB|．【解答】解：将x2+（y﹣2）2＝5和（x+2）2+y2＝5相减得直线AB：y＝﹣x，点（0，2）到直线x+y＝0的距离，所以．故选：B．【点评】本题考查直线与圆的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题．55．（2023•和平区校级一模）圆x2+y2﹣4＝0与圆x2+y2﹣4x+4y﹣12＝0的公共弦的长为2．【分析】两圆方程相减求出公共弦所在直线的解析式，求出第一个圆心到直线的距离，再由第一个圆的半径，利用勾股定理及垂径定理即可求出公共弦长．【解答】解：圆x2+y2﹣4＝0与圆x2+y2﹣4x+4y﹣12＝0的方程相减得：x﹣y+2＝0，由圆x2+y2﹣4＝0的圆心（0，0），半径r为2，且圆心（0，0）到直线x﹣y+2＝0的距离d＝＝，则公共弦长为2＝2＝2．故答案为：2．【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，求出公共弦所在的直线方程是解本题的关键．56．（2023•红桥区一模）已知两圆x2+y2＝10和（x﹣1）2+（y﹣3）2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程是x+3y＝0．【分析】当判断出两圆相交时，直接将两个圆方程作差，即得两圆的公共弦所在的直线方程．【解答】解：因为两圆相交于A，B两点，则A，B两点的坐标坐标既满足第一个圆的方程，又满足第二个圆的方程将两个圆方程作差，得直线AB的方程是：x+3y＝0，故答案为x+3y＝0．【点评】本题考查相交弦所在的直线的方程，当两圆相交时，将两个圆方程作差，即得公共弦所在的直线方程．二十五．直线和圆的方程的应用（共2小题）57．（2023•河西区一模）与直线x﹣y﹣4＝0和圆x2+y2+2x﹣2y＝0都相切的半径最小的圆的方程是（x﹣1）2+（y+1）2＝2．【分析】由题意先确定圆心的位置，再结合选项进行排除，并得到圆心坐标，再求出所求圆的半径．【解答】解：由题意圆x2+y2+2x﹣2y＝0的圆心为（﹣1，1），半径为，∴过圆心（﹣1，1）与直线x﹣y﹣4＝0垂直的直线方程为x+y＝0，所求的圆的圆心在此直线上，又圆心（﹣1，1）到直线x﹣y﹣4＝0的距离为＝3，则所求的圆的半径为，设所求圆心坐标为（a，b）则，且a+b＝0解得a＝1，b＝﹣1故答案为（x﹣1）2+（y+1）2＝2【点评】本题是中档题，考查直线与圆的位置关系，数形结合的思想，考查计算能力．58．（2023•南关区校级模拟）平面直角坐标系xOy中，已知MN是⊙C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2的一条弦，且CM⊥CN，P是MN的中点．当弦MN在圆C上运动时，直线l：x﹣3y﹣5＝0上存在两点A，B，使得∠APB≥恒成立，则线段AB长度的最小值是2+2．【分析】依题意，点P在以C为圆心以1为半径的圆上，要使得∠APB≥恒成立，则点P在以AB为直径的圆内部，所以AB的最小值为圆的直径的最小值．【解答】解：因为P为MN的中点，所以CP⊥MN，又因为CM⊥CN，所以三角形CMN为等腰直角三角形，所以CP＝1，即点P在以C为圆心，以1为半径的圆上，点P所在圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1，要使得∠APB≥恒成立，则点P所在的圆在以AB为直径的圆的内部，而AB在直线l：x﹣3y﹣5＝0上，C到直线l：x﹣3y﹣5＝0的距离d＝＝．所以以AB为直径的圆的半径的最小值为r＝+1，所以AB的最小值为2r＝2+2．故答案为：2+2．【点评】本题考查了直线和圆的关系的应用，考查了点与圆的位置关系，圆的性质等，属于难题．二十六．圆方程的综合应用（共2小题）59．（2023•和平区校级一模）已知圆C1：（x+3）2+y2＝a2（a＞7）和C2：（x﹣3）2+y2＝1，动圆M与圆C1，圆C2均相切，P是△MC1C2的内心，且，则a的值为（）A．