人教版高中数学必修2课件第二章：点、直线、平面之间的位置关系(共三套)

第二章§2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1平面1.掌握平面的表示法，点、直线与平面的位置关系；2.掌握有关平面的三个公理；3.会用符号表示图形中点、直线、平面之间的位置关系.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学

新知探究点点落实知识点一平面思考几何里的“平面”有边界吗？用什么图形表示平面？答案

没有.平行四边形.1.平面的概念(1)平面是一个不加定义，只需理解的原始概念.(2)立体几何里的平面是从呈平面形的物体中抽象出来的.如课桌面、黑板面、平静的水面等都给我们平面的局部形象.答案答案2.平面的画法常常把水平的平面画成一个__________，并且其锐角画成____，且横边长等于邻边长的___倍.一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用_____画出来.3.平面的表示方法(1)用希腊字母表示，如平面α，平面β，平面γ.(2)用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写字母表示，如平面ABCD.(3)用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点表示，如平面AC，平面BD.平行四边形2虚线45°知识点二点、直线、平面之间的关系思考直线和平面都是由点组成的，联系集合的观点，点和直线平面的位置关系，如何用符号来表示？直线和平面呢？答案点和直线，平面的位置关系可用数字符号“∈”或“∉”表示，直线和平面的位置关系，可用数学符号

“⊂”或“⊄”表示.答案点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达

文字语言表达图形语言表达符号语言表达点A在直线l上

点A在直线l外

点A在平面α内

A∈lA∉lA∈α答案答案点A在平面α外

直线l在平面α内

直线l在平面α外

平面α，β相交于l

A∉αl⊂αl⊄αα∩β＝l知识点三平面的基本性质思考1直线l与平面α有且仅有一个公共点P.直线l是否在平面α内？有两个公共点呢？答案前者不在，后者在.答案思考2

观察右图，你能得出什么结论？答案不共线的三点可以确定一个平面.思考3观察正方体ABCD­A1B1C1D1(如图所示)，平面ABCD与平面BCC1B1有且只有两个公共点A、B吗？答案不是，平面ABCD与平面BCC1B1相交于直线BC.公理文字语言图形语言符号语言作用公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α①确定直线在平面内的依据②判定点在平面内公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α①确定平面的依据②判定点线共面公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l①判定两平面相交的依据②判定点在直线上返回题型探究

重点难点个个击破类型一点、直线、平面之间的位置关系的符号表示例1

如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.解在(1)中，α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B.在(2)中，α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，a∩l＝P，b∩l＝P.反思与感悟解析答案反思与感悟借助集合中的符号来表示几何中点、线、面的关系就是几何中的符号语言，符号语言的运用简洁明了地表达了几何中的各元素的关系，比文字语言更适合于几何关系的表示，因此，要逐步适应并掌握.跟踪训练1若点M在直线a上，a在平面α内，则M，a，α之间的关系可记为(

)A.M∈a，a∈α B.M∈a，a⊂αC.M⊂a，a⊂α D.M⊂a，a∈α解析点与直线的关系为元素与集合的关系，能用“∈”，直线与平面的关系为集合间的关系，不能用“∈”.解析答案B类型二平面性质的应用例2已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1、l2、l3在同一平面内.解析答案证明方法一(纳入平面法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.又∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.∴直线l1、l2、l3在同一平面内.解析答案反思与感悟方法二(辅助平面法)∵l1∩l2＝A，∴l1、l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2、l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A、B、C既在平面α内，又在平面β内.∴平面α和β重合，即直线l1、l2、l3在同一平面内.反思与感悟反思与感悟证明点、线共面问题，一般先由部分点线确定一个平面，再证其他的点和线在所确定的平面内.跟踪训练2已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：a，b，c和l共面.证明如图，∵a∥b，∴a与b确定一个平面α.∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α.又∵A∈l，B∈l，∴l⊂α.∵b∥c，∴b与c确定一个平面β，同理l⊂β.∵平面α与β都包含l和b，且b∩l＝B，由公理2的推论知：经过两条相交直线有且只有一个平面，∴平面α与平面β重合，∴a，b，c和l共面.解析答案例3已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图所示.求证：P、Q、R三点共线.解析答案反思与感悟证明方法一∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由公理3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证Q、R也在平面ABC与平面α的交线上.∴P、Q、R三点共线.解析答案反思与感悟方法二∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC⊂平面APR.∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，∴Q∈PR，∴P、Q、R三点共线.反思与感悟反思与感悟证明多点共线的方法是利用公理3，只需说明这些点都是两个平面的公共点，则必在这两个面的交线上.也可考虑为点P、R确定一条直线，Q也在这条直线上，这也是证明共点、共线、共面问题的常用方法.跟踪训练3如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点.求证：CE、D1F、DA三线交于一点.解析答案返回返回证明如图，连接EF，D1C，A1B.∵E为AB的中点，F为AA1的中点，∴E，F，D1，C四点共面，∴D1F与CE相交于点P.又D1F⊂平面A1D1DA，CE⊂平面ABCD.∴P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点.又平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，根据公理3，可得P∈DA，即CE、D1F、DA相交于一点.123达标检测

