习题一-质点运动学(答案)

院系:班级:习题一质点运动学姓名:班级个人序号:Bj表示)，那么在A船上的坐标系中，B船的速度(以m/s前单位)为[B(A)2i+2j. (B)3B—2i—2jBj表示)，那么在A船上的坐标系中，B船的速度(以m/s前单位)为[B(A)2i+2j. (B)3B—2i—2j.3B2i—2j.3.水平地面上放一物体A，B它与地面间的滑动摩擦系数为.现加一恒力F如图所示.欲使物体A有最大加速度,则恒力F与水平方向夹角sin9=u.(C)tg9=u.应满足cos9(D)ctg。4.一质点沿x轴运动的规律是x=12-41+5(SI制)。则前三秒内它的[D](A)(C)位移和路程都是3m；位移是-3m,路程是3m；(B)位移和路程都是-3m；(D)位移是-3m,路程是5m。解：dx八„-二2t-4dtt=3 t=0令d%=0,得t=2。即t=2时x取极值而返回。所以:dtS=S0—2+S2―3二|X0-2|+|%2-3|二|%|I+1% —xt=0 t=31-11—51+12—11-5t-2一选择题.某人骑自行车以速率v向西行驶，今有风以相同速率从北偏东30。方向吹来，试问人感到风从哪个方向吹来?[C](A)北偏东30°.⑻南偏东30°.(C)北偏西30°.(D)西偏南30°..在相对地面静止的坐标系内，A、B二船都以2m/s速率匀速行驶，A船沿x轴正向，B船沿y轴正向.今在A船上设置与静止坐标系方向相同的坐标系(x、y方向单位矢用B、细杆中点C的速度(A)(B)(C)(D)[D]大小为v/2，方向与细杆中点C的速度(A)(B)(C)(D)[D]大小为v/2，方向与B端运动方向相同；大小为v/2，方向与A端运动方向相同；大小为v/2,方向沿杆身方向；大小为v/(2cos0)，方向与水平方向成0角。解：对C点有位置：％C=1sin0,yC=lcos0；速度：v-1cos0—,Cx dtv-1sin0史；所以,Cy dt,d_dd0_v+v2=1 Cydt2cos0B5.一细直杆AB,竖直靠在墙壁上，B端沿水平方向以速度v滑离墙壁，则当细杆运动到图示位置时dt 2dt 21cos0)。(B点：%=21sin0,v=2lcos0—=v,B B dt00二、填空题.一物体作如图所示的斜抛运动，测得在轨道P点处速度大小为V,其方向与水平方向成30°角。则物体在P解：点的切向加速度，轨道的曲率半径P=2v2a=_gja=解：点的切向加速度，轨道的曲率半径P=2v2a=_gja=asin0=-gsin30=--g

T 2a=acos0=-gcos30。又因nv2,所以P=v22v2gcos30PP P PP. 一质点在xy平面内运动，其运动学方程为r=2ti+(2-12)j，其中r,t分别以米和秒为单位，则从t=1秒到t=3秒质点的位移为；t=2秒时质点的加速度为；质点的轨迹方程是。x2答案：44-8j；-2j；>=2-7解：解：Ar=r—r=4i—8j，(3) (1)

a=34+处j=-2j

dt2 dt2x2x=21,y=2—t2，消去时间弋得y=2 。41.一质点沿半径为R的圆周运动，运动学方程为s=vj-2bt2，其中v0，b都是常数，1时刻，质点的加速度矢量a=；加速度大小为b时，质点沿圆周运行的圈数为答案：幺qn-bT；二R 4兀Rb解：ds(1)v=—=v-bt

dt0d2s =-bdt2a=an+aT=(vo-bt)2n-bTnT R(2)(v-bt)2

―0 Rv 1 v v2As=s(t)—s(0)=v-0--b(-0-)2=o-，得0b 2 b 2b4兀Rb4.火车静止时，侧窗上雨滴轨迹向前倾斜0角。火车以某一速度匀速前进时0侧窗上雨滴轨迹向后倾斜0角，1火车加快以另一速度前进时，侧窗上雨滴轨迹向后倾斜0角，火车加速前后的速度之比为2 1vcos0tan0+sin0答案：一=—0V0、.00vcos0tan0+sin02 02 0tan0+tan0tan0+tan02dt00 dt00 2t 20 6t0解：设v为火车静止时观察到的雨滴的速度，已知其倾角为e（这也是雨滴相对地面的速度和倾角）。设火车以 0_____apo，根据伽利略变换： 0_____apo，根据伽利略变换：v=v-v已知其倾角为e，所以2Prr_PPv-v一v02行驶时，雨滴相对火车的速度为丫'，已知其倾角为e1同理，火车以v行驶时，雨滴相对火车的速度为小，2TOC\o"1-5"\h\zv'sine-v-vsine (1) ； v'cose-vcose (2)11o0 10 0v〃sine-v-vsine ⑶ ； v〃cose-vcose ⑷22o0 20 0v-vsine联立(1)(2)式得tge-t—0 +，v-v(cosetge+sine)1vcose 1 0 0 1 000联立(3)(4)式得tge-v2v0sin0，v-v(cosetge+sine)2vcose2 0 02 000所以，火车加速前后速度之比为v_cosetane+sine

