北京师大实验中学19年-20年学年高一上学期期中考试数学试卷Word版含解析

北京师大实验中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共7小题，共35.0分）L设集合∙. - -•,全集•一•，则集合■ 中的元素共有A.•个B.个C.•个D.•个【答案】A【解析】.■■ '''即集合CdAiiB，）•中共有3个元素，故选A.考点：集合的运算..函数 L的定义域是（ ）.A. B. C..D..>.÷c?.【答案】D【解析】要使函数有意义，则需：••.：，解得：.，所以函数的定义域是：ZL3.，故选•..设集合A={（X,y）∣4x+y=6},B={（x,y）∣3x+2y=7},则满足C⊆A∩B的集合C的个数是（）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】【分析】先求出A∩B，然后根据A∩B中元素的个数确定C的个数.【详解】A∩B {（1,2）},ʌC是0或{（1,2）},共有2个.故选：C【点睛】本题考查子集的性质和应用,属于基础题．4.下列函数中，在（-∞,0）上为减函数的是（ ）A. B. C. D.『=【答案】D【解析】【分析】根据二次函数，一次函数，反比例函数的单调性，逐一判断四个答案中的函数在区间（-8,0）上的单调性，比照后，即可得到答案．【详解】A中，函数y=-%2+2在（-8,0）上为增函数；B中，函数y=4%-1在（-8,0）上为增函数；C中，函数y=%2+4%在（-8,-2）上为减函数，在（-2,0）上为增函数；。中，函数：；=一在（-8,O）上为减函数N故选：D.【点睛】本题考查的知识点是函数单调性的判断与证明,熟练掌握各种基本初等函数的单调性,是解答本题的关键．【解析】【分析】g一根据题意，先求/（%+l）的表达式，可得.・ ■进而分析可得f（%）单调递减，且其图象与y轴交点在（0,1）之下，比较选项可得答案.【详解】根据题意，可得.•一二」.「，/(%)单调递减;κ+12 2i∕∣ ,.「.’，即函数图象与y轴交点在(0,1)之下;3ι 3A、D选项的图象为增函数，不符合；C选项的图象与y轴交点在(0,1)之上，不符合;只有B的图象符合两点，故选：B.【点睛】本题考查指数函数的性质和函数图象的变化,掌握指数函数的性质是解题的关键．6.如果二次函数y=x2-(k+1)x+k+4有两个不同的零点，则实数k的取值范围是( )A.∙∙,J∙ B.…一二"3Ty,C.-.D.-5,3).【答案】A【解析】【分析】二次函数y=%2-(k+1)%+k+4有两个不同的零点可得，%2-(k+1)%+k+4=0有两个不同的实根，则4>0,解不等式可求.【详解】•・•二次函数y=%2-(k+1)%+k+4有两个不同的零点.∙.%2-(k+1)%+k+4=0有两个不同的实根・•・△=(k+1)2-4(k+4)=k2-2k-15=(k+3)(k-5)>0.∙.k<-3或k>5故选：A.【点睛】本题主要考查了二次函数的零点与二次方程的根的存在情况的判断,属于基础题..下列大小关系正确的是()A.0.4*30t<l0g40.3B.」： ：'!C.lo⅛0,3<0,43<30-4D.卜.「二T【答案】C【解析】试题分析：根据题意,由于1：二一；，IW那么根据与0,1的大小关系比较可知结论为-∙τ'M选C.考点：指数函数与对数函数的值域点评：主要是利用指数函数和对数函数的性质来比较大小，属于基础题。二、填空题(本大题共8小题，共40.0分).若映射f：x-y=2(χ-2)，则8的原象是 ,8的象是 .【答案】(1)∙:(2).F【解析】【分析】正确理解象与原象的概念，代入计算即可．【详解】V8=2χ-2；.%=5；y=28-2=26=64.故答案为：⑴.;(2)..【点睛】本题考查映射的概念，解决的关键是理解象与原象的概念，是容易题..设函数g=：葭之，则ff(T))=.【答案】【解析】【分析】按照先内后外的顺序：先求内层/(-1)=5,再求外层/(5)即可.【详解】•・•-1<0,.∙./(-1)=-1+6=5>0,则/(/(-1))=/(5)=52-4×5+6=11.故答案为：11.【点睛】本题考查分段函数求函数值,求解过程中始终要注意自变量的取值范围,代入相对应的解析式计算,属于基础题..4：晨卜3噤-坨，.【答案】■【解析】【分析】 , 、 k 、，S—一—根据对数的运算律：lgM+lgN=lg(M∙N),IgM-IgN=Ig-,lgMn=nlgM.