45解析答案1.若A∈平面α，B∈平面α，C∈直线AB，则(

)A.C∈α B.C∉αC.AB⊄α D.AB∩α＝C解析因为A∈平面α，B∈平面α，所以AB⊂α.又因为C∈直线AB，所以C∈α.A12345解析答案2.下列说法正确的是(

)A.三点可以确定一个平面B.一条直线和一个点可以确定一个平面C.四边形是平面图形D.两条相交直线可以确定一个平面解析

A选项中，三点若在同一直线上就不能确定一个平面；B中，这一点在直线上不能确定一个平面；空间四边形ABCD就不是平面图形，故C错.D123453.把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上.答案(1)A∉α，a⊂α____.(2)α∩β＝a，P∉α且P∉β____.(3)a⊄α，a∩α＝A____.(4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O___.CDAB123454.空间两两相交的三条直线可以确定的平面数是________.1或3答案12345解析答案5.如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是___________.解析因为P∈AB，AB⊂平面ABC，所以P∈平面ABC.又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，所以P∈直线DE.P∈直线DE规律与方法1.三个公理的作用：公理1——判定直线在平面内的依据；公理2——判定点共面、线共面的依据；公理3——判定点共线、线共点的依据.2.证明几点共线的方法：先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点.或先由某两点作一直线，再证明其他点也在这条直线上.3.证明点线共面的方法：先由有关元素确定一个基本平面，再证其他的点(或线)在这个平面内；或先由部分点线确定平面，再由其他点线确定平面，然后证明这些平面重合.注意对诸如“两平行直线确定一个平面”等依据的证明、记忆与运用.4.证明几线共点的方法：先证两线共点，再证这个点在其他直线上，而“其他”直线往往归结为平面与平面的交线.返回第二章§2.1空间点、直线、平面之间的位置关系

2.1.2空间中直线与直线之间

的位置关系1.了解空间中两条直线的位置关系；2.理解异面直线的概念、画法；3.理解并掌握公理4及等角定理；4.掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学

新知探究点点落实知识点一空间两直线的位置关系思考在同一平面内，两条直线有几种位置关系？观察下面两个图形，你能找出既不平行又不相交的两条直线吗？答案平行与相交.教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线；六角螺母中直线AB与CD.答案(1)异面直线：不同在_________平面内的两条直线.(2)异面直线的画法(衬托平面法)如图(1)(2)所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托.(3)判断两直线为异面直线的方法：①定义法②两直线既不平行也不相交答案任何一个(4)空间两条直线的三种位置关系①从是否有公共点的角度来分：答案__________没有公共点有且仅有一个公共点——_____②从是否共面的角度来分：__________在同一平面内不同在任何一个平面内——_____平行异面平行相交相交异面知识点二平行公理(公理4)思考在平面内，直线a，b，c，若a∥b，b∥c则a∥c，该结论在空间中是否成立？答案成立1.文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行.答案知识点三等角定理思考观察图，在长方体ABCD-­A′B′C′D′中，∠ADC与∠A′D′C′，∠ADC与∠D′A′B′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？答案从图中可以看出，∠ADC＝∠A′D′C′，∠ADC＋∠D′A′B′＝180°.答案空间中如果两个角的两边分别对应_____，则这两个角_____或_____.平行相等互补知识点四异面直线所成的角思考在长方体A1B1C1D1-­ABCD中，BC1∥AD1，则“直线BC1与直线BC所成的角”，与“直线AD1与直线BC所成的角”是否相等？答案相等.答案答案定义前提两条异面直线a，b作法经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b结论我们把a′与b′所成的_____________叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)范围记异面直线a与b所成的角为θ，则____________.特殊情况当θ＝____时，a与b互相垂直，记作_____.锐角(或直角)0°<θ≤90°90°a⊥b返回题型探究

重点难点个个击破类型一异面直线的判断例1

如图，已知正方体ABCD—A′B′C′D′.哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？反思与感悟解由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线.解析答案反思与感悟判断两直线是否为异面直线，只需判断它们是否相交、平行.只要既不相交，也不平行，就是异面直线.跟踪训练1

(1)在四棱锥P­-ABCD中，各棱所在的直线互相异面的有___对.解析与AB异面的有侧棱PD和PC，同理，与底面的各条边异面的都有两条侧棱，故共有异面直线4×2＝8(对).(2)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对？分别是哪几对？解三对，分别为AB与CD，AB与GH，EF与GH.还原的正方体如图所示：解析答案8类型二平行公理和等角定理的应用例2

