数学分析103平面曲线的弧长与曲率

第十章定积分的应用平面曲线的弧长与曲率一、平面曲线的弧长设平面曲线C=AB⌒.如下图，在C上从A到B挨次取分点：A=P0,P1,P2,,Pn-1,Pn=B，它们成为曲线C的一个切割，记为T.用线段联络T中每相邻两点，获得C的n条弦Pi-1Pi(i=1,2,,n)，这n条弦又成为C的一条内接折线，n记：T=max|Pi-1Pi|，sT=|Pi-1Pi|，分别表示最长弦的长度和折线的总长度。1ini1定义1：关于曲线C的不论如何的切割T，假如存在有限极限：limsT=s，T0则称曲线C是可求长的，并把极限s定义为曲线C的弧长.定义2：设平面曲线C由参数方程x=x(t),y=y(t),t∈[α,β]给出.假如x(t)与y(t)在[α,β]上连续可微，且x’(t)与y’(t)不一样时为零22(即x’(t)+y’(t)≠0,t∈[α,β])，则称C为一条圆滑曲线.定理：设曲线C由参数方程x=x(t),y=y(t),t∈[α,β]给出.若C为一圆滑β曲线，则C是可求长的，且弧长为：s=αx2(t)y2(t)dt.证：对C作随意切割T={P01n0n分别对应t=α与t=β,,P,,P}，并设P与P且Piiiii)),i=1,2,,n-1.(x,y)=(x(t),y(t于是，与T对应获得区间[α,β]的一个切割T’：α=t012<tn-1n=β.<t<t<t在T’所属的每个小区间△i=[ti-1,ti]上，由微分中值定理得xi=x(ti)-x(ti-1)=x’(ξi)△ti,ξi∈△i；△yi=y(ti)-y(ti-1)=y’(ηi)△ti,ηi∈△i.进而C的内接折线总长为sTn22n2(ξ)y2(η)△i=xiy=xiiit.i1i1记σi22(ηi)-x2(ξ)y2(ξ)，则nx22(η)△tT(ξ)yσi=x(ξi)yiis=iii.i1又由三角形不等式可得：|σiiiii|≤||y’(η)|-|y’(ξ)||≤|y’(η)-y’(ξ)|.由y’(t)在[α,β]上连续，进而一致连续，∴对任给的ε>0,存在δ>0，当T<δ时，只需ηiiiiiiεβ-α∴|sTnx2(ξi)y2(ξi)△in△in|σi|△ti≤ε-|=||i1i1i1<,∴n22△ti，即s=β2(t)y2(t)dt.limTxξy(ξ)x0αT0Ti1注：1、若曲线C由直线坐标方程y=f(x),x∈[a,b]表示，则看作参数方程：x=x,y=f(x),x∈[a,b].所以，当f(x)在[a,b]上连续可微时，b2(x)dx.此曲线即为一圆滑曲线，其弧长公式为：s=1fa2、若曲线C由极坐标方程r=r(θ),θ∈[α,β]表示，则化为参数方程：x=r(θ)cosθ,y=r(θ)sinθ,θ∈[α,β].由x’(θ)=r’(θ)cosθ-r(θ)sinθ,y’(θ)=r’(θ)sinθ+r(θ)cosθ,得：2222x’(θ)+y’(θ)=r(θ)+r’(θ)，∴当r’(θ)在[α,β]连续，且r(θ)与r’(θ)不一样时为零时，此极坐标曲线为一圆滑曲线，β其弧长公式为：s=r2(θ)r2(θ)dθ.α例1：求摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost)(a>0)一拱的孤长.22222t解：∵x’(t)=a-acost;y’(t)=asint.∴x’2其弧长为s=2π4a2sin2tdt=4a2πtdt=8a.00sin222例2：求悬链线y=exe-x从x=0到x=a>0那一段的弧长.2exe-xexe-x2.2.解：∵y’=2∴1+y’=2其弧长为s=aexe-xdx=eae-a.022例3：求心形线r=a(1+cosθ)(a>0)的周长.2222θ解：∵r’(θ)=-asinθ.∴r(θ)+r’(θ)=4acos.22πθ2πθθ其周长为s=2acosθcos00222注：∵s(t)=αx2(t)y2(t)dt连续，∴ds=2dy2tdtdtdt即有ds=dx2dy2.特别称的微分dx为弧微分如左以下图)PR为s(t).(曲线在点P处的切线，在Rt△PQR中，PQ为dx，QR为dy，PR则为dx，这个三角形称为微分三角形。二、曲率：观察右上图由参数方程x=x(t),y=y(t),t∈[α,β]给出的圆滑曲线C上，⌒⌒C从点P移至QPQ与QR长度邻近，但曲折程度差异较大，可见当动点沿曲线时，切线转过的角度△α比动点从Q移至R时切线转过的角度△β要大得多.设α(t)表示曲线在点P(x(t),y(t))处切线的倾角，△α=α(t+△t)-α(t)表示动点由P沿曲线移至Q(x(t+△t),y(t+△t))时切线倾角的增量，若PQ⌒之长为△s，则称K=α为弧线PQ⌒的均匀曲率.假如存在有限极限sK=limα=limα=dα，则称此极限K为曲线C在点P处的曲率.t0ss0sds因为假定C为圆滑曲线，所以总有α(t)=arctany(t)或α(t)=arccotx(t).x(t)y(t)又若x(t)与y(t)二阶可导，则由弧微分可得：dαα(t)=dss(t)

