线性代数练习册2014.3详解

线性代数练习册（含模拟试卷）南京农业大学数学系二○一四年三月

第一章矩阵一、选择题1.若A,B,C为同阶方阵，且可逆,则下列正确的是()AA．若BABC，则ACB．若ABCB，则ACD．若BC0，则C0C．若AB0，则B02.若A,B,C为同阶方阵,且满足ABCE,则下列正确的是()A．ACBEC．BACEB．CBAED．BCAE121AE-,BE2,则AB等于(3.设n维行向量,0,,0,,)2A．0B．C．ED．E211E,且4.设行矩阵,211,则AB()AaaaBbbbAB123123211A．2B．2C．1D．113A135.矩阵21的标准形是()10100010A．A00B．A01C．A00A01D．00000000二、填空题0为分块矩阵，则X1BAX6.设A,B,C均为可逆方阵,=；若00A00A2Y为分块矩阵,则Y=1；若ZB00为分块矩阵，则CB2000Z1=.EI*没有特别说明,或为单位矩阵.2123,11123A,则An7.,.1/300ABA6ABA,且A01/401B,则8.若矩阵AB,满足.01/509.设矩阵满足关系式AA2E0，则A1,(A2E)1.A21212A1311的第二行与第三行得到矩阵,则中的BBPA10.对调矩阵0010P=.三、计算题11.设A,B为同阶方阵，2(AB)A22ABB2,(AB)(AB)A2B2是否成立？何时成立？12.已知A10，BA3A2E，求B1.22342313.设三阶方阵A,B满足AB2AB,其中A110，求B.123310000x14.已知矩阵101y0101/20是020的逆矩阵，求实数,.xy四、证明题15.设n阶方阵满足A2A,证明AEA2可逆.E2A1E2A且16.设与为n阶对称矩阵,证明:ABBA当且仅当ABAB为对称矩阵.16.设AI,是1的非零矩阵，证明:nAA的充要条件是1;2n当1时,A是不可逆的.4