(1)在空间四边形ABCD中，如图所示，

则EH与FG的位置关系是________.解析连接BD，如图，解析答案平行∴EH∥BD，∴FG∥BD，∴EH∥FG.(2)在正方体ABCD-­A1B1C1D1中，M，M1分别棱AD和A1D1的中点.求证：∠BMC＝∠B1M1C1.证明在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，∴A1M1綊AM，∴四边形AMM1A1是平行四边形，∴A1A綊M1M.又∵A1A綊B1B，∴M1M綊B1B，∴四边形BB1M1M为平行四边形.∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1∥CM.由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角.∴∠BMC＝∠B1M1C1.解析答案反思与感悟反思与感悟1.空间两条直线平行的证明：(1)定义法：即证明两条直线在同一平面内且两直线没有公共点.(2)利用公理4找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行.2.“等角”定理的结论是相等或互补，在实际应用时，一般是借助于图形判断是相等，还是互补，还是两种情况都有可能.跟踪训练2

如图，已知在棱长为a的正方体ABCD-­A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点.求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；证明如图

，连接AC，在△ACD中，∵M，N分别是CD，AD的中点，∴MN是△ACD的中位线，解析答案由正方体的性质得：AC∥A1C1，AC＝A1C1.∴四边形MNA1C1是梯形.(2)∠DNM＝∠D1A1C1.证明

由(1)可知MN∥A1C1.又∵ND∥A1D1，∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补.而∠DNM与∠D1A1C1均为锐角，∴∠DNM＝∠D1A1C1.解析答案类型三两异面直线所成的角例3如图，已知长方体ABCD-­A1B1C1D1中，A1A＝AB，E、F分别是BD1和AD中点，求异面直线CD1，EF所成的角的大小.解析答案反思与感悟解如图，取CD1的中点G，连接EG，DG，∵E是BD1的中点，反思与感悟∴四边形EFDG是平行四边形，∴EF∥DG，∴∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角.又∵A1A＝AB，∴四边形ABB1A1，四边形CDD1C1都是正方形，且G为CD1的中点，∴DG⊥CD1，∴∠D1GD＝90°，∴异面直线CD1，EF所成的角为90°.反思与感悟求两条异面直线所成的角的一般步骤：(1)构造角：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线夹角的相关角.(2)计算角：求角度，常利用三角形.(3)确定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角.返回跟踪训练3如图所示，在正方体AC1中，E、F分别是A1B1、B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小.解析答案解方法一如图所示，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G.则OG∥B1D，EF∥A1C1.∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角.∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，∴GO⊥A1C1.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.解析答案返回方法二如图所示，连接A1D，取A1D的中点H，连接HE，于是∠HEF为所求异面直线DB1与EF所成的角或其补角.连接HF，设AA1＝1，取A1D1的中点I，连接HI，IF，则HI⊥IF.∴HF2＝EF2＋HE2.∴∠HEF＝90°.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.123达标检测

4解析答案1.若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是(

)A.异面或平行 B.异面或相交C.异面 D.相交、平行或异面解析异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明a、b异面，直线c的位置可如图所示.D1234解析答案2.下列四个结论中假命题的个数是(

)①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②平行于同一直线的两直线平行；③若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c；④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线.A.1 B.2 C.3 D.41234解析

①④均为假命题.①可举反例，如a、b、c三线两两垂直.④如图甲时，c、d与异面直线l1、l2交于四个点，此时c、d异面；当点A在直线l1上运动(其余三点不动)时，会出现点A与B重合的情形，如图乙所示，此时c、d共面相交.答案

B12343.分别在两个相交平面内的两条直线间的位置关系是(

)A.异面 B.平行C.相交 D.以上都有可能解析如图(1)所示，直线a与b互相平行；如图(2)所示，直线a与b相交；如图(3)所示，直线a与b异面.D解析答案1234解析答案4.如图，已知长方体ABCD—A′B′C′D′中，AA′＝2.(1)求异面直线BC和A′C′所成的角的大小.解因为BC∥B′C′，所以∠B′C′A′是异面直线A′C′与BC所成的角.在Rt△A′B′C′中，

B′C′＝2，所以∠B′C′A′＝45°.所以异面直线BC与A′C′所成的角为45°.1234解析答案(2)求异面直线AA′和BC′所成的角的大小.解因为AA′∥BB′，所以∠B′BC′是异面直线AA′和BC′所成的角.所以BC′＝4，所以∠B′BC′＝60°.所以异面直线AA′与BC′所成的角为60°.规律与方法1.判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义.很多情况下，定义就是一种常用的判定方法.2.在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角.将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径.需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为(0°，90°]，解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小.作异面直线所成的角.可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：①直接平移法(可利用图中已有的平行线)；②中位线平移法；③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线).返回第二章§2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.3空间中直线与平面之间的位

置关系2.1.4平面与平面之间的位置关系1.掌握直线与平面的三种位置关系，会判断直线与平面的位置关系；2.学会用图形语言、符号语言表示三种位置关系；3.掌握空间中平面与平面的位置关系.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学

