2022-2023学年湖南省邵阳市五四中学高三数学文上学期期末试卷含解析

2022-2023学年湖南省邵阳市五四中学高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数的导函数图象如图所示，若为锐角三角形，则一定成立的是A． B．C． D．参考答案：A略2.在中，角所对的边分别为，为的外心，为边上的中点，，，，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C3.已知各项不为0的等差数列满足，数列是等比数列，且，则等于（

）A．1

B．2

C．4

D．8

参考答案：D略4.若α∈，且，则的值等于(

)A.

B.

C.

D.参考答案：D5.设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为（A）2

（B）-2

（C）

（D）参考答案：A

本题主要考查复数的乘法运算和复数的概念，属于简单题型。法一：为纯虚数，；故选A.法二：为纯虚数，，故选A.

6.已知，其中，如果存在实数,使，则的值A．必为正数

B．必为负数

C．必为非负

D．必为非正参考答案：B略7.已知函数f（x）=x2﹣cosx，则的大小关系是（）A． B． C． D．参考答案：B考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：求函数的导数，判断函数的单调性，利用函数的单调性进行比较即可．解答：解：∵函数f（x）=x2﹣cosx为偶函数，∴f（﹣0.5）=f（0.5），f′（x）=2x+sinx，当0＜x＜时，f′（x）=2x+sinx＞0，∴函数在（0，）上递增，∴f（0）＜f（0.5）＜f（0.6），即f（0）＜f（﹣0.5）＜f（0.6），故选：B点评：本题主要考查函数值的大小比较，求函数的导数，利用函数的单调性是解决本题的关键．8.某程序框图如右图所示，若输入，则输出的结果是（

）A．2

B．3

C．4

D．5

参考答案：B当时，，；当时，；当时，，当时，，满足条件，所以输出的结果为3，故选B．9.设全集，则（

）

A．

B．{4，5}

C．{1，2，3，6，7，8}D．U参考答案：D略10.对任意复数，i为虚数单位，则下列结论正确的是

参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设、是平面内两个不平行的向量，若与平行，则实数

.参考答案：略12.已知区域满足

,则区域内离原点最远点的坐标为

.参考答案：(2,3)略13.函数在上的单调递增区间为．参考答案：[﹣，]考点：复合三角函数的单调性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：根据诱导公式和两角差的余弦公式，化函数为f（x）=cos（），再结合余弦函数单调区间的结论，求出函数在R上的单调区间，将其与区间取交集，即可得到所求的单调递增区间．解答：解：∵cos=﹣cos∴==cos（）令﹣π+2kπ≤≤2kπ，得﹣+kπ≤x≤+kπ，（k∈Z）∴函数的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]，（k∈Z）取k=0，得函数在上的单调递增区间为[﹣，]故答案为：[﹣，]点评：本题将一个三角函数式化简，并求函数的增区间，着重考查了诱导公式、三角恒等变形和三角函数的图象与性质等知识，属于基础题．14.已知函数的最大值为3，的图象与y轴的交点坐标为，其相邻两条对称轴间的距离为2，则参考答案：【知识点】二倍角的余弦；余弦函数的图象．C3C64030

解析：∵函数=A?+1=cos（2ωx+2φ）+1+（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的最大值为3，∴+1+=3，∴A=2．根据函数图象相邻两条对称轴间的距离为2，可得函数的最小正周期为4，即=4，∴ω=．再根据f（x）的图象与y轴的交点坐标为（0，2），可得cos（2φ）+1+1=2，∴cos2φ=0，2φ=，∴φ=．故函数的解析式为f（x）=cos（x+）+2=﹣sinx+2，∴f（1）+f（2）+…+f（2014）+f（2015）=﹣（sin+sin+sin+…+sin+sin）+2×2015=503×0﹣sin﹣sin﹣sin+4030=0+4030=4030，故答案为：4030．【思路点拨】由条件利用二倍角的余弦公式可得f（x）=cos（2ωx+2φ）+1+，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式，再利用函数的周期性求得所求式子的值．15.在（1+x）5﹣（1+x）6的展开式中，含x3的项的系数是

．参考答案：﹣10考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：分别在（1+x）5﹣的展开式的通项Tr+1=C5rxr（1+x）6展开式的通项Tk+1=C6kxk，令r=3，k=3可求解答： 解：（1+x）5﹣的展开式的通项Tr+1=C5rxr令r=3可得，T4=C53x3的展开式的通项Tk+1=C6kxk，令k=3可得T4=C63x3∴含x3的项的系数是C53﹣C63=10﹣20=﹣10故答案为：﹣10点评：本题主要考查了利用二项展开式的通项求解指定的项，属于基础试题16.为估计一圆柱形烧杯A底面积的大小，做以下实验：在一个底面边长为a的正四棱柱容器B中装有一定量的白色小球子，现用烧杯A盛满黑色小珠子（珠子与杯口平齐），将其倒入容器B中，并充分混合，此时容器B中小珠子的深度刚好为a（两种颜色的小珠子大小形状完全相同，且白色的多于黑色的）现从容器B中随机取出100个小珠子，清点得黑色小珠子有25个。若烧杯A的高度为h，于是可估计此烧杯的底面积S约等于

。参考答案：17.已知函数的图像向左平移个单位后与函数的图像重合，则正数的最小值为

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．(1)求此人到达当日空气质量优良的概率；(2)求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)图5

参考答案：【解】(1)在3月1日至3月13日这13天中，1日、2日、3日、7(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．

略19.如右图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．

(1)求证：AF∥平面BCE；(2)求直线BF和平面BCE所成角的正弦值．参考答案：解：设，建立如图所示的坐标系，则．∵为的中点，∴．……………2分(1)证明：，∵，平面BCE，∴AF∥平面BCE．或求出平面的法向量，再证AF与法向量垂直。……………6分

(2)解：设平面的法向量为，由可得：

，取．………………8分又，设和平面所成的角为，则sin＝＝．∴直线和平面所成角的正弦值为．……12分20.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2Sn?Sn﹣1＝0（n≥2），a1＝．（1）求证：{}是等差数列；（2）求an的表达式．参考答案：（1）证明：∵﹣an＝2SnSn﹣1，∴﹣Sn+Sn﹣1＝2SnSn﹣1（n≥2），Sn≠0（n＝1，2，3）．∴﹣＝2．又＝＝2，∴{}是以2为首项，2为公差的等差数列．（2）解：由（1），＝2+（n﹣1）?2＝2n，∴Sn＝．当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝﹣＝﹣〔或n≥2时，an＝﹣2SnSn﹣1＝﹣〕；当n＝1时，S1＝a1＝．∴an＝21.（本小题满分16分）给定椭圆，称圆心在坐标原点，半径为的圆是椭圆的“伴随圆”．若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到距离为．（1）求椭圆及其“伴随圆”的方程；（2）若过点的直线与椭圆只有一个公共点，且截椭圆的“伴随圆”所得的弦长为，求的值；（3）过椭圆“伴椭圆”上一动点作直线，使得与椭圆都只有一个公共点，试判断直线的斜率之积是否为定值，并说明理由．参考答案：22.已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6=0的根．（1）求{an}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．参考答案：【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【专题】综合题；等差数列与等比数列．【分析】（1）解出方程的根，根据数列是递增的求出a2，a4的值，从而解