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文档简介
(二十一)数学剖析期终考试题一表达题:(每题5分,共15分)开集和闭集函数项级数的逐项求导定理Riemann可积的充分必需条件二计算题:(每题7分,共35分)1、9x31xdx12、求x2(yb)2b2(0ab)绕x轴旋转而成的几何体的体积3、求幂级数(11)n2xn的收敛半径和收敛域n1n4、limx2y2x01x2y21y05、f(x,y,z)xxy2yz20到点(-1,1,2)的方向,l0,l为从点P(2,-1,2)求f(P)三议论与考证题:(每题10分,共30分)、已知f(x,y)(x2y2)sin1y2x2y201x2,考证函数的偏导数在原点不连续,但0x0,y0它在该点可微2、议论级数lnn21的敛散性。n1n213、议论函数项级数(xnxn1)x[1,1]的一致收敛性。n1nn1四证明题:(每题10分,共20分)1若af(x)dx收敛,且f(x)在[a,+∞)上一致连续函数,则有limf(x)0x2设二元函数f(x,y)在开集DR2内关于变量x是连续的,关于变量y知足Lipschitz条件:f(x,y')f(x,y'')Ly'y''此中(x,y'),(x,y'')D,L为常数证明f(x,y)在D内连续。参照答案一、1、若会合S中的每个点都是它的内点,则称会合S为开集;若会合S中包括了它的全部的聚点,则称会合S为闭集。2设函数项级数un(x)知足(1)un(x)(n1,2,)在[a,b]连续可导n1a)un(x)在[a,b]点态收敛于S(x)n1b)u'nn1
(x)在[a,b]一致收敛于(x)则S(x)=ddun(x)在[a,b]可导,且dxnun(x)n1dxun(x)n113、有界函数f(x)在[a,b]上可积的充分必需条件是,关于随意分法,当max(xi)0时1inDarboux大和与Darboux小和的极限相等xdx3(1t3)t3dt468二、1、令t31x(2分)x31(5分)921072、y1ba2x2,y2ba2x2,(2分)所求的体积为:a(y12y22)dx22a2b(5分)a(11)n11113、解:因为lim[(n)n收敛半径为分),当x11](4时,n(1)n1(1)n1eeen1n1(11)n2(1)n(1)n10(n),所以收敛域为(1,1)(3分)neee22(x22)(1221)4、limxylimyxylim(1x2y21)2(7分)x01x2y21x0(1x2y21)(1x2y21)x0y0y0y05、解:设极坐标方程为fx(2,1,2)2,fy(2,1,2)0.fz(2,1,2)4(4分)fl(2,1,2)613(3分)三、1、解、fx2x(sin1y2x21cos1)x2y20x2y2x2y2x2y2(4分)因为00x21cos1y2当趋于(0,0)无极限。所以不连续,同理可的fy也不连续,(2分)y2x2lnn2122、解:limn211(5分)收敛,所以原级数收敛(5分)2n1n2n1n213、解:部分和xn10,取N1nN时有Sn(x)x(3分),,n1xn117分)Sn(x)xn,所以级数一致收敛(n1四、证明题(每题10分,共20分)1、证明:用反证法若结论不建立,则00,X.a,x0X,使得f(x0)0,(3分)又因为在f(x)在[a,∞)上一致连续函数,0(0,1),x',x''a,只需x'x''0,有f(x')f(x'')0,(3分)于是2A0a,令XA01,取上述使f(x0)0的点x0X,,不如设f(x0)0,则对随意知足xx的x,有f(x)f(x0)000取A和A‘分别等于x000,则0和x002222A'0f(x)dxf(x)dx不收敛,矛盾(4分)0有,由Cauchy收敛定理,aA22、证明:(x0,y0)D,由Lipschitz条件f(x,y)f(x0,y0)f(x,y)f(x,y0)f(x,y0)f(x0,y0)Lyy0f(x,y0)f(x0,y0)(1),(6分)又由二元函数f(x,y)在开集DR2内关于变量x是连续的,(1)式的极限为0,f(x,y)在(x0,y0)连续,所以f(x,y)在D内连续(4分)(二十二)数学剖析期末考试题一表达题:(每题5分,共15分)1Darboux和无量限失常积分的Cauchy收敛原理Euclid空间二计算题:(每题7分,共35分)nn!1、limn2、求由以下两条曲线围成的平面图形的面积3、In0exxndx(n是非负整数)4、设uf(x2y2z2,xyz),f拥有二阶连续偏导数,求2uzx5、求f(x)ex的幂级数睁开式三议论与考证题:(每题10分,共20分)1、议论二元函数连续、偏可导、可微之间的关系。对必定的结论任选一进行证明;对否认的结论,给出反例2、议论级数cosnx(0x)的绝对和条件收敛性。n1np四证明题:(每题10分,共30分)x01f(x)在[0,+∞)上连续且恒有f(x)>0,证明g(x)x