新知探究点点落实知识点一直线和平面的位置关系思考如图所示，在长方体ABCD­-A1B1C1D1中线段BC1所在的直线与长方体的六个面所在的平面有几种位置关系？答案三种位置关系：(1)直线在平面内；(2)直线与平面相交；(3)直线与平面平行.答案位置关系直线在平面内直线在平面外直线与平面相交直线与平面平行公共点无数个1个0个符号表示a⊂αa∩α＝Aa∥α图形表示知识点二两个平面的位置关系思考观察前面问题中的长方体，平面A1C1与长方体的其余各个面，两两之间有几种位置关系？答案两种位置关系：两个平面相交或两个平面平行.答案位置关系图示表示法公共点个数两平面平行______0个两平面相交________________________α∥βα∩β＝l无数个点(共线)返回题型探究

重点难点个个击破类型一直线与平面的位置关系例1

下列五个命题中正确命题的个数是(

)①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；③如果直线a，b满足a∥α，b∥α，那么a∥b；④如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α；⑤如果a与平面α上的无数条直线平行，那么直线a必平行于平面α.A.0 B.1 C.2 D.3反思与感悟解析答案解析如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′在过BB′的平面ABB′A′内，故命题①不正确；AA′∥平面BCC′B′，BC⊂平面BCC′B′，但AA′不平行于BC，故命题②不正确；AA′∥平面BCC′B′，A′D′∥平面BCC′B′，但AA′与A′D′相交，所以③不正确；④中，假设b与α相交，因为a∥b，所以a与α相交，这与a∥α矛盾，故b∥α，即④正确；⑤显然不正确，故答案为B.反思与感悟答案

B反思与感悟空间中直线与平面只有三种位置关系：直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行.本题借助几何模型判断，通过特例排除错误命题.对于正确命题，根据线、面位置关系的定义或反证法进行判断，要注意多种可能情形.跟踪训练1以下命题(其中a，b表示直线，α表示平面)，①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b⊂α，则a∥b.其中正确命题的个数是(

)A.0 B.1 C.2 D.3解析答案解析如图所示在长方体ABCD-A′B′C′D′中，AB∥CD，AB⊂平面ABCD，但CD⊂平面ABCD，故①错误；A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′与B′C′相交，故②错误；AB∥A′B′，A′B′∥平面ABCD，但AB⊂平面ABCD，故③错误；A′B′∥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，但A′B′与BC异面，故④错误.A类型二平面与平面之间的位置关系例2

α、β是两个不重合的平面，下面说法中，正确的是(

)A.平面α内有两条直线a、b都与平面β平行，那么α∥βB.平面α内有无数条直线平行于平面β，那么α∥βC.若直线a与平面α和平面β都平行，那么α∥βD.平面α内所有的直线都与平面β平行，那么α∥β解析

A、B都不能保证α、β无公共点，如图1所示；C中当a∥α，a∥β时α与β可能相交，如图2所示；只有D说明α、β一定无公共点.解析答案D反思与感悟判断线线、线面、面面的位置关系，要牢牢地抓住其特征与定义、要有画图的意识，结合空间想象能力全方位、多角度地去考虑问题，作出判断.跟踪训练2两平面α、β平行，a⊂α，下列四个命题：①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；③直线a与β内任何一条直线都不垂直；④a与β无公共点.其中正确命题的个数是(

)A.1 B.2 C.3 D.4解析

①中a不能与β内的所有直线平行而是与无数条直线平行，有一些是异面；②正确；③中直线a与β内的无数条直线垂直；④根据定义a与β无公共点，正确.解析答案B返回123达标检测

45解析答案1.已知直线a在平面α外，则(

)A.a∥αB.直线a与平面α至少有一个公共点C.a∩α＝AD.直线a与平面α至多有一个公共点解析因已知直线a在平面α外，所以a与平面α的位置关系为平行或相交，因此断定a∥α或断定a与α相交都是错误的，但无论是平行还是相交，直线a与平面α至多有一个公共点是正确的，故选D.D12345解析答案2.下列命题中的真命题是(

)A.若点A∈α，点B∉α，则直线AB与平面α相交B.若a⊂α，b⊄α，则a与b必异面C.若点A∉α，点B∉α，则直线AB∥平面αD.若a∥α，b⊂α，则a∥b解析若a⊂α，b⊄α，则a与b平行或异面，故B错.对直线AB上两点A，B虽然都不在α内，但直线AB与平面α可能有公共点，故直线AB与平面α也可能相交，故C不正确.A123453.若平面α∥平面β，l⊂α，则l与β的位置关系是(

)A.l与β相交 B.l与β平行C.l在β内 D.无法判定解析

∵α∥β，∴α与β无公共点.∵l⊂α，∴l与β无公共点，∴l∥β.B解析答案12345解析答案4.若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线(

