专题01集合（考点归纳与五大题型方法总结）

专题01集合【【考点归纳】考点1：集合的基本概念1．元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母a，b，c…表示．2．集合：一些元素组成的总体，简称集，常用大写拉丁字母A，B，C…表示．3．集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．4．集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．【说明】①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合，可知,在该集合中，,不在该集合中；②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的.集合应满足.③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合和是同一个集合.5．元素与集合的关系：（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A．（2）不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作aA．6．集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（图）.（1）列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法.（2）描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.7．常见数集和数学符号数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号或8．空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作，并规定：空集是任何集合的子集．考点2：集合间的基本关系1．子集（1）子集的概念：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作（或），读作“A含于B”（或“B包含A”）．用Venn图表示AB如图所示：（2）子集的性质①任何一个集合是它自身的子集，即．②传递性，对于集合，，，如果，且，那么．（3）从子集的角度看集合的相等：如果集合是集合的子集（），且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作．用Venn图表示如图所示．2．真子集的概念：如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）．如果集合是集合的真子集，在Venn图中，就把表示的区域画在表示的区域的内部．如图所示：4．真子集的性质：对于集合，，，如果，，那么．【方法技巧与总结】（1）若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个．（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．考点3：集合的基本运算一、并集的概念与运算1．文字语言：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B”2．符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}3．图形语言：阴影部分为A∪B4．性质：A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝∅∪A＝A，如果A⊆B，则A∪B＝B.二、交集的概念与运算1．文字语言：由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B”2．符号语言：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}3．图形语言：阴影部分为A∩B4．性质：A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅∩A＝∅，如果A⊆B，则A∩B＝A三、全集与补集的概念与运算1．全集（1）文字语言：一般地，如果一个集合包含所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记为U.（2）符号语言：若，则为全集.（3）图形语言：2．补集（1）文字语言：若集合A是全集U的一个子集，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作.（2）符号语言：（3）图形语言：（4）性质：A∪∁UA＝U；A∩∁UA＝∅；∁U(∁UA)＝A.考点4：集合的运算性质1．，，．2．，，．3．，，．【方法技巧与总结】（1）．（2）,．【题型归纳目录】题型一：集合中元素的特性及应用题型二：集合的表示：列举法、描述法题型三：集合与集合之间的关系及求参数题型四：集合的运算（交、并、补）题型五：集合运算有关的参数求解题型六：集合的新定义运算【【题型归纳】【题型一】集合中元素的特性及应用【例1】已知集合A含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值．