9 B．11 C．17或19 D．19【分析】根据题意，由圆的方程求出两个圆的圆心和半径，由动圆M与圆C1，圆C2均相切，可得C1M+C2M＝a+1或3C1C2＝18＝a﹣1，由，可得C1M+C2M＝3C1C2，从而可求得a的值．【解答】解：根据题意：圆C1：（x+3）2+y2＝a2（a＞7），其圆心C1（﹣3，0），半径R1＝a，圆C2：（x﹣3）2+y2＝1，其圆心C2（﹣3，0），半径R2＝1，又因为a＞7，所以圆心距|C1C2|＝6＜R1+R2＝a+1，所以圆C2内含于圆C1，如图1，因为动圆M与圆C1，圆C2均相切，设圆M的半径为r，分2种情况讨论：①动圆M与圆C1内切，与圆C2外切（r＜a），则有C1M＝R1﹣r＝a﹣r，C2M＝R2+r＝1+r，所以C1M+C2M＝a+1，即M的轨迹为以C1，C2为焦点，长轴长为a+1的椭圆，因为P为△MC1C2的内心，设内切圆的半径为r0，又由，则有所以×C1M×r0+×C2M×r0＝3××C1C2×r0，所以C1M+C2M＝3C1C2，所以3C1C2＝18＝a+1，所以a＝17，②圆C2内切于动圆M，动圆M内切于圆C1，则有C1M＝R1﹣r＝a﹣r，C2M＝R2+r＝r﹣1，所以C1M+C2M＝a﹣1，同理可得：3C1C2＝18＝a﹣1，则有a＝19；综合可得：a＝17或19；故选：C．【点评】本题考查圆与圆的位置关系，涉及轨迹方程的求法以及椭圆的定义，属于难题．60．（2023•浑南区校级模拟）已知，⊙C1与⊙C2相切，并且两圆的一条外公切线的斜率为7，则r1r2为．【分析】设两圆的公切线为y＝7x+t，求得两圆的圆心，由直线和圆相切的条件：d＝r，两圆相切的条件，可得t＝12或﹣18，计算可得所求值．【解答】解：设两圆的公切线为y＝7x+t，即7x﹣y+t＝0，已知圆心C1（2，2），C2（﹣1，﹣1），设C1，C2到公切线的距离为d1，d2，可得d1＝r1＝，d2＝r2＝，由于公切线在两圆的同侧，r1+r2＝﹣＝＝|C1C2|＝3，即|t+3|＝15，可得t＝12或﹣18，当t＝12时，r1r2＝＝；当t＝﹣18时，r1r2＝．综上可得r1r2＝．故答案为：．【点评】本题考查直线和圆的位置关系，主要是相切的条件：d＝r，考查化简运算能力，属于中档题．六六、易错分析易错点1：使用两平行线间距离公式忽略系数相等致错1．求两条平行直线y=3x+5与6x―2y+3=0间的距离．【错解】直线方程y=3x+5可化为3x―y+5=0，则直线3x―y+5=0与6x―2y+3=0间的距离．【错因】6x―2y+10=0与6x―2y+3=0中x、y的系数不对应相等，不能直接用公式。在使用两条平行直线间的距离公式时，一定要注意：两条直线方程均为一般式，且x、y的系数对应相等，而不是对应成比例，因此当直线方程不满足此条件时，应先将方程变形．【正解】经变形得两条平行直线的方程为6x―2y+10=0和6x―2y+3=0，故它们之间的距离为．易错点2：有关截距相等问题忽略截距为零致错2、直线l过点,且在两坐标轴上的截距相等,则直线l的方程为【错解】因为直线l过点,且在两坐标轴上的截距相等,设直线l的方程为,则,所以,故直线l的方程为,即.【答案】。【错因】错误原因是忽略直线l过原点,截距为零的情况.【正解】若直线l过原点,满足题意,此时直线l的方程为；若直线l不过原点,设直线l的方程为,则,所以,故直线l的方程为,即.综上，直线l的方程为或.易错点3：已知两直线平行求参数的值未验证致错3．已知直线ax＋3y＋1＝0与x＋(a－2)y＋a＝0平行，则a的值为________．【错解】令3×1＝a(a－2)，解得a＝－1或a＝3.答案：－1或3【错因】未验证a的值会不会使两直线平行。【正解】令3×1＝a(a－2)，解得a＝－1或a＝3.当a＝－1时，两条直线的方程都为x－3y－1＝0，即两条直线重合，故舍去；当a＝3时，两条直线的方程分别为3x＋3y＋1＝0，x＋y＋3＝0，两条