相似三角形同步辅导试题答案

第1页共26页相似三角形同步辅导1学海导航相似图形基础知识主要包括：1.比例的基本性质2.相似多边形概念对应角相等，且对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形．三角对应相等，且三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形．3、三角形相似的条件两个三角形只要满足：两边对应成比例，且夹角相等；三边对应成比例；两角对应相等；有一直角边与斜边对应成比例.这四项中的一项，这两个三角形就相似。4.相似三角形性质相似三角的对应角相等，对应边成比例．对应角平分线，高，中线，周长的比都等于相似比，对应面积的比等于相似比的平方。图形的相似错例分析图形的相似是初中几何的重点内容之一。许多同学由于对图形的相似理解不透彻,在解决问题时出错较多。为帮助同学们在解题时减少失误,本文就易错情况做简要例析。1.如图，外框，保证外框的边与原图形的对应边平，行则外框与原图一定相似的A、1个B、2个C、3个D、4个在矩形、锐角三角形、正五边形、直角三角形的外边加一个宽度一样的有（）错解：选D左图中的两个不符合相似的条件；正解：矩形不相似，因为其对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相因为其三个角均相等，三均对应成比例，符合相似因为它们的边所有元素都对应成比例，符合相似的等，锐角三角形和直角三角形相似，条边的条件；两个正五边形相似，长、对应角等条第2页共26页件．故选C．点拨：边数相同、各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形是相似多边形．2.A、2、B-1、C2或-1、D不存在错解：正解：点拨：应3.已知数字a=4，b=16，线段A、10B、8C、-8D.D、±8c是a、b的比例中项，=ab=64，c=±8，c是a、b的比例中项，=ab=64，c=±8，c是a、b的比例中项，那么c等于（）错解：∵线段∴c2解得正解：∵线段∴c2解得又∵线段是正数，∴c=8．故选B．4：错解：正在某幅地图上，AB两地距离8.5cm，实际距离为170km，则比例尺为（）A、1：20B、1：20000C、1：200000D、1：2000000170KM=17000000CM，∴比例尺=8.5：17000000=1：2000000．解：∵故选D．点拨：5.如图，在梯形ABCD中，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，如果直线AB上的点P使得以P、A、D为顶点的三角形与以P、第3页共26页B、C为顶点的三角形相似，那么这样的点P有几个？错解：这样的点P有4个。正点拨：分三种情况进行分析即可：①若点P在线段AB上；②若点P在线段BA的延长线上；P在线段AB的延长线上．6.如图，P为Rt△ABC斜边AB上任意一点（除③若点A、B外），过点P作直线截△ABC，使截得的新三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线的作法共有（）A、1种B、2种C、3种D、4种错解：过点P可作PE∥BC或PE∥AC，可得相似三角形。选B解：过点P可作PE∥BC或PE∥AC，可得相似三角形；过点P还可作PE⊥AB，可得：∠EPA=∠C=90°，∠A=∠A∴△APE∽△ACB；∴共有3条．选：C点拨：在一个问题有多种情况时，分类小心有遗漏。7.如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于O，试问：△AOB和△DOC是否相似？第4页共26页错解：△AOB∽△DOC.理由如下：在△AOB和△DOC中，∵AD∥BC，∴∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB∽△DOC，正解：要得到△AOB∽△DOC，如果由两边对应成比例且夹角相等，则应得到；而这位同学根据平行线型得到△AOD∽△COB，则.所以该学生的解答是不正确的。。以上两个比例式是不一样的相似三角形要点精析相似三角形是整个几何学习的基础，也是中考的重点内容之一．