第二章行列式一、选择题121.已知A，A*为的伴随矩阵，则A*为A(()3442421312A．B．C．D．D．313124342.设A为n阶可逆矩阵，则A*1为)A．AAB．A*C．A1A1AA*Aa1,na2,n13.n阶行列式D的值为()nan1,2an,1A．aa1,n2,n1aan1,2n,1B．aaaan1,2n,11,n2,n1D．1n(n1)aan1,2n,1n(n1)aa1,n2,n1aan1,2n,1C．1aa1,n2,n1224.设Aa11a1nA11A1nB，则下列正确的是())aannAnnn1n1A．A是B的伴随矩阵C．B是A的伴随矩阵B．B是A的伴随矩阵D．B不是A的伴随矩阵5.设n阶方阵A与B等价，则必有A．当|A|a(a0)时，|B|aC．当|A|0时，|B|0(B．当|A|a(a0)时，|B|aD．当|A|0时，|B|0xxx1时，线性方程组1231有唯一解？236.xxx1xxx1123A．0B．1C．-1D．异于0、1和-1的实数5二、填空题0ab0c=abacDbdcddebfcfefae=7.Dabc0,.12228.A2312,则AAAA=,MMMM=.2122232421222324111110222xx19.已知多项式f(x)12x1，则f(x)中x3的系数为32x,常数项为.11114810.方程120的全部根为.12481xxx2311.已知4阶方阵A的行列式|A|2，则R(A)，2A=，(1A)1A*2A1=，2A=，4.ABn12.设,为阶方阵，A2，B3，则A1B*A*B1.111k1k1113.若矩阵A的秩为3，则k.11k1111k二、计算题n1111abc111n1bcb1c15.D14.aan11n1111n61aa0000001aaaa11aa121a2na11aa16.D00017.D1nnn0011aa011a1aa1a2n1231223212333112n13n12n3n18.Dn1n1n1n1n1n1n123nnn2n3nn1nnx100000000x100x19.Dn000x1axa1aaan1nn227.A20.设A(,,)，B(,24,39)若1,33123123123123求.B,,.CABA.C21.设A(,,,)B(,,,)若2，求441234324122.设n阶方阵满足AAE，|A|<0,求|AE|.A8第三章向量的线性相关性一、填空题122b1．A212,1，A与线性相关，则b=.3041时,,线性相关2．设(1,1,1),(1,2,3),(1,3,t)，则t=.1231233．设,,线性无关，2,,k,则k=时123112223331,,线性相关.12344.已知(1,1,2,2,1),(0,2,1,5,1),(2,0,3,1,3),(1,1,0,4,1),则1234R,,,.123二、选择题5．下列向量组线性无关的是（）3(0,1,0),(1,0,0),(0,0,0)A：B：C：D：121(0,1,0),(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1)2341(1,2,1),(2,1,1),(1,2,1)321(2,1,1),(0,1,2),(2,1,1)326．已知n维向量组,,,（120）线性相关，则下列说法正确的是（）1sA：对于任意一组不全为零的数k,k,,k都有kkk012s1122sssB：,,,中任意两个向量都线性相关12112sC：存在一组不全为零的数1kk0skk,k,,k，使得2s2D：向量组s,,,中任意一个向量都可由其余向量线性表示129,7．向量可由向量组,,线性表示，不能由向量组Ⅰ:,线性表示.m112m12,记向量组Ⅱ:,,，则下列正确的是（）m112A：不能由Ⅰ线性表示，也不能由Ⅱ线性表示mB：不能由Ⅰ线性表示，但能由Ⅱ线性表示mC：可由Ⅰ线性表示，也可由Ⅱ线性表示mD：可由Ⅰ线性表示，但不能由Ⅱ线性表示m8．下面命题正确的是（）A：任何向量组B：等价向量组包含的向量个数相等C：向量组与向量组本身等价D：矩阵的行、列向量组等价都有极大无关组的任何极大无关组9．若向量组,,的秩为r，则下列正确的是（）12nA：必定rnB：任意小于r个的部分组线性无关C：向量组中任意r个向量线性无关D：向量组中任意r1个向量线性相关10．已知(1,1,2,4),(0,3,1,2),(3,0,7,14),(1,2,2,0),1234(2,1,5,10)，则该向量组的极大无关组为（）5A:,,C:,,D:,,,5B:,,123124125124三、计算证明11．证明：向量组(1,2,1),1(0,3,2)与(1,1,1),(2,1,0)等价.22110,12．设,,线性无关，p,t2t31123123212.123问p,t为何值时,,线性相关？312313.设三阶方阵且A2,A(,,)的列向量组线性无关，1231123AA2，求A.,2123231114.14(1a,1,1,1)',(2,2a,2,2)',(3,3,3a,3)',(4,4,4,4a)'23(1)问?时,,,线性相关.a1234(2)当,,,线性相关时求秩和一个极大无关组，并将其余向量1234用该极大线性无关组表示.15．A为n阶矩阵，为n维列向量，Am10,Amm10,证明:,A,,A线性无关.12316*.已知(1,2,0),(1,a2,3a),(1,b2,a2b),(1,3,3),12试讨论当,为何值时,ab（1）不能由,,线性表示.123（2）可由,,唯一地线性表示，并求出表达式.12312（3）可由,,线性表示，但表达式不唯一，并求出表达式.3第四章线性方程组一、填空选择0xxx1232xxx0有非零解，1.齐次线性方程組则.13xxx0123132x12.方程組xt3x2x0有解的充分必要条件是.3x2x112xxx41时，线性方程組123xaxx3无解3.当a=.23x2xx4123都是AXb(b0)的解向量，则,,,及114.设12t22tt.12tn个维向量都是齐次线性方程組AX0的解向量，则r(A)5.设任意一6.设AXb有n个未知量.~~AA,m个方程()(),rArAr,为的增广矩阵，则()rm时方程组有唯一解Ｂ：时方程组有唯一解rnＡ：mn时方程组有解D：时方程组有无穷多解rmＣ：12,是AXb的两个不同的解，,是AX0齐次方程组的基础解系，7.已知12k,k是任意常数，则AXb的通解是（）1212212B：kk()11212kk()A：21121212212D：kk()11212kk()C：211212AX的基础解系，那么基础解系还可以是（）0,,8.已知是齐次方程组12323,,B：122331A：kkk1123,,112332,C：D：1223二、计算证明0xxxxxxxx2112343x2xx212342xxx4x19.解线性方程组（1）123和（2）x2x3x112344x2xx2x32345x4x3x2x412341234143xxx1223xxx2（1）无解；（2）有唯一解；10.为何值时，线性方程組13xxx2123（3）有无穷多解，并且求出此时的通解.且组AXb的三个解,,,是12(3,5,7,9),(1,2,3,4),11.已知方程3123r(A)3，求该方程组的通解.121212.设A01tt,且方程AX0的解组空间的维数为2,求1t01(1)R(A)(2)AX0的通解.15

1223AXb有无穷多解，其中13.已知非齐次线性方程组A4t3,b1,试求3112AXb的通解t的值并写出.,AXb14.设是非齐次线性方程组的两个不同解,是对应齐次线性方程组12mnAX0的一个非零解．证明：（１）线性相关12,线性无关（2）若R(A)n1,则,,11216