【答案】0【解析】由题意可知，a＝1或a2＝a，（1）若a＝1，则a2＝1，这与a2≠1相矛盾，故a≠1.（2）若a2＝a，则a＝0或a＝1(舍去)，又当a＝0时，A中含有元素1和0，满足集合中元素的互异性，符合题意．综上可知，实数a的值为0.【例2】已知集合．（1）若中只有一个元素，求的值；（2）若中至少有一个元素，求的取值范围；（3）若中至多有一个元素，求的取值范围.【答案】（1）或；（2）；（3）或.【解析】（1）若中只有一个元素，则当时，原方程变为，此时符合题意，当时，方程为二元一次方程，，即，故当或时，原方程只有一个解；（2）中至少有一个元素，即中有一个或两个元素，由得综合（1）当时中至少有一个元素；（3）中至多有一个元素，即中有一个或没有元素当，即时原方程无实数解，结合（1）知当或时中至多有一个元素.【【方法技巧归纳】1．解决含有字母的问题，常用到分类讨论的思想，在进行分类讨论时，务必明确分类标准．2．本题在解方程求得a的值后，常因忘记验证集合中元素的互异性，而造成过程性失分．提醒：解答此类问题易忽视互异性而产生增根的情形．【【变式演练】1．已知集合，则A中元素的个数为（

）A．9 B．8 C．5 D．4【答案】A【分析】根据x，y满足的关系式求得x，y的可能值，从而求得集合元素个数.【解析】由，得，，又，，所以，，易知与的任意组合均满足条件，所以A中元素的个数为.故选：A.2．（多选）已知集合中有且仅有一个元素，那么的可能取值为（）A． B． C． D．【答案】BC【解析】当时，即，解得，当时，代入方程解得，满足题意；当时，方程无解，不满足题意；当时，即，，即，整理可得，解得，满足题意；故选：BC3．若，则实数a的取值集合为______．【答案】【分析】根据元素的确定性和互异性可求实数a的取值.【解析】因为，故或或，当时，，与元素的互异性矛盾，舍；当时，，符合；当时，或，根据元素的互异性，符合，故a的取值集合为.故答案为：4．已知集合A中含有两个元素x，y，集合B中含有两个元素0，x2，若A＝B，求实数x，y的值．【答案】x＝1，y＝0【解析】因为集合A，B相等，则x＝0或y＝0.（1）当x＝0时，x2＝0，则不满足集合中元素的互异性，故舍去．（2）当y＝0时，x＝x2，解得x＝0或x＝1.由（1）知x＝0应舍去．综上知：x＝1，y＝0.【题型二】集合的表示：列举法、描述法【例3】（1）把集合用列举法表示为（）A． B．C． D．（2）方程组的解集可表示为（）A． B． C． D．【答案】（1）D（2）C【解析】（1）解方程得或，因此集合用列举法表示为.故选：D.（2）方程组的解为，根据集合的表示方法可知方程组的解集可表示为或.所以C选项正确.故选：C【例4】用适当的方法表示下列集合：（1）二次函数的函数值组成的集合；（2）反比例函数的自变量组成的集合；（3）不等式的解集【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）二次函数的函数值为y，∴二次函数的函数值y组成的集合为.（2）反比例函数的自变量为x∴反比例函数的自变量组成的集合为.（3）由，得，∴不等式的解集为.【例5】集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合．【答案】{0,1}【解析】（1）当k＝0时，方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解得x＝2，满足题意；（2）当k≠0时，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0只有一个实数根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}，满足题意．综上所述，k＝0或k＝1，故实数k的值组成的集合为{0,1}．【【方法技巧归纳】1．用列举法表示集合的3个步骤（1）求出集合的元素；（2）把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；（3）用花括号括起来．提醒：二元方程组的解集，函数图象上的点构成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开．如{(2，3)，(5，－1)}．2．描述法表示集合的2个步骤【【变式演练】1．已知集合，，则集合中元素个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】由列举法列出集合的所有元素，即可判断；【解析】解：因为，，所以或或或，故，即集合中含有个元素；故选：C2．定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，，，所以，故集合中的元素个数为3，故选：C.3．若集合，，用列举法表示________．【答案】【解析】因为，，所以故答案为：4．10的所有正因数组成的集合用列举法表示为__________.【答案】【解析】∵对于正因数分解，有，∴其正因数组成的集合为.故答案为：5．