下面就这方面的典型例题进行剖析，供同学们学习参考．例1.如图所示，△PQR是等边三角形，若∠APB=120°，AQ=4，RB=9，求QR的长。分析：求线段的长，只要把线段放入比例式中即可。有△APQ与△PBR相似可行。解：∵△PQR是正三角形∴∠QPR=60°又∠APB=120°∴∠APQ+∠BPR=60°但可证∠A+∠APQ=60°∴∠A=∠BPR同理∠APQ=∠B∴△QAP∽△RPB∴，∴∴PR²QP=36∵PR=QR，∴QR=6例2．如图，在中，DE//BC，，求。解：∵∴∵DE//BC∴△ADE∽△ABC∴∴∴点拨：相似三角形面积的比等于相似比的平方很常用，应注意体会。第5页共26页例3.如图，一油桶内有油，一根木棒长1.2米，从桶盖小口斜插入桶内，一端到底，另一端正好到小口，抽出棒，量得棒上浸油部分长0.45米，求桶内油的高度。分析：分别以木棒的长和浸油部分和斜边可构造两个相似的直角三角形，利用它们的边成比例可列方程求解。解：如图，设木棒为AB，油桶壁为AC，底面直径BC浸油部分为BE，作ED⊥BC于D，因为DE∥AC，所以△BDE～△BCA，所以令油高为x米，（即DE=x）则，x=0.375所以，桶内油的高度为0.375米.例4.如图，点F在AD上的什么位置时，△AEF∽△CDF。分析：已知△AEF与△CDF中，∠A=∠D，所以E是正方形ABCD的边AB上一点，且AE：AB=1：4，F为边AD上一点，问：当只需证明夹这两个角的边对应成比例即可。但这个对应关系并不唯一。解：不妨设正方形的边长为1，AF=则FD=∵△AEF与∠CDF中，∠A=∠D，∴若△AEF∽△CDF，则或成立，即或成立。解之得或∴当AF：FD=1：4或AF：FD=1：1时，△AEF∽△CDF典例剖析△∠BAC2，ABC是一块等腰三角形的废铁料．已知是锐角，量得底边的长BC如图60cmBC40cm为，边上的高为，用它30cm截一一块边长为的矩形．（要求：使矩形的一边与ABC的一边重合，而矩形的另两个顶点分别在的△△ABC另两边上）（1）问一共有几种不同的截法，请在样图中30cm的那条边．（2）试求出以上你所画的各种截法中，所画出所有截法的示意图，标明并在图中截得的矩形的另一边长．第6页共26页析解：此题不仅考查相似三角形知识的拓展，而且开放性的设计又考查了分类讨论思想及建模能力，极富有操作性及思想性．30cm（1）因矩形一边长，另一边长不确定，故矩形截法有四种（如图所示），其中PQ30cm．（2）①在ABC中，作△AFBC，垂足为，F易得ABACBF2AF230240250cm．②作CHAB，垂足为，由CH48cmHAFBCCHAB，易得为，由相似三角形的性质，易求得截法一中PN20cm，截法二中PN19.2cm，截法三中PN15cm，截法四中PN18.75cm．数学广角小胖和小瘦去公园玩标准的跷跷板（OA=OB）游戏，两同学越玩越开心，小胖对小瘦说：“真可惜！我只能将你最高翘到1米高，如都再伸长相同的一段长那么我就能翘到1米25，甚至更高！”果我俩各边的跷跷板度，你认为小胖的话对吗？请你作图分析说明：解：小胖的话不对。小胖说“真可惜！我现在只能将你最高翘到1米高”，情形如图10-1所示，OP是标准BC是地面。跷跷板支架的高度，AC是跷跷板一端能翘到的最高高度1米，图10-1∵OP⊥BC，AC⊥BC，∠OBP＝∠ABC∴△OBP∽△ABC∴BOOPBAAC第7页共26页又∵此跷跷板是标准跷跷板，BO＝OABO1BA2，而AC＝1米，∴得OP＝0.5米若将两端同时都再伸长相同的长度，假设为a米（a＞0）如图10-2所示，BD＝a米，AE＝a米图10-2∵BOOA，∴BOaOAa即DO＝OEDO1∴DE2同理可得△DOP∽△DEF∴DOOPDEEF，由OP＝0.5米，得EF＝1米综上所述，跷跷板两边同时都再伸长相同的一段长度，跷跷板能翘到的最高高度始终为支架OP高度的两倍，所以不可能翘得更高。图形的相似同步辅导2测试题测试题说明：本测试题重点考察位似图形，三角形的中位线和图形与坐标。重视能力的考察和易错点的检测，同学们做题可要细心啊！选择题1.