,12AXb的解，是对应的齐次线性方程组15.已知是非齐次线性方程组AX0的两个线性无关的解,,线性无关,试证：.12第五章特征值、特征向量及二次型一、填空题1.设阶n可逆矩阵A的一个特征值，则A1的一个特征值为，A*的一个特征值为,Am的一个特征值为.21,2,则A12.设3阶方阵A的特征值为特征值为,A*的特征值1317为，(AI)2的特征值为.3.A2I，则的特征值为A;A23A4I0,则的特征值为A..(1,1,1,1)，(2,1,1,3)都正交的一个单位向量为4.在R中与向量(1,1,1,1)，45.若4阶矩阵1111A与B相似，矩阵A的特征值为,,,,则B1E=.23451f(x,x,x)x24x24x22xx2xx4xx正定；6.范围为时12312321323t范围为时f(x,x,x,x)tx2tx2tx22xx2xx2xx负定.1234123121323二、选择题117．方阵相似于矩阵（）0210111011D：01A：02B：22C：028．实二次型fXTAX正定的充要条件是（），有XAX0X0A：对任意的A0B：使得ACC存在Cn阶矩阵C：9．n阶方阵A：充分必要条件D：的所有子式大于零AA具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的()B：充分而非必要条件C：必要而非充分条件D：既非充分条件而非必要条件11410．设A1x2的特征值为0，1，2，则x=（）001A：1B：2C：3确的结论是（D：411．对于n阶方阵A：一定可逆阵有n个不同的特征值B：存在B，使得B1AB为对角阵C：它的特征值一定D：属于不同特征值的特征向量一定线性无关A,以下正）是正数12．设A是n阶正定矩阵，则AI的行列式()B：1C：<1D：1A：>1三、计算证明1831,0,1对应的特征向量为3阶方阵A的特征值13．设12122P2,P2,P1，求A,A.1512322211(1,1,1)试确定参数a,b及特14.已知A是矩阵4a2的一个特征向量，1b2征向量所对应的特征值.p(1,1,0),p(2,1,1)是2，是的特征值，1215.已知3阶实对称矩阵A的秩为6AA对应于特征值6的特征向量.(1)求A的另一个特征值和对应的特征向量；(2)求矩阵A.19

200200A001和B0y0相似，求可逆阵1APB.P，使得P16．设方阵x001013阶方阵为1，-1，2,A的特征值BA35A2，求,B和A5I.B的特征值17．设222A254化为对角阵24518．求正交矩阵T，把实对称矩阵.2019．用正交变换，将下列二次型化为标准型.f(x,x,x)x22x23x24xx4xx3（1）12312312220.二次型f(x,x,x)(1a)x2(1a)x22x22(1a)xx的秩为2,12312312(1)求a的值;(2)求正交变换xQy,把f(x,x,x)化为标准型.123021．设A为mn阶实矩阵,BIAA,证明：时矩阵为正定矩阵.B21

22.(1)设A与B都是n阶正交矩阵，证明AB也是正交矩阵；A0，证明AB与BA相似(2)设A与B都是n阶矩阵，且.23．n阶矩阵A既正定又正交，证明：AI.线性代数模拟试题（一）一、填空题11111211A，则r(A)1.设A为3阶方阵，且A3，则（A*）1=111（用A表示）111则X=,X0223.若1101101aaAa1a，则当4.设时，r(A)2.a满足条件时，A可逆；当a=1aa5.秩相等是两个同维向量组等价的条件.A6.设4阶方阵3，1，1，2，则A的4个特征值为xx230xx417.齐次方程组232xxx3x0的基础解系是1234xxx0134f(x,x)2x22x24kxx为正定二次型，则8.设二次型1k的取值范围为21212二、选择题9.设n阶方阵（A）必有一列元素为（C）必有一列向量是A是奇异阵，则A中0(B）必有两列元素对应成比例其余列向量的线性组合（D）任意一列向量是其余列向量的线性组合0BCn阶可逆阵，若，则C1=10.设A和B都是A00B1A10（A）（B）0BA0110A1B10（C）（D）B100A111.若n阶矩阵A的秩为n3（n4），则A的伴随矩阵A*的秩为n2-（A）（B）0（C）1（D）不确定,,,是AX0的基础解系，则12.设是非齐次方程组AXb的一个解,012r线性无关,,,01r,,,(A)线性相关（B）01rAXb的解的线性组合是,,,（C）01r230AX的解的线性组合是,,,（D）01r13.n阶方阵A与对角矩阵相似的充要条件是A的行列式A的秩为A0（A）矩阵A有n个特征值（B）矩阵（C）矩阵A有n个线性无关的特征向量（D）矩阵n三、计算证明题101，求B14.设A和B都是3阶方阵,ABIA2B,其中A020101xxx1115设线性方程组1232xkx2x0,（1）k为何值时，方程组有唯一解、无解；23kx2xxk123（2）k为何值时，方程组有无穷多解？并求出其通解.的线性无关都正交，,,,，非零向量与12,,,16.设向量12rr线性无关,,,证明：与.12r24210A120，（1）求17设A的特征值；（2）求其特征值所对应的特征向量.00218.化二次型f2x23x23x24xx为标准形1232319.证明：实对称矩阵A为正定矩阵的充要条件是存在可逆矩阵P，使得APP.线性代数模拟试题（二）一、填空题111211,则AB1.已知A,B20110225100A220,则(A*)12.已知34513.设A为三阶方阵，A,则2A1(2A)116304022224.行列式0700,第四行各元素的代数余子式之和为5387xx2x1123X(0,1,0),X(3,2,2)是线性方程组3xx4x1的两个解，5.已知12123axbxcxd123则此方程组的一般解是A6.设A为4阶方阵，A的4个特征值为-2，-1，1，2,则二、选择题7.设A,B为阶方阵，满足关系AB0，则必有n（A）AB0(B)AB0(C)A0或B0（D）AB0S,,,