用描述法表示下列集合：（1）比1大又比10小的实数的集合；（2）平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合；（2）被3除余数等于1的正整数组成的集合．【解析】（1）{x∈R|1<x<10}．（2）集合的代表元素是点，用描述法可表示为{(x，y)|x<0，且y>0}．（3）{x|x＝3n＋1，n∈N}．【题型三】集合与集合之间的关系【例6】（1）已知集合，则集合的子集的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5（2）已知集合满足，则集合A可以是（）A． B． C． D．（3）满足的集合M有______个.【答案】（1）C（2）D（3）7【解析】（1），有2个元素，则集合的子集的个数是.故选：C.（2），集合A可以是，.故选：D.（3）由,可以确定集合M必含有元素1,2,且至少舍有元素3,4,5中的一个,因此依据集合M的元素个数分类如下：含有三个元素：,,；含有四个元素：,,；含有五个元素：,故满足题意的集合M共有7个.故答案为：7【例7】已知集合，则集合的子集个数是（）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】B【解析】，即集合A中有3个元素，则集合A的子集个数为.故选：B.【例8】下列集合与集合相等的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】集合表示数字和的集合.对于A：集合中的元素代表点，与集合不同，A错误；对于B：集合中的元素代表点，与集合不同，B错误；对于C：由得：或，与集合元素相同，C正确；对于D：表示两个代数式的集合，与集合不同，D错误.故选：C.【例9】（多选题）已知集合，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值有（

）A．-2 B．-1 C．0 D．1【答案】BCD【分析】根据条件可知集合中仅有一个元素，由此分析方程为一元一次方程、一元二次方程的情况，从而求解出的值.【解析】因为集合仅有个子集，所以集合中仅有一个元素，当时，，所以，所以，满足要求；当时，因为集合中仅有一个元素，所以，所以，此时或，满足要求，故选：BCD.【例10】已知，，若，求实数的值.【答案】或【解析】，或或或；若，无解；若，无解；若，；若，；综上：或.【【方法技巧归纳】判断集合关系的方法（1）观察法：一一列举观察．（2）元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．（3）数形结合法：利用数轴或Venn图．提醒：若A⊆B和AB同时成立，则AB能准确表达集合A，B之间的关系．【【变式演练】1．已知集合是平行四边形，是矩形，是正方形，是菱形，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为菱形是平行四边形的特殊情形，所以D⊂A，矩形与正方形是平行四边形的特殊情形，所以B⊂A，C⊂A，正方形是矩形，所以C⊆B．故选B．2．①0∈{0}；②{0}；③{0，1}⊆{(0，1)}；④{(a，b)}＝{(b，a)}．上面关系中正确的个数为()A．1 B．2C．3 D．4【答案】B【解析】①正确，0是集合{0}的元素；②正确，是任何非空集合的真子集；③错误，集合{0，1}含两个元素0，1，而{(0，1)}含一个元素点(0，1)，所以这两个集合没关系；④错误，集合{(a，b)}含一个元素点(a，b)，集合{(b，a)}含一个元素点(b，a)，这两个元素不同，所以集合不相等．故选B.3．已知集合，，若，则的值为（）A．0 B． C．1 D．【答案】B【解析】根据集合中元素的互异性可知，因为，所以或，当时，，此时；当时，则，因为，所以，此时.故选：B4．已知集合若A的子集的元素中至多有一个奇数，则这样的子集共（）A．4个 B．5个 C．6个 D．7个【答案】C【解析】集合A的子集一共有：则满足题意的共有，6个故选：C5．设A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若AB，则实数a的取值范围是________．【答案】{a|a≥2}【解析】如图，因为AB，所以a≥2，即a的取值范围是{a|a≥2}．6．设集合A={}，B={x}，且AB，则实数k的取值范围是______________(写成集合形式).【答案】【分析】由知，集合B为A的非空子集或空集，列出满足的包含关系，求得k的范围.【解析】由知，集合B为A的非空子集或空集，即或，解得或故答案为：7．设A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．（1）若a＝eq\f(1,5)，试判定集合A与B的关系；（2）若B⊆A，求实数a组成的集合C.【解析】(1)因为B＝{5}，元素5是集合A＝{5，3}中的元素，集合A＝{5，3}中除元素5外，还有元素3，3在集合B中没有，所以BA.(2)当a＝0时，由题意B＝，又A＝{3，5}，故B⊆A；当a≠0时，B＝，又A＝{3，5}，B⊆A，此时eq\f(1,a)＝3或5，则有a＝eq\f(1,3)或a＝eq\f(1,5).所以C＝.8．已知集合A＝{x|x<－1，或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，求实数a的取值范围．