)A.平行 B.异面C.相交 D.平行或异面解析两个平面平行时，这两个平面没有公共点，分别在这两个平面内的直线也没有公共点，因此它们不是平行就是异面.D12345解析答案5.下列说法中正确的序号为____.①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；②若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线；③若α∥β，a⊂α，则a∥β；④若α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交.解析

①不符合直线与平面平行的定义；②中直线a与b没有交点，也有可能平行；③中直线a与平面β没有公共点，所以a∥β；④中直线a与平面β有可能平行.③规律与方法1.弄清直线与平面各种位置关系的特征，利用其定义作出判断，要有画图意识，并借助于空间想象能力进行细致的分析.2.长方体是一个特殊的图形，当点、线、面关系比较复杂时，可以寻找长方体作为载体，将它们置于其中，立体几何的直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映.因而人们给它以“百宝箱”之称.返回第二章§2.2直线、平面平行的判定及其性质2.2.1直线与平面平行的判定1.通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面平行的判定定理；2.掌握直线与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学

新知探究点点落实知识点直线与平面平行的判定定理思考1如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块木板绕AB转动，在转动过程中，AB的对边CD(不落在α内)和平面α有何位置关系？答案平行.答案思考2如图，平面α外的直线a平行于平面α内的直线b.这两条直线共面吗？直线a与平面α相交吗？答案由于直线a∥b，所以两条直线共面，直线a与平面α不相交.答案

表示定理图形文字符号直线与平面平行的判定定理平面外一条直线与_____________________，则该直线与此平面平行⇒a∥αa⊄αb⊂αa∥b此平面内一条直线平行返回题型探究

重点难点个个击破类型一直线与平面平行的判定定理例1如果两直线a∥b，且a∥α，则b与α的位置关系是(

)A.相交 B.b∥αC.b⊂α D.b∥α或b⊂α解析由a∥b，且a∥α，知b与α平行或b⊂α.反思与感悟D解析答案反思与感悟用判定定理判定直线a和平面α平行时，必须具备三个条件：(1)直线a在平面α外，即a⊄α；(2)直线b在平面α内，即b⊂α；(3)两直线a、b平行，即a∥b，这三个条件缺一不可.跟踪训练1若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则(

)A.α内的所有直线与l异面B.α内不存在与l平行的直线C.α内存在唯一的直线与l平行D.α内的直线与l都相交解析若在平面α内存在与直线l平行的直线，因l⊄α，故l∥α，这与题意矛盾.解析答案B类型二直线与平面平行的判定定理的应用例2已知公共边为AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且AP＝DQ(如图).求证：PQ∥平面CBE.解析答案反思与感悟证明方法一作PM∥AB交BE于点M，作QN∥AB交BC于点N，连接MN，如图，∵EA＝BD，AP＝DQ，∴EP＝BQ.又AB＝CD，∴PM綊QN，∴四边形PMNQ是平行四边形，∴PQ∥MN.又PQ⊄平面CBE，MN⊂平面CBE，∴PQ∥平面CBE.解析答案反思与感悟方法二如图所示，连接AQ并延长交BC的延长线于K，连接EK.∵AE＝BD，AP＝DQ，∴PE＝BQ，又AD∥BK，反思与感悟∴PQ∥EK，又PQ⊄平面BCE，EK⊂平面BCE，∴PQ∥平面BCE.反思与感悟利用直线和平面平行的判定定理证明线面平行的关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，常利用平行四边形、三角形中位线、平行公理等.跟踪训练2如图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E、F分别是AB、PD的中点.求证：AF∥平面PCE.证明如图，取PC的中点M，解析答案∴FM綊AE，即四边形AFME是平行四边形.∴AF∥ME，又∵AF⊄平面PCE，EM⊂平面PCE，∴AF∥平面PCE.返回123达标检测

4解析答案1.下列说法正确的是(

)A.直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥αB.若直线a在平面α外，则a∥αC.若直线a∩b＝∅，直线b⊂α，则a∥αD.若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线解析

A错误，直线l可以在平面α内；B错误，直线a在平面α外，包括平行和相交；C错误，a可以与平面α相交.D1234解析答案2.以下说法(其中a，b表示直线，α表示平面)正确的个数为____.①若a∥b，b⊂α，则a∥α；