下列说法错误的是（）A、位似图形一定是相似图形B、相似图形不一定是位似图形C、位似图形上任一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比D、位似图形中每组对应点所在的直线必互相平行12.（2011广东东莞）将左下图中的箭头缩小到原来的，得到的图形是（）2第8页共26页3.（2011浙江省嘉兴）如图，边长为4的等边△ABC中，DE为中位线，则四边形BCED的面积为（）234363（A）（B）33（C）（D）AEDBC（第3题）4.如图，已知棋子“车”的坐标为（－2，3），棋子“马”的坐标为（1，3），则棋子）A.（3，2）B.（3，1）C.（2，2）D.（－2，2）“炮”的坐标为（5.如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形1OABC面积的，那么点B′的坐标是（）4A．（3，2）B．（－2，－3）C．（2，3）或（－2，－3）D．（3，2）或（－3，－2）6.（2011山东东营）如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(-1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是（）A．1aB．1(a1)22C．1(a1)D．1(a3)22第9页共26页yA1CB-1O-11xB′A′第5题填空题1．把一个正多边形放大到原来的2.5倍，则原图与新图的相似比为_____．2.如果两个位似图形的对应线段长分别为3cm和5cm，且较小图形周长为30cm，则较大图形周长为.△OCD△OAB3．如图，DC∥AB，OA=2OC，，则与的位似比是_____．ADFDCEOBCA第3题B第4题4．如图，在ABCD中，F是AD延长线上一点，连接BF交DC于点E，则图中的位似三角形共有对5．小明从他前面20米，小明眼睛离地面1.5米，则旗杆的高度为．6.若原图形上的点的坐标为（-2，3），以原点O为位似中心，原图形与像的位似比为2米远的一小块积水中看到了旗杆顶端的倒影，如果旗杆底端到积水的距离为3，则像上的对应点的坐标为．解答题1.如图，在6³8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均在小正方形的顶点.（1）以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1︰2；（2）连接（1）中的AA′,求四边形AA′C′C的周长.（结果保留根号）A..AA'ooBCB'C'CB第10页共26页2.如图，△ABC中，AD、BE是高．CDAC（1）求证：CEBC（2）连接DE，那么△CDE与△CAB是位似图形吗？3．如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上．(1)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；(2)P1，P2，P3，P4，P5，D，F是△DEF边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似(要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连结相应线段，不必说明理由)．BDP1P5P2AFP3P4EC4.如图，△ABC中，DC=AC，D为BC的中点，E为CD的中点。求证：AB=2AEA5.在平面直角坐标系中，四边形ABCD各顶点坐标分别为A（0，3），B（2，4），C（4，BDEC3），（1）求图中四边形ABCD的面积。（2）将四边形沿AC所在直线翻折，（3）改变四边形的一个顶点的坐标，使四边形ABCD变成菱形，说出两种不同的改法。D（2，1）。求四边形各顶点坐标。图形的相似同步辅导2测试题答案选择题答案1.D2.A3.B4.A5.D6.D第11页共26页填空题答案221）或（，-1）31.2︰52.50cm3.1︰24.3对5.15米6.（，3解答题答案1.答案（1）如下图..A2（2）四边形AA′C′C的周长=4+6A'oBCB'C'2.