立体几何中的向量方法(一)

第7讲立体几何中的向量方法（一）【2014年高考会这样考】1．通过线线、线面、面面关系考查空间向量的坐标运算．2．利用空间向量解决直线、平面的平行与垂直问题．3．利用空间向量求空间距离.考点梳理(1)数量积的坐标运算：设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则①a±b＝(a1±b1，a2±b2，a3±b3)；②λa＝(λa1，λa2，λa3)；③a·b＝_______________.(2)共线与垂直的坐标表示：设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b⇔a＝λb⇔_________，_________，_______________，a⊥b⇔a·b＝0⇔_________________(a，b均为非零向量)．1．空间向量的坐标表示及运算a1b1＋a2b2＋a3b3a1＝λb1a2＝λb2a3＝λb3(λ∈R)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0非零向量v1∥v2存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2v⊥uu1∥u2v1⊥v2v1·v2v∥uu1⊥u2u1·u2＝0一种思想用坐标表示向量是对空间向量大小和方向的量化：(1)以原点为起点的向量，其终点坐标即向量坐标；(2)向量坐标等于向量的终点坐标减去其起点坐标．得到向量坐标后，可通过向量的坐标运算解决平行、垂直等位置关系，计算空间成角和距离等问题．【助学·微博】1．(2013·西安模拟)与向量a＝(1，－3,2)平行的一个向量的坐标为 (

)．考点自测答案

CA．α∥β B．α⊥βC．α、β相交但不垂直

D．以上均不正确答案

C2．(人教A版教材习题改编)若平面α，β的法向量分别为n1＝(2，－3,5)，n2＝(－3,1，－4)，则 (

)．答案

C①若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2⇔α∥β；②若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n1·n2＝0；③若n是平面α的法向量，a与α共面，则n·a＝0；④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．答案①②③④4．下列命题中，所有正确命题的序号为________．5．如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCO－A′B′C′D′，A′C的中点E与AB的中点F的距离为________．【例1】►如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.考向一利用空间向量证明平行问题

法一是建立坐标系，通过坐标运算证明结论，法二和法三没有建系，直接通过向量的分解等运算进行证明，当然在法二和法三中也可通过建立坐标系，利用坐标运算来证明．【训练1】如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点．求证：PB∥平面EFG.证明∵平面PAD⊥平面ABCD且ABCD为正方形，∴AB、AP、AD两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A­xyz，则A(0,0,0)、B(2,0,0)、C(2,2,0)、D(0,2,0)、P(0,0,2)、E(0,0,1)、F(0,1,1)、G(1,2,0)．【例2】►(2012·天津)如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC＝45°，PA＝AD＝2，AC＝1. (1)证明：PC⊥AD； (2)求二面角A­PC­D的正弦值； (3)设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长．考向二利用空间向量证明垂直问题[审题视点]直接用向量法解决，即建系求点坐标、求向量坐标，用向量知识解决．

用向量法解答这类题要做到以下几点：①建系要恰当，建系前必须证明图形中有从同一点出发的三条两两垂直的直线，如果图中没有现成的，就需进行垂直转化；②求点的坐标及有关计算要准确无误，这就需要在平时加强训练；③步骤书写要规范有序．【训练2】如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD.考向三利用空间向量求空