计算可得结果.N【详解】根据对数的运算律知：4 -lʃ:-7lIJ4.故答案为：4．【点睛】本题考查对数式的求值及对数的运算律，重点在于公式的熟练程度和计算能力.11.奇函数f(X)在［3,7］上是减函数，在区间［3,6］上的最大值为8,最小值为-1,则2f(-6)+f(-3)= .【答案】七【解析】【分析】根据奇函数在对称区间上单调性一致，判断出区间［-6,-3］上的最大值为f(-6)=1,最小值为f(-3)=-8,代入即可得到答案.【详解】•・•函数f(x)在［3,7］上是减函数，在区间［3,6］上的最大值为8,最小值为-1,・∙・函数f(x)在［-7,-3］上也是减函数，区间［-6,-3］上的最大值为f(-6)=1，最小值为f(-3)=-8,.∙∙2f(-6)+f(-3)=2-8=-6,故答案为-6.【点睛】本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义,函数单调性的性质,奇函数,其中根据函数奇偶性和单调性求出f(-6)及f(-3)的值，是解答本题的关键..函数f(X)”气(x2-2x-3)的单调递增区间为.2【答案】-【解析】【分析】先求函数的定义域为｛出>3或-1｝，要求函数跆0=［3-*工一%勺单调递增区间，只要求解函数t=X2-2X-3在定义域的单调递减区间即可【详解】函数的定义域为｛XIX>3或X<-1｝,令7=%2-2%-3,则y1因为y'「在(0,+∞)单调递减，t=X2-2X-3在(-∞,-1)单调递减，在(3,+∞)单调递增，由复合函数的单调性可知函数的单调增区间为(-8-1),,故答案为：(-8,-1).【点睛】本题考查复合函数的单调性，对数函数的单调性，解题时容易漏掉对函数的定义域的考虑，注意函数的单调增区间的写法，属于基础题..给出下列四个命题中：①命题“若x≥2且y≥3,则x+y≥5”为假命题.②命题“若X2-4x+3=0,则x=3”的逆否命题为：“若x≠3,则X2-4x+3≠0”.③“x>1”是“|x|>0"的充分不必要条件④关于X的不等式|x+1|+|x-3∣≥m的解集为R,则m≤4.其中所有正确命题的序号是.【答案】②③④【解析】【分析】命题的判断，一一进行判断即可.对于①，显然为假命题；对于②，逆否命题，条件和结论都否定，正确；对于③，若%>1,则|%|>0.若|%|>0,则%不一定大于1；对于④，f(x)=IX+1∣+∣X-3|表示数轴上点X到-1和3的距离之和.【详解】对于①，显然为假命题；对于②，逆否命题，条件和结论都否定，正确；对于③，若%>1,则|%|>0.若|%|>0,则%不一定大于1；对于④，于(%)=∣x+l∣+∣x-31表示数轴上点%到-1和3的距离之和,最小为4,所以F三4故答案为②③④.【点睛】本题考查命题真假的判断，综合考查了不等式性质及绝对值的意义，属于中档题.14.已知£(x+y)=f(x)f(y)对任意的非负实数x,y都成立，且f(1)=4，则Γ(l)f⑶: ■ : ■.：一°【答案】"M【解析】【分析】 JX ID∙t∏)4在/(%+y)=∕(%)∕(y)中，令y=l可得,/(%+1)=/(%)/(1),进而可得 =——--=IM)=4,将其代入所求中，可得答案.【详解】根据题意，在f(X+y)=f(X)f(y)中，令y=l可得，f(%+l)=/(%)f(1),f(x+l}i<x)1(1)∣⅛)∣(x)则二二U故答案为8040．［口；向‘山；-…；f(2009)■`4,【点睛】本题考查抽象函数的运用,解决这类问题一般用赋值法．15.若f(X)是定义在实数集上的偶函数，且f(x+5)=-f(X),当x∈(5,7.5)时，Iix)=二X则f(2011)的值等于.【答案】，、【解析】【分析】由/(%+5)=-∕ω可求得了(%)的周期，再利用(5,7.5)时，IfX〕=1,即可求得Xf(2011)的值.【详解】,∙*f(X+5)=-f(X),.*.f(X+10)=-f(X+5)=f(X),・"(x)是以10为周期的函数，.f(2011)=f(1)=-f(6),又当％£(5,7.5)时，=',)(6)，修。5-ɪ故答案为：-【点睛】本题考查函数的周期性，关键是求得f(X)的周期，再转化到给定的区间上，属于基础题．三、解答题(本大题共5小题,共75.0分)(15分)设集合A={χ∣y=lg(χ2-x-2)},集合B={y∣y=3-∣χ∣}.(1)求A∩B和A∪B;(2)若C={x∣4x+p<0},C⊆A,求实数P的取值范围.二...一. )μ.÷■：.