解：（∴∠ADC=∠BEC=90°，C=∠C，1）证明：∵AD、BE是高，∵∠∴△ADC∽△BEC，CDAC∴CEBC（2）解：如图，△CDE与△CAB不是位似图形．因为DE、AB的交点不为点A．3.解：(1)△ABC和△DEF相似．根据勾股定理，得AB25，AC5，BC=5；DE42，DF22，EF210．ABACBC5，∵DEDFEF22∴△ABC∽△DEF．(2)答案不唯一，下面6个三角形中的任意2个均可．BDP1P5P2AFP3P4EC(第22题)△P2P5D，△P4P5F，△P2P4D，△PPD，△PPP，△PFD．4524514.证明：取AB的中点F，连结DF。∵D为BC中点∴FD//AC且∴FD=DE∴∠CAD=∠ADC=∠FDA又AD=ADAEFBDC第12页共26页∴，即AB=2AE5.（1）S=6四边形ABCD（2）A（0，3），B（2，2），C（4，3），D（2，5）（3）一种方法为使B点坐标变为（2，5），另一种方法为使D点坐标变为（2，2）。相似形同步辅导1测试题测试题说明：本测试题重点考察相似三角形的性质和判定，相对于教材有一定的拔高，重视能力的考察和易错点的检测，不要太在意分数，应关注我们该掌握的是否掌握了，能力是否增强了！选择题1.如图，BC∥FG∥ED若每两个三角形相似，构成一组相似三角形，那么图中相似的三角形的组数是（）A．1B．2C．3D．4EDAFGBC2.在坐标系中，已知A（-3，0），B（0，-4），C（0，1），过点C作直线L交x轴于点D，使得以点D，C，O为顶点的三角形与△AOB相似，这样的直线一共可以作出（）A、6条B、3条C、4条D、5条3.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（）A、只有1个B、可以有2个C、有2个以上，但有限D、有无数个4.如图所，示D为AB边上一点，AD∶DB=3∶4，DE∥AC交BC于点E，则S∶S等于（）△BDE△AECA．16∶21B．3∶7C．4∶7D．4∶3ADBCE5.平行四边形ABCD中，E在AD上，且AE=2ED，连接AC、BE交于O，则△AOE、△EOC、△BOC、平行四边形ABCD的面积比为（）A、4：9：9：36B、4：6：9：30C、16：36：36：137D、8：12：18：55第13页共26页6.A、第，，123象限B、第，23象限C、第，，234象限D、第，24象限填空题A1.如图，在直角△ABC中，∠BAC=90°CE平分∠ACB，AD⊥BC于D，AD与CE相交于点F，则△CDF∽△，△AFC∽△．EFBCD2.如图，△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，N是AB的中点，MN⊥BC于M，则可识别△BMN∽△，相似比为．ANBMC3.如图，△ABC中，DE∥FG∥BC，且S=S=S，△ADE梯形DFGE梯形FBCG则DE∶FG∶BC=4.在某幅地图上，AB两地距离8.5cm，实际距离为170km，则比例尺为5.如图，在矩形ABEF中，四边形ABCH、四边形CDGH和四边形DEFG都是正方形，图中的△ACD与△ECA是相似的，理由是：AHGFBECDC6.如图，锐角三角形ABC的高CD和高BE相交于O，则与△DOB相似的三角形个数是EO解答题ABD1.在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图4³4的格中，△ABC是一个格点三角形．在右图中，请你画一个格点三角形，使它与△ABC相似．（相似比不为1）10分）第14页共26页DA2.已知如图，正方形ABCD的边长为CD边的中点，点Q在线段BC上，设BQ＝k，k，使得Q、C、P为顶点的1，P是是否三角存在，P存在这样的实数P形与△ADP相似，若存在，求出k的值；若不请说明理由。QBC3.如图，在△ABC中，∠BAC＝900，AD⊥BC于D，E为AC中点，DE交BA的延长线于F。求证：AB∶AC＝BF∶DF。AEBDCF例2变式图14.如图将一个的木板分割成4块，拼成两个小三角形，使它们都与原三角形相似，若DE∥BC，则还应满足什么条件？并简述理由．第15页共26页5.