vcosetane+sine2 02 0tane+tanetane+tane205.一质点沿半径为0.1m的圆周运动，其用角坐标表示的运动学方程为e=2+4t3，e的单位为rad，t的单位为$。问弋=2s时，质点的切向加速度；法向加速度；e等于rad时，质点的加速度和半径的夹角为45°。答案：a=4.8m/s2；230.4m/s2；2.67rad。de d2e解：(1)①--=1212，a=——=241；a=R32=144Rt4，a=心=24Rt。dt dt2 n 。t=2s时，a=230.4m/s2，a=4.8m/s2n T(2)设t'时，a和半径夹角为45°，此时a=a，即144Rt'4=24Rt'，得t'3=1/6nT8所以 e(t)=2+413=2.67rad--rad36.距河岸（看成直线）500m处有一艘静止的船，船上的探照灯以转速为n=1r/min转动.当光束与岸边成60°角时，光束沿岸边移动的速度v=.69.8m/s三计算题1.一质点由静止开始做直线运动，初始加速度为a，以后加速度均匀增加，每经过t秒增加a，求经过t秒后00质点的速度和位移。a 1a答案：v=at+o-12;%=a12+—0-13。02r 20 6Ta由题意可知，角速度和时间的关系为 a=a+it0T根据直线运动加速度定义dva--dt_fdv_ft _「av-v=dt=tadt=(a+—00dt0 0 0Tat)dt=a0t+芸t2at=0时刻，v=0所以v=at+—0-120 0 2T又v=—，所以%-%dt 0a1(at+0-12)dt=—a12a+—0-13vv=v—k%(3)0t=0时刻，％=0所以01a%——a12+—o-1320 6T2.一质点以初速度v作一维运动，所受阻力与其速率成正比，试求当质点速率为4(n>1)时，质点经过的距离0n与质点所能行经的总距离之比。答案：1——。n解：质点作一维运动。初始条件：t=0时，％=0，v=v。又由题意，质点的加速度可表示为0a=一kv式中，k为大于零的常数。解法一：由加速度的定义有dva=—=一kv

dt分离变量由初始条件t=分离变量由初始条件t=0时v=v，有0积分得所以dv=一kdtvIvdv=-3dtv0v 0v=ve—kt (1)0d%v=—=ve—ktdt0由初始条件t=0时X=0，积分得TOC\o"1-5"\h\zIt v\o"CurrentDocument"%=Jtve—ktdt=0-(1一e—kt)

00 k\o"CurrentDocument"上式可写为 x=x(1—e-k) (2)m其中，%=。为质点所能行经的最大距离。mk%联立式(1)和式(2)，得 %=-m(v—v)v00%v故 一=(1——)%vm0将v=4代入上式，得n%nm解法二：由加速度的定义，并作变量替换有dva=v—=一kv

d%dv=—kd%由初始条件-=0时v=v，有0Ivdv=—kI%d%

v0 0积分得

_vL1=-:°(1--)kn(4)又由v=dx及式（3）,有

dtd1 =dtv-k10由初始条件t=0时1=0，积分得v_vL1=-:°(1--)kn(4)又由v=dx及式（3）,有

dtd1 =dtv-k10由初始条件t=0时1=0，积分得v-k1ln-0 =-ktv0vx=-0-(1-e-kt)k可见,质点所能行经的最大距离为v=—0-

k故当v==时，由式（4）及上式得n3.在离水面高度为h的岸边，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸边s距离处，当人以速率v0匀速收绳时，试求船的速率和加速度大小。答案：解：建立如图所示的坐标系。根据题意可得d=-vdt0由上图可得％=-ll2-h20船的速率dxdl— —=.l (-v)=dt l2-h2dtl2-h2 0hh2+12(-v0)船的加速度大小dvh2dt(-v02)=-h2一(v02)(l2-h2)2x3h2s34.如图，一超音速歼击机在高空A时的水平速率为1940km/h,沿近似于圆弧的曲线俯冲到点B,其速率为2192km/h,所经历的时间为3s,设圆弧AB的半径约为3.5km,且飞机从A到B的俯冲过程可视为匀变速率圆周运动，若不计重力加速度的影响，求：（1）飞机在点B的加速度；（2）飞机由点A到点B所经历的路程。答案：（1）a=109m-s-，与法向成12.4角；（2）s=1722m。解：（1）因飞机作匀变速率运动，所以a和a为常量-v=atAt,dv Jvbdv=Jt-v=atAt,a,，tdt v0tBA已知v=1940km•h-i,v=2192km•h-iABv-vt=3s,r=3.5km，所以a=—b ^=23.3m's-2t

在点B的法向加速度v2a=—b=106m,s-2nr在点B的总加速度大小a与法向之间夹角在点B的法向加速度v2a=—b=106m,s-2nr在点B的总加速度大小a与法向之间夹角P=arctanat-=12.4an(2)在时间t内矢径丫所转过的角度为0=ot+1a12A2飞机经过的路程为 s=rO=yt+1at2=1722mA2t5.如图所示，一条宽度为d的小河，已知河水的流速随着离开河岸的距离成正比地增加，靠两岸边河水的流速为零，而在河中心处流速最大，为v0船到达河心之前的运动轨迹。现有一人以不变的划船速度u沿垂直于水流方向从岸边划船渡河试求小答案：％=今尸，即运动轨迹为抛物线。解：以河岸为参照系，建立如图所示的直角坐标。根据题意，初始条件为t=0时，％=y=0,v=0,v=u。00 0x 0y又根据题意，当y<d时，水流速度可表示为v=ky,2w且当y=4时，v=v。故k=-2V02w0 d即 v=巴ywd对小船有=udx=uv=—=v，dtxdtwdt利用前面各式及初始条件，对上两式分别积分，得y=u