②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b⊂α，则a∥b.解析

①a⊂α也可能成立；②a，b还有可能相交或异面；③a⊂α也可能成立；④a，b还有可能异面.012343.空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，判断EF与平面BCD的位置关系.解设由相交直线BC，CD所确定的平面为α，如图，连接BD，易见，EF不在平面α内，由于E、F分别为AB、AD的中点，所以EF∥BD.又BD在平面α内，所以EF∥α.解析答案1234解析答案4.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，BC的中点，G为DD1上一点，且D1G∶GD＝1∶2，AC∩BD＝O，求证：直线GO∥平面D1EF.证明如图，设EF∩BD＝H，连接D1H，在△DD1H中，又GO⊄平面D1EF，D1H⊂平面D1EF，∴GO∥平面D1EF.规律与方法1.判断或证明线面平行的常用方法(1)定义法：证明直线与平面无公共点(不易操作).(2)判定定理法：(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α).(3)排除法：证明直线与平面不相交，直线也不在平面内.2.证明线线平行的常用方法(1)利用三角形、梯形中位线的性质.(2)利用平行四边形的性质.(3)利用平行线分线段成比例定理.返回第二章§2.2直线、平面平行的判定及其性质2.2.2平面与平面平行的判定1.通过直观感知、操作确认，归纳出平面与平面平行的判定定理；2.掌握平面与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学

新知探究点点落实知识点平面与平面平行的判定定理思考1三角板的一条边所在平面与平面α平行，这个三角板所在平面与平面α平行吗？答案不一定.思考2三角板的两条边所在直线分别与平面α平行，这个三角板所在平面与平面α平行吗？答案平行.答案思考3如图，平面BCC1B1内有多少条直线与平面ABCD平行？这两个平面平行吗？答案无数条，不平行.答案

表示定理图形文字符号平面与平面平行的判定定理一个平面内的_________与另一个平面平行，则这两个平面平行⇒α∥βa⊂βb⊂β________a∥αb∥α两相交直线a∩b＝P返回题型探究

重点难点个个击破类型一面面平行的判定定理例1下列四个命题：(1)若平面α内的两条直线分别与平面β平行，则平面α与平面β平行；(2)若平面α内有无数条直线分别与平面β平行，则平面α与平面β平行；(3)平行于同一直线的两个平面平行；(4)两个平面分别经过两条平行直线，这两个平面平行；其中正确的个数是__.反思与感悟答案0反思与感悟在判定两平面是否平行时，一定要强调一个平面内的“两条相交直线”这个条件，线不在多，相交就行.跟踪训练1设直线l,m,平面α，β，下列条件能得出α∥β的有(

)①l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥β；②l⊂α，m⊂α，且l∥m，l∥β，m∥β；③l∥α，m∥β，且l∥m；④

l∩m＝P,l⊂α，m⊂α，且l∥β，

m∥β.A.1个 B.2个C.3个 D.0个解析

①错误，因为l,m不一定相交；②错误，一个平面内有两条平行直线平行于另一个平面，这两个平面可能相交；③错误，两个平面可能相交；④正确.解析答案A类型二平面与平面的判定定理的应用例2如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC、SC的中点，求证：平面EFG∥平面BDD1B1.证明如图，连接SD，SB，∵F、G分别是DC、SC的中点，∴FG∥SD.又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1，同理，EG∥平面BDD1B1.又∵EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1.解析答案反思与感悟反思与感悟判定两个平面平行，应遵循先找后作的原则，即先在一个面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线.跟踪训练2如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?解析答案返回解当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，连接PQ，易证四边形PQBA是平行四边形，∴QB∥PA.又∵AP⊂平面APO，QB⊄平面APO.∴QB∥平面APO.∵P、O分别为DD1、DB的中点，∴D1B∥PO.同理可得D1B∥平面PAO，又D1B∩QB＝B，∴平面D1BQ∥平面PAO.返回123达标检测

4解析答案1.平面α与平面β平行的条件可以是(

)A.α内的一条直线与β平行B.α内的两条直线与β平行C.α内的无数条直线与β平行D.α内的两条相交直线分别与β平行解析若两个平面α、β相交，设交线是l，则有α内的直线m与l平行，得到m与平面β平行，从而可得A是不正确的，而B中两条直线可能是平行于交线l的直线，也不能判定α与β平行，C中的无数条直线也可能是一组平行于交线l的直线，因此也不能判定α与β平行.由平面与平面平行的判定定理可得D项是正确的.D1234解析答案①分别在两个平面内的两直线平行；②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面；③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行；④如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.其中正确的命题是(

)A.①② B.②④ C.①③ D.②③2.下面四个命题：解析

①中的两条直线有可能平行，相交或异面，故①不正确；②正确；③中一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行，故③不正确，④正确.答案

B123412343.如图，已知在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是棱PA，PB，PC的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是_____.解析在△PAB中，因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB.又DE⊄平面ABC，因此DE∥平面ABC.同理可证EF∥平面ABC.又DE∩EF＝E，所以平面DEF∥平面ABC.平行解析答案1234解析答案4.如图，在正方体ABCD-­A1B1C1D1中，P为DD1中点.能否同时D1，B两点作平面α，使面α∥面PAC？证明你的结论.1234解能作出满足条件的平面α，其作法如下：如图，连接BD1，取AA1中点M，连D1M，则BD1与D1M所确定的平面即为满足条件的平面α.证明如下：连接BD交AC于O，连接PO，则PO∥D1B，故D1B∥平面PAC.又因为M为AA1中点，故D1M∥PA，从而D1M∥平面PAC.又因为D1M∩D1B＝D1，D1M⊂α，D1B⊂α，所以α∥面PAC.规律与方法证明面面平行的方法：(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行.返回第二章§2.2直线、平面平行的判定及其性质2.2.3直线与平面平行的性质1.掌握直线与平面平行的性质定理，明确由线面平行可推出线线平行；2.结合具体问题体会化归与转化的数学思想.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学