（2011•南京）如图①，PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称（1）如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC＞∠A，CD是AB上的中B作BE丄CD，垂足为E．试说明E是△ABC的自相似点；（2）在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△P为△ABC的自相似点．线，过点；②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．相似三角形同步附带1试题答案选择题答案1.C2.C3.B3:4.A5.B6.B6.填空题答案231.CAE，BEC2.BAC，1∶43.１∶∶4.解：∵170KM=17000000CM，∴比例尺=8.5：17000000=1：2000000．第16页共26页ACCE5.△ACD与△ECA三边对应成比例或,且∠ACD=∠DCA.6.3CDAC解答题答案1.2.略解：假设存在满足条件的实数k，则在正方形ABCD中，∠D＝∠C＝90Rt△ADP∽Rt△QCP或Rt△ADP∽Rt△PCQ得：，由0ADDPADDP或QCCPPCCQAD13k0或k由此解得：CQ＝1或CQ＝，从而44P3故当k0或k时，△ADP与△QCP。4QBC3.证明：∵AB⊥AC，AD⊥BC∴Rt△ABD∽Rt△CAD，∠DAC＝∠B∴ABBDACAD………①又∵AD⊥BC，E为AC中点∴DE＝AE，∠DAE＝∠ADE∴∠B＝∠ADEAE又∵∠F＝∠FBDC∴△FAD∽△FDB∴BDBFADDF………②F例2变式图1由①②得ABBFACDF4.示第17页共26页5.解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB上的中线，1∴CD=AB，2∴CD=BD，∴∠BCE=∠ABC，∵BE⊥CD，∴∠BEC=90°，∴∠BEC=∠ACB，∴△BCE∽△ACB，∴E是△ABC的自相似点；实验操作专题测试题选择题例3.如图，小亮拿出一张矩形纸图①，沿虚线对折一次得图②，再将对角两顶点重合折叠得图③，按图④沿折痕中点与重合顶点的连线剪开，得到三个图形，这三个图形分别是（）A.都是等腰梯形B.都是等边三角形第18页共26页C.两个直角三角形，一个等腰三角形D.两个直角三角形，一个等腰梯形①②③④分析：类似于上例，裁剪之后，将最后折叠成的图形按原来对折相反的方向展开，折痕（点划线）所在直线即为对称轴，则裁剪线（虚线）会对称地出现在折痕的另一侧，见图：解答：选C.说明：本例分析起来感觉到困难，那么实际动手操作一下是个好主意.某牙膏上部圆的直径为3cm，下部底边长为4.8cm.现要制作长方体牙膏.以下列数据作正方形例9.如图所示，盒，牙膏盒的上面是正方形边长制作牙膏盒，既节省材料又方便取放的是（2取1.4）（）.3cm4.8cmA.2.4cmB.3cmC2－.33.－6c6mD.4.8cm分析与解答：盒子要能装下牙膏，以可建立如下数学模型，满足的条件如图所示，牙膏上部的圆与正方形各边至少内切，正方形的边长大于或等于3cm，而且对角线应该大于或等于4.8cm.因此根据勾股定理，当正方形边长取3cm时，计算对角线长度约为4.2cm，无法装下；当正方形边长取3.6cm时，对角线的长度约为5.1cm，为了节省材料，选C.2－3例1.如图，将一张正方形纸片经两次对折，并剪出一个菱形小洞后展开铺平，得到的图形是（）第19页共26页分析：裁剪之后，将最后折叠成的小正方形按原来对折相反的方向展开，折痕（虚线）所在直线即为对称轴，则剪出的菱形小洞会对称地出现在折痕的另一侧，见图：解答：选D.说明：将图形折叠后一部分与另一部分重合，则这两部分关于折痕所在直线成轴对称.在图案设计中，经常使用这个性质使图形中一部分出现的某个图案也对称地出现在其他部分.如图，将正方形纸片由下往上对折，再由左向右对折，称为完成一次操作．按上述规则完成五次操作以后，剪去所得小正方形的左下角．问：当展开这张正方形纸片后，一共有多少个小洞孔？【解析】一次操作后，层数由1变为4，若剪去所得小正方形左下角，展开后只有1个小洞孔，恰是大正方形的中心．连续两次操作后，折纸层数为42，剪去所得小正方形421414(个)小洞孔．