【解析】(1)当B＝时，2a>a＋3，即a>3.显然满足题意．(2)当B≠时，根据题意作出如图所示的数轴，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋3≥2a，,a＋3<－1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋3≥2a，,2a>4，))解得a<－4或2<a≤3.综上可得，实数a的取值范围为{a|a<－4，或a>2}．【题型四】集合的运算【例10】设集合，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】集合，，则故选：D.【例11】设集合，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，又，所以.故选：C【例12】已知全集，则（）A．B．或C．D．或【答案】B【解析】因为，所以或故选:B.【例13】（多选题）已知､均为实数集的子集，且，则下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】由题可知，利用包含关系即可判断.【解析】∵∴，若是的真子集，则，故A错误；由可得，故B正确；由可得，故C错误，D正确.故选：BD.【【方法技巧归纳】解决集合交、并、补运算的技巧（1）如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解．（2）如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．【【变式演练】1．设集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A∪B＝()A．{1，2，3，4} B．{1，2，3}C．{2，3，4} D．{1，3，4}【答案】A【解析】∵A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，∴A∪B＝{1，2，3，4}．故选A.2．已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8}，则A∩B中元素的个数为()A．1 B．2C．3 D．4【答案】B【解析】∵A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8}，∴A∩B＝{2，4}．∴A∩B中元素的个数为2.故选B.3．若全集U＝{0，1，2，3}且UA＝{2}，则集合A的真子集共有()A．3个 B．5个C．7个 D．8个【答案】C【解析】A＝{0，1，3}，真子集有23－1＝7.4．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合U(A∪B)＝()A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1} D．{x|0<x<1}【答案】D【解析】由题意可知，A∪B＝{x|x≤0，或x≥1}，所以U(A∪B)＝{x|0＜x＜1}．5．设全集，，则）等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意，则，故故选：C6．设集合，，则图阴影区域表示的集合是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意可知，图阴影区域表示的集合是,所以.故选：A.7．（多选）图中阴影部分用集合符号可以表示为（）A．B．C．D．【答案】AD【解析】如图，在阴影部分区域内任取一个元素，则或，所以阴影部分所表示的集合为，再根据集合的运算可知，阴影部分所表示的集合也可表示为，所以选项AD正确，选项CD不正确，故选：AD.8．已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(UA)∪B，A∩(UB)，U(A∪B)．【解析】如图所示．∵A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，U＝{x|x≤4}，∴UA＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}，UB＝{x|x<－3，或2<x≤4}．A∩B＝{x|－2<x≤2}，A∪B＝{x|－3≤x<3}．故(UA)∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}，A∩(UB)＝{x|2<x<3}．U(A∪B)＝{x|x<－3，或3≤x≤4}．题型五：集合运算有关的参数求解【例14】设集合,（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）当时，，；（2），当时，满足题意，此时，解得；当时，解得，实数m的取值范围为.【例15】设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0}．（1）若A∩B＝{2}，求实数a的值；（2）若A∪B＝A，求实数a的取值范围；（3）若U＝R，，求实数a的取值范围．【答案】（1）－1或－3；（2）a≤－3；（3）且且．