新知探究点点落实知识点直线与平面平行的性质思考1

如图，直线l∥平面α，直线a⊂平面α，直线l与直线a一定平行吗？为什么？答案不一定，因为还可能是异面直线.思考2如图，直线a∥平面α，直线a⊂平面β，平面α∩平面β＝直线b，满足以上条件的平面β有多少个？直线a，b有什么位置关系？答案无数个，a∥b.答案答案文字语言一条直线与一个平面_____，则过这条直线的任一平面与此平面的_____与该直线______符号语言a∥α，_____________⇒a∥b图形语言平行交线平行a⊂β，α∩β＝b返回题型探究

重点难点个个击破类型一线面平行的性质及应用例1如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体，求证：截面MNPQ是平行四边形.证明因为AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB⊂平面ABC，所以由线面平行的性质定理，知AB∥MN.同理AB∥PQ，所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.所以截面四边形MNPQ是平行四边形.反思与感悟解析答案反思与感悟利用线面平行的性质定理解题的步骤(1)确定(或寻找)一条直线平行于一个平面.(2)确定(或寻找)过这条直线且与这个平行平面相交的平面.(3)确定交线.(4)由性质定理得出结论.跟踪训练1如图，已知E，F分别是菱形ABCD边BC，CD的中点，EF与AC交于点O，点P在平面ABCD之外，M是线段PA上一动点，若PC∥平面MEF，试求PM∶MA的值.解如图，连接BD交AC于点O1，连接OM，因为PC∥平面MEF，平面PAC∩平面MEF＝OM，解析答案在菱形ABCD中，因为E，F分别是边BC，CD的中点，故PM∶MA＝1∶3.类型二线面平行的性质与判定的综合应用例2已知，a∥α，且a∥β，α∩β＝l，求证：a∥l.证明如图，过a作平面γ交α于b.因为a∥α，所以a∥b.过a作平面ε交平面β于c.因为a∥β，所以a∥c，所以b∥c.又b⊄β且c⊂β，所以b∥β.又平面α过b交β于l，所以b∥l.因为a∥b，所以a∥l.解析答案反思与感悟判定定理与性质定理常常交替使用，即先通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出线线平行，复杂的题目还可以继续推下去，我们可称它为平行链，如下：线线平行

线面平行

线线平行.在平面内作或找一直线经过直线作或找平面与平面的交线跟踪训练2如图所示，四面体ABCD被一平面所截，截面EFGH是一个矩形.求证：CD∥平面EFGH.证明

∵截面EFGH是矩形，∴EF∥GH.又GH⊂平面BCD，EF⊄平面BCD.∴EF∥平面BCD.而EF⊂平面ACD，平面ACD∩平面BCD＝CD，∴EF∥CD.又EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH，∴CD∥平面EFGH.解析答案返回123达标检测

4解析答案1.已知直线l∥平面α，l⊂平面β，α∩β＝m，则直线l，m的位置关系是(

)A.相交 B.平行

C.异面 D.相交或异面解析由直线与平面平行的性质定理知l∥m.B1234解析答案2.直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有(

)A.0条 B.1条C.0条或1条 D.无数条解析过直线a与交点作平面β，设平面β与α交于直线b，则a∥b，若所给n条直线中有1条是与b重合的，则此直线与直线a平行，若没有与b重合的，则与直线a平行的直线有0条.C12343.如图所示，直线a∥平面α，A∉α，并且a和A位于平面α两侧，点B，C∈a，AB，AC分别交平面α于点E，F，若BC＝4，CF＝5，AF＝3，则EF＝____.解析由于点A不在直线a上，则直线a和点A确定一个平面β，所以α∩β＝EF.因为a∥平面α，a⊂平面β，所以EF∥a.解析答案1234解析答案4.如图，AB是圆O的直径

，点C是圆O上异于A，B的点，P为平面ABC外一点，E，F分别是PA，PC的中点.记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明.解析直线l∥平面PAC，证明如下：因为E，F分别是PA，PC的中点，所以EF∥AC.又EF⊄平面ABC，且AC⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.而EF⊂平面BEF，且平面BEF∩平面ABC＝l，所以EF∥l.因为l⊄平面PAC，EF⊂平面PAC，所以l∥平面PAC.规律与方法1.在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质.2.要灵活应用线线平行、线面平行的相互联系、相互转化.在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化.转化思想是解决这类问题的最有效的方法.返回第二章§2.2直线、平面平行的判定及其性质2.2.4平面与平面平行的性质1.掌握平面与平面平行的性质，并会应用性质解决问题；2.知道直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的平行关系可以相互转化.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学