连续三次操作后，折左下角，展开后在大正方形上留有纸层数为43，剪去所得小正方形左下角，展开后大正方形留有4314216(个)45，剪去所得小正小洞孔．按上述规律不难断定：连续五次操作后，折纸层数为方形左下角，展开后大正方形纸片上共留有45144256(个)小洞孔．2.向电脑输入汉字，每个页面最多可输入1677个五号字．现在页面中有1个五号字，将它复制后粘贴到该面上，就得到2个字；再将这2个字复制后粘贴到该页面，就得到4个字．每次复制和粘为贴1次操作，要使整个页面都排满五号字，至少需要操作次．【解析】每次操作页面上的字数就增加一倍，第一次操作后页面上有2个字，第2次操作后238(个)字，…，则第10次操作页面上有224(个)字，第3次操作后页面上有后页面上有少需要操作210个字，由于11次．210102416772112048，因此使整个页面排满，至2.已知长方形纸片ABCD，AB=1．以点A所在直线为折痕折叠纸片，使点B落在AD上，折痕与BC交于点E；再以点E所在直线为折痕折叠纸片，使点A落在射线BC上，若折痕恰好经过点D，则长方形纸片ABCD的面积约为（）A、1.4B、1.5C、1.6D、1.7解：如图，∵以点A所在直线为折痕折叠纸片，使点B落在AD上，折痕与BC交于点E，∴AB=AB′，∴四边形ABEB′为正方形，∴AE=2AB=2，又∵以点E所在直线为折痕折叠纸片，使点A落在射线BC上，折痕恰好经过点D，∴∠AED=∠DEA′，第20页共26页而∠DEA′=∠ADE，∴∠AED=∠ADE，∴AD=AE=2，∴矩形纸片ABCD的面积2=1³≈1.4．故选A．3.（2011•黔南州）将一张平行四边形的纸片折一次，使得折痕平分这个平行四边形的面积．则这样的折纸方法共有（）A、1种B、2种C、4种D、无数种解：因为平行四边形是中心对称图形，任意一条过平行四边形对角线交点的直线都平分四边形的面积，则这样的折纸方法共有无数种．故选D．4.如果一个三角形能够分成两个与原三角形都相似的三角形，我们把这样的三角形称为孪生三角形，那么孪生三角形是（）A、不存在B、等腰三角形C、直角三角形D、等腰三角形或直角三角形解：∵△ABD∽△CBD，∴∠ADB=∠BDC又∵∠ADB+∠BDC=180°，∴∠ADB=∠BDC=12³180°=90°，∵△ADB∽△ABC，ABC△∽△BDC，∴∠ABC=∠ADB=∠BDC=90°，∴△ABC为直角三角形．故选C．5.如图，ABCD是一张矩形纸片，点O为矩形对角线的交点．直线MN经过点O交AD于M，交BC于N．操作：先沿直线MN剪开，并将直角梯形MNCD绕点O旋转度后（填入一个你认为正确的序号：①90°；②180°；③270°；④360°），恰与直角梯形NMAB完全重合；再将重合后的直角梯形MNCD以直线MN为轴翻转180°后所得到的图形是下列中的．（填写正确图形的代号）解：观察图形可知，直角梯形MNCD与直角梯形NMAB关于O点中心对称，故绕O点旋转180°可重合；第21页共26页根据轴对称的画法，得到直角梯形MNCD以直线MN为轴翻转180°后所得到的图形为D．故本题答案为：②，D．6.如图，等腰直角△ABC，BC=9，从中裁剪正方形DEFG，其中边DE落在斜边BC上，点F、G分别在直角边AC、AB上．按照同样的方式在余下的三个等腰直角三角形中继续裁剪，如此一直操作下去，若要求裁剪出的正方形的边长大于1，那么共可剪出几个正方形？（）A、2B、3C、4D、5解：如图所示余下的三个等腰直角三角形可知BD=DG=EF=EC=DE=3，继续裁剪刚好还可以裁剪2个．共3个正方形．故选B．填空题3.有依次排列的3个数：2，0，5，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：2，2，0，5，5，这称为第一次2操作，第二次同样的操作后也可产生一个新数串：2，4，，2，0，5，5，0，5．继续依次操作下去．问：从新数串2，0，5开始操作，第100次后产生的那个新数串的所有数之和是多少？【析】解观察操作次数：开始第一次第二次第三次…总和：7易发现每操作一次总和增加10133．因此操作16…100次后产生的新数串所有数之和为73100307．4.