tf(t)dt在[0,+∞)上单一增添f(t)dt02设正项级数xn收敛,xn单一减少,证明limnxn0n1n3f(x,y)y2,证明:limf(x,y)不存在xyx0y0参照答案Px0x1xn一、1、有界函数f(x)定义在[a,b]上,给一种分法,ab和记nnMisupf(x),[xi1,xi],miinff(x),[xi1,xi],则S(P)Mixi,S(P)mixi分别i1i1P大和和Darboux小和。称为相应于分法的Darboux0.Na使得mnN,建立n2、f(x)dxm3、Rn向量空间上定义内积运算x,yx1y1xnyn组成Euclid空间二、1、因为limlnnn!lim1((nlni)nlnn)limnnnnni1ni12、解:两曲线的交点为(2,2),(0,0),(2分)
lni11lnxdx1(7分)nn022(2xx)dx4所求的面积为:(5分)0233、解:In0exxndx=xnex|0+nexxn1dx=nIn11exxndx+exxndx(6分)001Inn!(1分)4、:u=2f1xyzf2(3分)2u2x(2zf11xyf12)yf2yz(2zf21xyf22)(4分)xzxexn1),(3分)所以exx2xn因为余项rn(x)0(n1x5、解:x(4(n1)!2!n!分)三、1、解、可微必可偏导和连续,证明可看课本133页(4分),可偏导不必定连续和可微例子可看课本135页(6分)2、解:当p1时,级数绝对收敛,(4分)当0p1,由Dirichlet定理知级数收敛,但cosnxcos2nx1cos2nx|cosnx|分),当p0时,级,所以发散,即级数条件收敛(4npnp2np2npn1np数的一般项不趋于0,所以级数不收敛(2分)四、证明题(每题10分,共30分)xf(t)dtxxtf(t))dt'xf(x)f(x)tf(t)dtf(x)(xf(t)(x)0000(81证明:g(x(x分)f(t)dt)2f(t)dt)200所以函数单一增添(2分)2证明:m,nm,有(nm)xm1xnxm由此得nxnnxm,(4分)由级数收敛,故nm0可取定m0使得xm0,又limn1,故n0使得nn0时,有n2,(4分)于是nm0nmn当nn0时,有0nxn2,得证(2分)3、证明:limf(x,y)limx1limf(x,y)limx221,所以limf(x,y)不存在x0x0x2xx0x0x2x2x0yxyx2y0(10分)(二十三)数学剖析期末考试题一表达题:(每题5分,共15分)微积分基本公式无量项失常积分紧几合二计算题:(每题7分,共35分)dx2dt2dx]1、[1t41x4dx012、求由以下两条曲线围成的平面图形的面积3、求n(n2)xn的收敛半径和收敛域n14、设uxeyzezy,求偏导数和全微分1xy15、limx0xy0议论与考证题:(每题10分,共30分)1议论f(x,y)x2y2的二重极限和二次极限x2y2(xy)21dx2议论e的敛散性0xplnx3、议论函数项fn()xnxn1(0x1)的一致收敛性。x四证明题:(每题10分,共20分)设f(x)连续,证明xxu1f(u)(xu)duf(x)dxdu0002证明uy(x2y2)知足yuxuxuxyy参照答案一、1、设f(x)在[a,b]连续,F(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数,则建立bf(x)dxF(b)F(a)。af(x)在[a,)有定义,且在随意有限区间[a,A]上可积。若极限limA2、设函数f(x)dx存Aa在,则称失常积分收敛,不然称失常积散发散3、假如S的随意一个开覆盖U中总存在一个有限子覆盖,,即存在kkUUS,则称S为紧集,知足iii1i1
中的有限个开集二、1、dx2dt2dx]=d[dx01t411x4dx
x2dt2x分)(701t41x82、解:两曲线的交点为(-2,4),(1,1),(2分)1xx2)dx9所求的面积为:(2(5分)223:limnn(n2)1,收敛半径为1(4分),因为x1时,级数不收敛,所以级数的收敛n域为(-1,1)(3分)4:u=eyzu=xzeyz1u=xyeyzez(4分)xyzdueyzdx(xzeyz1)dy(xyeyzez)dz(3分)5、解:lim1xy1lim(1xy1)(1xy1)1(7分)x0xyx0xy(1xy1)2y0y0三、1、解、因为沿ykx趋于(0,0)时,limx2y20k1x2y2(xy)21k,所以重极限不存在(x,kx)(0,0)1(5分)limlimx2y20,limlimx2y20,(5分)(xy)2(xy)2x0y0x2y2y0x0x2y21p11dx2:0p1,因为x20(x0)故e收敛(4分);p1,因为xplnxxplnx01p11dx1dxx2(x)(4分)故e收敛,p1,e,发散(2分)。xplnx0xplnx0xlnx3、limfn(x)0f(x
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