新知探究点点落实知识点平面与平面平行的性质观察长方体ABCD-­A1B1C1D1的两个面：平面ABCD及平面A1B1C1D1.答案思考1平面A1B1C1D1中的所有直线都平行于平面ABCD吗？答案是的.思考2若m⊂平面ABCD，n⊂平面A1B1C1D1，则m∥n吗？答案不一定，也可能异面.思考3过BC的平面交面A1B1C1D1于B1C1，B1C1与BC是什么关系？答案平行.答案文字语言如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线______符号语言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒_________图形语言平行a∥b返回类型一平面与平面平行的性质定理的应用例1平面α∥β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于S，且AS＝8，BS＝9，CD＝34，求CS.解析答案题型探究

重点难点个个击破反思与感悟解有两种情况：S位于α、β之间，和S位于α、β的同侧.(1)当S位于α、β之间时，如图，连接AC，BD，AB∩CD＝S.设AB，CD共面γ，γ∩α＝AC，γ∩β＝BD.因为α∥β，所以AC与BD无公共点，所以AC∥BD，解析答案当S位于α，β之间时，如上解答.反思与感悟(2)当S位于α，β同侧时，如图，AB∩CD＝S，设AB，CD共面γ，因为γ∩α＝AC，γ∩β＝BD，且α∥β，所以AC∥BD.所以△SAC∽△SBD，所以SC＝272.综上所述，SC＝16或272.反思与感悟反思与感悟应用平面与平面平行性质定理的基本步骤跟踪训练1如图所示，平面α∥平面β，△ABC，△A′B′C′分别在α，β内，线段AA′，BB′，CC′共点于O，O在平面α和平面β之间，若AB＝2，AC＝2，∠BAC＝60°，OA∶OA′＝3∶2，则△A′B′C′的面积为________.解析答案解析

AA′，BB′相交于O，所以AA′，BB′确定的平面与平面α，平面β的交线AB，A′B′，所以△ABC，△A′B′C′面积的比为9∶4，类型二平行关系的相互转化例2已知，平面α∥平面β，点A∈α，C∈α，点B∈β，D∈β，点E、F分别在线段AB、CD上，且AE∶EB＝CF∶FD.求证：EF∥β，EF∥α.解析答案反思与感悟证明

①当AB，CD在同一平面内时，如图，由α∥β，α∩平面ABDC＝AC，β∩平面ABDC＝BD，∴AC∥BD，∵AE∶EB＝CF∶FD，∴EF∥BD，又EF⊄β，BD⊂β，∴EF∥β.解析答案反思与感悟②当AB与CD异面时，如图，设平面ACD∩β＝l，在l上取一点H，使DH＝AC.∵α∥β，α∩平面ACDH＝AC，∴AC∥DH，∴四边形ACDH是平行四边形.在AH上取一点G，使AG∶GH＝CF∶FD，又∵AE∶EB＝CF∶FD，∴GF∥HD，EG∥BH，又EG∩GF＝G，BH∩HD＝H，∴平面EFG∥平面β.∵EF⊂平面EFG，∴EF∥β.综上①②知，EF∥β.∵α∥β，EF∥β且EF⊄α，∴EF∥α.反思与感悟反思与感悟线线平行、线面平行、面面平行是一个有机的整体，平行关系的判定定理、性质定理是转化平行关系的关键，其内在联系如下图所示：解题时，往往通过构造辅助平面将面面平行、线面平行转化为线线平行.跟踪训练2如图，在四棱柱ABCD-­A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝2CD，E，E1分别是棱AD，AA1上的点.设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1.解析答案返回证明因为F为AB的中点，所以AB＝2AF，又因为AB＝2CD，所以CD＝AF，因为AB∥CD，所以CD∥AF，所以四边形AFCD为平行四边形，所以FC∥AD，又FC⊄平面ADD1A1，AD⊂平面ADD1A1，所以FC∥平面ADD1A1，因为CC1∥DD1，CC1⊄平面ADD1A1，DD1⊂平面ADD1A1，所以CC1∥平面ADD1A1，

又FC∩CC1＝C，所以平面ADD1A1∥平面FCC1.又EE1⊂平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1.返回123达标检测

4解析答案1.已知平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，下面四种情形：①a∥b；②a⊥b；③a与b异面；④a与b相交.其中可能出现的情形有(

)A.1种 B.2种 C.3种 D.4种解析因为平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，所以直线a与直线b无公共点.当直线a与直线b共面时，a∥b；当直线a与直线b异面时，a与b所成的角大小可以是90°.综上知，①②③都有可能出现