【解析】（1），或，∴,∵A∩B＝{2}，∴2∈B，将x＝2代入x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0，得a2＋4a＋3＝0，所以a＝－1或a＝－3．当a＝－1时，B＝{－2，2}，满足条件；当a＝－3时，B＝{2}，也满足条件．综上可得，a的值为－1或－3．（2）∵A∪B＝A，∴B⊆A．对于方程x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0，①当＝4(a＋1)2－4(a2－5)＝8(a＋3)<0，即a<－3时，，满足条件；②当，即a＝－3时，B＝{2}，满足条件；③当，即a>－3时，B＝A＝{1，2}才能满足条件，这是不可能成立的．综上可知，a的取值范围是a≤－3．（3）∵，∴，∴．对于方程x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0，①当，即a<－3时，，满足条件．②当，即a＝－3时，B＝{2}，A∩B＝{2}，不满足条件．③当，即a>－3时，只需且即可．将x＝2代入x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0，得a＝－1或a＝－3；将x＝1代入x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0，得，∴a≠－1，a≠－3且，综上，a的取值范围是且且．【【方法技巧归纳】由集合的补集求解参数的方法（1）如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集定义并结合知识求解．（2）如果所给集合是无限集，与集合交、并、补运算有关的求参数问题时，一般利用数轴分析法求解．【【变式演练】1．已知集合，，若，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，因为，所以为的子集，所以.故选：A.2．已知全集，集合，，则下列Venn图中阴影部分的集合为___________．【答案】【分析】由给定条件求出集合M，再由Venn图中阴影部分表示的意义求解即得．【解析】由题意，集合，则Venn图中阴影部分表示的集合是．故答案为：.3．已知集合A＝{x|－2<x<4}，B＝{x|x－m<0}．（1）若A∩B＝，求实数m的取值范围．（2）若A∪B＝B，求实数m的取值范围．【解析】（1）∵A＝{x|－2<x<4}，B＝{x|x<m}，又A∩B＝，∴m≤－2.（2）∵A＝{x|－2<x<4}，B＝{x|x<m}，由A∪B＝B，得A⊆B，∴m≥4.4．已知集合A＝{x|2a<x<3－2a}，B＝{x|x<5a＋1}（1）若A∪B＝B，求a的取值范围；（2）若A∩B＝∅，求a的取值范围．【答案】（1）a≥；（2）或【解析】（1）由A∪B＝B，知A⊆B.若，即，时符合题意．当时，由题意得得,综上得a的取值范围是；（2）当，即时.当时，由题意得，解得，综上，的取值范围是或．5．已知集合，．（1）求集合；（2）当时，求；（3）若，求的取值范围．【答案】(1)或(2)(3)【分析】（1）根据题干条件以及补集的定义可得解；（2）根据题干条件以及交集的定义可得解；（3）根据（1）可得或，结合，分析即得解【解析】(1)由题意，故或(2)当时，故(3)由（1）或若，则解得题型六：集合的新定义运算【例16】若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为_____.【答案】【分析】分“鲸吞”或“蚕食”两种情况分类讨论求出值，即可求解【解析】当时，，此时满足，当时，，此时集合只能是“蚕食”关系，所以当集合有公共元素时，解得，当集合有公共元素时，解得，故的取值集合为.故答案为：【例17】已知数集．若存在，使得对任意都有，则称A为完美集，给出下列四个结论：①存在，使得为完美集；②存在，使得为完美集；③如果，那么一定不为完美集；④使得A为完美集的所有的值之和为-2．其中，所有正确结论的序号是______．【答案】①②【分析】由题意得，，即t的范围为或，或，且，当时，分，，三种情况讨论，根据完美集可求得t的值，当时，同理可得t的值，从而可的答案.【解析】解：由题意得，，即t的范围为或，或，且，当时，当，又，故，则有，可得，此时，，解得；当，，故，则，可得，此时，，解得；当，，故，则有，可得，此时，，解得（舍去），无解；同理，当时，当，，当或，无解.综上，所有正确结论的序号是①②.故答案为：①②.【【方法技巧归纳】1．集合的创新定义题核心在于读懂题意。读懂里边的数学知识，一般情况下，它所涉及到的知识和方法并不难，难在转化.2．集合的创新定义题，主要是在题干中定义“新的概念，新的计算公式，新的运算法则，新的定理”，要根据这些新定义去解决问题，有时为了有助于理解，还可以用类比的方法进行理解。【【变式演练】1．对任意A，，记，则称为集合A，B的对称差．例如，若，，则，下列命题中，为真命题的是（