【解析】【分析】(1)利用真数大于零、偶次根式的被开方数非负，列出不等式求得A,B代表函数的值域，分别求得A、B后直接求交集，并集即可.(2)由题意知—二-1解得P即可.【详解】(1)X2-x-2>0,.∙.(x-2)(x+1)>0,.∙.x>2或x<T,ΛA={x∣x<-1或x>2}；y=3-∣x∣≤3,.∙.B={x∣x≤3};.∙.A∩B={x∣x<-1或2<x≤3};A∪B=R.∙.∙C⊆A,・•・J.∙.p≥4.・•.P的取值范围为［4,+∞)【点睛】本题是比较常规的集合与一元二次不等式的解法的交汇题，主要考查交集、并集及其运算属于基础题．(15分)已知二次函数f(x)对任意实数X满足f(x+2)=f(-x+2),又f(0)=3,f(2)=1．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若f(x)在［0,m］上的最大值为3,最小值为1,求m的取值范围.i`Y，Y)［二引【解析】【分析】(1)先由题意设f(x)=g+bx+c,再结合f(2+X)=f(2-x)得到X=2是对称轴，从而建立a,b,c的关系式，即可求得a,b,c.最后写出函数f(X)的解析式即可；(2)由于对称轴为X=2,且f(2)=1,得到f(0)=f(4)=3,从而有：2Wm≤4,即m的取值范围为［2,4］.【详解】(1)设f(x)=ax2+bx+c,Vf(2+x)=f(2-x),∙∙∙x=2是对称轴，故一，∙f(0)=c=3,f(2)=4a+2b+c=1,.∙..∣_.1'-'.⅛,=.：二一上3(2)V对称轴为x=2,且f(2)=1,.f(0)=f(4)=3,为了使得f(x)在［0,m］上的最大值为3,最小值为1,.2≤m≤4,.m的取值范围为［2,4］【点睛】本小题主要考查二次函数的性质、二次函数在闭区间上的最值等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．(15分)设函数f(x)=x2-x+m，且f(log2a)=m,log2f(a)=2,(a≠1).(1)求a,m的值；(2)求f(log2x)的最小值及对应的X的值.J二时二时，取得最小值.【解析】【分析】(1)由题意，可由f(log2a)=m,log2f(a)=2,(a≠1)建立方程求出a,m的值.7 1∏7 1 7 1i'-■：1 ：--：iJ ':一 ∣,故可令1,,二、,■：=.2 4 2 4 —求出函数取最小值时％的值.【详解】(1)f(log2a)=log22a-log2a+m=m,.∙.log2a(log2a-1)=0Λa=1(舍)或a=2,.a=2,f(2)=2+m,.log2f(a)=log2f(2)=log2(m+2)=2,.m=2,综上：a=2,m=2.、.T 匕7(2)i',、「八.''r当•・时,f(X)取得最小值：/.Iog3X=⅛,f(log2x)取得最小值.)最小，iM-【点睛】本题考查对数函数的单调性与特殊点，正确解答本题，关键是熟练掌握对数的性质，本题第二小题解法有特色，先判断出复合函数取最小值时外层函数的自变量，再将其作为内层函数值建立方程求出复合函数取最小值时的％的值，解题时要注意运用此类题解法上的这一特征.(15分)对于函数f(x),若存在xo∈R,使f(x0)=xo成立，则称xo为函数f(x)的不动点.已知£(x)=x2+bx+c(1)当b=2,c=-6时，求函数f(x)的不动点；(2)已知f(X)有两个不动点为士：，求函数y=f(x)的零点；(3)在(2)的条件下，求不等式f(x)>0的解集.：I二)［一S「工」」口，4「二：【解析】【分析】(1)设％为不动点，则有f(x)=X，变形为X2+X-6=0,解方程即可.(2)根据题中条件得X2+(b-1)X+C=0利用根与系数的关系得出b,c的值，最后解方程f(x)=0即可得出f(x)的零点.(3)由题意得f(X)>0即(X+2)(X-1)>0,解之即可.【详解】(1)f(x)=x2+2x-6,由f(x)=x,/x2+x-6=0,/(x-2)(x+3)=0,/.x=2或x=-3,/f(x)的不动点为2或-3.Vf(X)有两个不动点：一，即f(X)=X有两个根土:,/x2+(b-1)x+c=0,j-j.`-1, ,二.∙.b=1,c=-2,.∙.f(x)=x2+x-2,令f(x)=0,即(x+2)(x-1)=0,解得x=-2或x=1,・•.f(x)的零点为x=1或x=-2.f(x)>0,.∙.(x+2)(x-1)>0,.∙.x>1或*<-2,Λf(x)>0的解集为(-∞,