将两个不同的自然数中较大数换成这两个数之差，称为一次操作．如对18和42可连续进行这样的操作，则有：18，42→18，24→18，6→12，6→6，．直到两数相同为止．试给出和最小的两个四位数，按照以上操作，最后得到的相同的数是15．这两个四位与．数是【解析】由题意，我们可以多给几组数按题目所给操作方法进行操作，从中找出规律．例如：136，63→…→1，136，27→…→9，984，36→…→12，12考察操作后所得结果，不难发现每次所得的最终结果是开始两数的最大公约数，因此我们只需找到两个尽量小的四位数，他们都是15的倍数，可得1005和1020．例2.汪老师要装修自己带阁楼的新居（下图为新居的剖面图），在建造客厅到阁楼的楼梯AC时，为避免上楼时墙角F碰头，设计墙角F到楼梯的竖直距离FG为1.75m.他量得客厅的高AB=2.8m，楼梯洞口宽AF=2m，阁楼阳台宽EF=3m，请你帮汪老师解决下列问题：第22页共26页阁楼阳台2m3mEAF2.8m客厅BCD⑴要使墙角F到楼梯的竖直距离FG为1.75m，楼梯底端C到墙角D的距离CD是多少米？⑵在⑴的条件下，为保证上楼时的舒适感，楼梯的每个台阶要小于20cm，每个台阶宽要大于20cm，问汪老师应该将楼梯建几个台阶？为什么？分析与解答：⑴根据题意有AF∥BC，∴∠ACB=∠GAF，又∠ABC=∠AFG=90，BCAB∴△ABC∽△GFA.∴，AFFG得BC=3.2（m），CD=（2+3）3.2=1.8（m）.⑵设楼梯应建n个台阶，则0.2n2.8,0.2n3.2.解得，14<n<16.故楼梯应建15个台阶.例7如图，已知四边形纸片ABCD，现需将该纸片剪拼成一个与它面积相等的平行四边形纸片.如果限定裁剪线最多有两条，能否做到：________________（用“能”或“不能”填空）.若填“能”，请确定裁剪线的位置，并说明拼接方法；若填“不能”，请简要说明理由.分析：两条裁剪线最多能把四边形ABCD分成4部分，由于四边形ABCD的内角和为360°，因此如果将这四部分重排，使A、B、C、D四个顶点重合于某个点时，刚好能够在该点处实现平面镶嵌.在此基础上思考如何使拼成的图形是平行四边形.解答：能.拼接方法：如图，取四边形ABCD各边的中点E、G、F、H，连结EF、GH，则EF、GH为裁剪线.EF、GH将四边形ABCD分成1、2、3、4四个部分，拼接时，图中的1不动，将2、4分别绕点H、F各旋转180°，3平移，拼成的四边形满足条件.第23页共26页例8.Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，另找一个直角三角形（各边长可以自行设求等腰三角形的周长.定，且与原三角形不全等）与其拼成等腰三角形，分析：若以AB为腰构建等腰△ABD或△ABE，则镶拼Rt△ACD或Rt△BCE（如图①）；若以AB为底构建△ABF，则镶拼Rt△BCF（如图②）.①②点B是等腰三角形的顶点.AD321210.解：（1）①如图①，∴等腰△ABD的周长为1010；（2）点A是等腰三角形的顶点.BE=∴等腰△ABE的周长为1025.422225.（3）如图②，AB是等腰三角形的底，设CF=x，则AF=BF=3+x，由勾股定理，得42x2(3x)2x76AFBF3x2562540∴等腰△ABF的周长为5331010或1025或40.∴拼成等腰三角形的周长为3说明：本题从图形的形状不同入手，找准分类的依据（如以AB为腰，以AB为底），确定形状，找出其对应的等腰三角形的周长.例10.操作示例对于边长均为a的两个正方形ABCD和EFGH，按图1所示的方式摆放，再沿虚线BD，EG剪开后，所示的移动方式拼接为图1中的四边形BNED.可以按图中第24页共26页图1从拼接的过程容易得到结论：①四边形BNED是正方形；S正方形ABCDS正方形BFGHS正方形BNED.②实验与探究：（1）对于边长分别为a，b（a>b）的两个正方形ABCD和EFGH，按图1所示的方式摆放，连结DE.过点⊥DE，MN与EN相交于点N.①证明四边形MNED是正方形，并用含2中，将正方形ABCD和正方形EFGH沿虚线剪开后，能够拼接为正方形MNED，1，用数字表示对应的图形）D作DM⊥DE，交AB于点M，过点M作