）A．若A，且，则B．若A，且，则C．若A，且，则D．存在A，，使得【答案】ABD【分析】根据新定义及交、并、补集运算，逐一判断即可．【解析】解：对于A选项，因为，所以，所以，且B中的元素不能出现在中，因此，即选项A正确；对于B选项，因为，所以，即与是相同的，所以，即选项B正确；对于C选项，因为，所以，所以，即选项C错误；对于D选项，时，，，D正确；故选：ABD．【【过关检测】一、选择题。1．若集合中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形【答案】D【解析】【分析】根据集合元素的互异性即可判断.【详解】由题可知，集合中的元素是的三边长，则，所以一定不是等腰三角形．故选：D．2．给出下列关系：①∈R；②∈Q；③－3Z；④N，其中正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】根据数集的定义，即可得答案；【详解】是实数，①正确；是无理数，②错误；－3是整数，③错误；－是无理数，④正确.所以正确的个数为2.故选：B.3．已知集合，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】集合是由小于3的自然数组成，0，，只有C正确，故选：C．4．集合中a的取值范围是（

）A．或 B．C．且 D．【答案】C【解析】【分析】由集合中元素的互异性可知，即可选出答案.【详解】由集合中元素的互异性，需要满足，解得且，故选：C.5．若，则的值为（

）A．0 B．1 C． D．1或【答案】C【解析】【分析】根据集合相等的概念，以及集合元素的互异性，求得，代入即可求解.【详解】因为，可得，即，若时，此时不满足集合中元素的互异性，舍去；当时，此时，所以，所以.故选：C.6．已知全集，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接按照补集和并集运算即可.【解析】由题意知：，.故选：B.7．已知集合，集合，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】分别求得集合，由补集和交集定义可求得结果.【解析】由得：，即；由，得：，即，，.故选：A.8．已知集合，，若，则满足条件的集合的个数为（）A．7 B．8 C．15 D．16【答案】C【解析】，，，则集合M中一定包含元素0、1，满足条件的集合M有：，共15个.故选：C9．已知集合，若，则所有的取值构成的集合为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】时，满足题意，时，得，所以或，或，所求集合为．故选：D．10．（2022·江苏盐城·三模）已知集合，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由全集和集合可求出，再由交集运算性质即可求解.【解析】由题意得，，又则，因为，所以，故选：A.11．若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由韦恩图知阴影部分为，根据根式的性质及集合描述列举出集合A，应用集合的交补运算求结果.【解析】由题图，阴影部分为，而，，所以.故选：A12．已知集合，，（，），若，则（）A． B．2 C． D．1【答案】D【解析】∵集合，，且，∴，或，先考虑，解得，此时，，满足题意，∴；再考虑，解得，此时，，不满足题意，综上，故选：D13．已知集合，，则的子集个数为（

）A．4 B．6 C．8 D．9【答案】C【分析】根据集合交集的定义，结合子集的个数公式进行求解即可.【解析】因为，，所以，因此中有三个元素，所以的子集个数为，故选：C14．（2022·广东珠海·高一期末）已知集合，或，则（

）A．或 B．C． D．或【答案】A【解析】【分析】应用集合的并运算求即可.【详解】由题设，或或.故选：A15．设集合，则（

）A．或 B．C． D．【答案】C【解析】【分析】根据交集的知识求得正确答案.【详解】依题意，.故选：C二、填空题16．若、、且、，集合，则用列举法可表示为______.【答案】【解析】【分析】分别讨论正负即可求出.【详解】当时，，当时，，当时，，当时，，所以用列举法可表示为.故答案为：.17．用描述法表示被4除余3的自然数全体组成的集合______．【答案】【解析】【分析】用数学式子表示出自然语言即可．【详解】被4除余3的自然数即为4的整数倍加3，因此．故答案为：．18．设集合，，若，则实数______.【答案】【解析】【分析】根据题意得是方程一个实数根，进而代入解方程得或，再分别检验即可得答案.【详解】解：因为，所以，即是方程一个实数根，所以，解得或，当时，，此时不满足，舍；当时，，满足条件.故答案为：19．（2022·北京·通州区运河中学高一阶段练习）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割.试判断下列选项中，可能成立的是___________.①，是一个戴德金分割；②没有最大元素，有一个最小元素；③有一个最大元素，有一个最小元素；④没有最大元素，没有最小元素；【答案】②④【解析】【分析】根据题意举出实例依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项①，因为，，，故①错误；对选项②，设，，满足戴德金分割，则中没有最大元素，有一个最小元素，故②正确；对选项③，若有一个最大元素，有一个最小元素，则不能同时满足，，故③错误；对选项④，设，，满足戴德金分割，此时没有最大元素