x(t)y(t)-x(t)y(t).∴曲率的公式为：K=xy-xy=3(x23.[x2(t)y2(t)]2y2)2y注：若曲线由y=f(x)表示，则相应的曲率公式为：K=3.(1y2)2例4：求椭圆x=acost,y=bsint,0≤y≤2π上曲率最大和最小的点.解：∵x’(t)=-asint,x”(t)=-acost；y’(t)=bcost,y”(t)=-bsint.2222222222∴x’(t)+y’(t)=asint+bcost=a+(b-a)cost；x’(t)y”(t)-x”(t)y’(t)=absin2t+abcos2t=ab.∴K=x(t)y(t)-x(t)y(t)=ab3.[x2(t)y23(b2(t)]2[a2a2)cos2t]2当cos2t=0时，K=b2；当cos2t=1时，K=a2.ab∴Kmax=max{b2,a2}；Kmin=min{b2,a2}.abab注：1、当a=b=R时，椭圆变为圆，则曲率K=1.R2、直线上到处曲率为0.定义：设曲线C在某一点P处的曲率K≠0.若过P作一个半径为ρ=1K的圆，使它在P处与曲线有同样的切线，并在点P近旁与曲线位于切线同侧。我们把这个圆称为曲线C在点P处的曲率圆或亲密圆。曲率圆的半径和圆心称为曲线C在点P处的曲率半径和曲率中心。铁路弯道剖析：火车轨道从直道进入到半径为R的圆弧形弯道时，为了行车安全，一定经过一段缓冲轨道，使得曲率由零连续地增添到1，R以保证火车的向心加快度(a=v2)不发生跳跃性的突变。如图，x轴负ρ⌒是半径为R的圆弧形轨道(点Q为其圆心)，半轴表示直线轨道，AB⌒x3OA为缓冲轨道。我国一般采纳的缓冲曲线是三次曲线y=.此中l6Rl⌒8R2l2x.是OA的弧长.它的曲率K=2l2x432(4R)当x从0变为x0时，曲率K从0连续地变为K0=8R2l2x0(4R2l2x04)32

=18l2x03.R424l2x0R2当x0≈l，且x0很小时，K0≈1.RR所以由OA⌒的曲率从0渐渐增添到靠近于1，进而起了缓冲作用。R习题1、求以下曲线的弧长：3,0≤x≤4；(2)33≤≤π；(1)y=+=1；(3)x=acosxxy(4)x=a(cost+tsint),y=a(sint-tcost)(a>0),0≤t≤2π；(5)r=asin3θ(a>0),0≤θ≤3π；(6)r=aθ(a>0),0≤θ≤2π.3解：(1)∵y’=3x；∴弧长S=420

9xdx=8(1010-1).27(2)∵y=1-2x+x,0≤x≤1，y’=1-1；x21111dx=211dx=1+2ln(1+2).∴弧长S=x2x-2x002(3)∵x’=-3asintcos2t,y’=3acostsin2t；2222424222922x’+y’=9a(sintcost+costsint)=9asintcost=4asin2t.2π∴弧长S=3a0|sin2t|d2t=6a.4(4)∵x’=a(sint+tcost-sint)=atcost,y’=a(cost-cost+tsint)=atsint；2222∴弧长2π2’’S=a0tdt=2πa.x+y=at.2θθ2224θ(5)∵r’=asincos；r+r’=asin.3333π2θdθ=3πa.∴弧长S=3asin0332∵’，∴弧长2π221π2S=a1θdθ=πa14π++14π).(6)r=a02aln(22、求以下各曲线在指定点处的曲率：(1)xy=4,在点(2,2)；(2)y=lnx,在点(1,0)；(3)x=a(t-sint),y=a(1-cost)(a>0),在t=π的点；233在t=π(4)x=acost,y=asint(a>0),的点.48解：(1)∵y=4,y’=-42,y”=8x4=83,∴K=x33.xxxx1621x4当x=2时，K=1=2.224(2)∵y’=1,y”=-12,∴K=1x23.xx1212x当x=1时，K=1=-2.224(3)∵x’π=a(1-cost)tπ=a,x”π=asintπ=a;tt2t222y’π=asinttπ=a,y”π=acostπ=0；tt2t222πa2∴当t=时，K=32(2a2)2

2.4a(4)x’π=-3acos2tsintπ=-342a,x”π=3a(2costsin2t-cos3t)π=32a;tttty’π=3asin2tcostt4

322332π=a,y”t)π=a；4π=3a(2sintcost-sintttt∴当t=π时，K=9a24349a224

2.3a3、求a,b的值，使椭圆x=acost,y=bsint的周长等于正弦曲线y=sinx在0≤x≤2π上一段的长.2π2π解：当0a2sin2tb2cos2tdt=01cos2tdt时，a2sin2tb2cos2t=a2(b2-a2)cos2t=1cos2t，a=1,b=2;或a=2,b=1.4、设曲线由极坐标方程r=r(θ)给出，且二阶可导，证明它在点(r,θ)|r22r2-rr|.处的曲率为K=r3(r22)2证：化为参数方程：x=f(θ)cosθ,y=f(θ)sinθ,则x’=f’(θ)cosθ-f(θ)sinθ,x”=f”(θ)cosθ-f’(θ)sinθ-f’(θ)sinθ-f(θ)cosθ=[f”(θ)-f(θ)]cosθ-2f’(θ)sinθ.y’=f’(θ)sinθ+f(θ)cosθ=f’(θ)sinθ+f(θ)cosθ,y”=f”(θ)sinθ+f’(θ)cosθ+f’(θ)cosθ-f(θ)sinθ=[f”(θ)-f(θ)]sinθ+2f’(θ)cosθ.2222∴x’’(θ)cosθ-f(θ)sinθ]+[f’(θ)sinθ+f(θ)cosθ]+y’=[f2222=f’(θ)-2f’(θ)cosθf(θ)sinθ+2f’(θ)sinθf(θ)cosθ+f(θ)=r+r’.x’y”=[f’(θ)cosθ-f(θ)sinθ]{[f”(θ)-f(θ)]sinθ+2f’(θ)cosθ}22222=f’(θ)f”(θ)sinθcosθ-3f(θ)f’(θ)sinθcosθ+2r’cosθ-rr”sinθ+rsinθ;x”y’={[f”(θ)-f(θ)]cosθ-2f’(θ)sinθ}[f’(θ)sinθ+f(θ)cosθ]22222=f’(θ)f”(θ)sinθcosθ+rr”cosθ-3f(θ)f’(θ)sinθcosθ-rcosθ-2r’sinθ.x’y”-x”y’=r22+2r’-rr”.xy-xy|r22r2-rr|.∴K=3=(r23(x2y2)2r2)25、用上题公式，求心形线r=a(1+cosθ)(a>0)在θ=0处的曲率、曲率半径和曲率圆.解：∵rθθθ=-a,=0=2a,r’=0=0,r”=0∴Kθ=0=|r22r2-rr|2(r2r3θ=0=6a32)2(4a2)2

3.4a曲率半径：Rθ=0=1θ=0=