2022年广西壮族自治区南宁市七十二综合中学高三数学文联考试题含解析

2022年广西壮族自治区南宁市七十二综合中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问題:今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰:“我羊食半马、“马主曰:“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟、羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半，“打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还(

)升粟？A. B. C. D.参考答案：D【分析】根据题意可知，羊马牛的三主人应偿还的量构成了公比为2的等比数列，而前3项和为50升，即可利用等比数列求和公式求出，进而求出马主人应该偿还的量.【详解】因为斗=升，设羊、马、牛的主人应偿还的量分别为，由题意可知其构成了公比为2的等比数列，且则，解得，所以马主人要偿还的量为：，故选D.【点睛】本题主要考查了等比数列基本量求解，以及数学文化，属于基础题.2.若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是A．

B.C.

D.参考答案：答案：B解析：由向量的减法知3.直线l:y=m（m为实常数）与曲线E：y=|lnx|的两个交点A，B的横坐标分别为x1,x2，且，曲线E在点A，B处的切线PA，PB与y轴分别交于点M，N，有下面5个结论：①的取值集合为;②△PAB可能为等腰三角形；③若直线l与y轴的交点为Q，则；④当x1是函数的零点时，（O为坐标原点）取得最小值.其中正确结论的个数为（

）A．1

B．2 C．3

D．4参考答案：B4.将一圆的六个等分点分成两组相间的三点﹐它们所构成的两个正三角形扣除内部六条线段后可以形成一正六角星﹐如图所示的正六角星是以原点为中心﹐其中﹐分别为原点到两个顶点的向量﹒若将原点到正六角星12个顶点的向量﹐都写成为的形式﹐则的最大值为（）。A．2

B．3

C．4

D．5

参考答案：D知识点：向量的表示；分类讨论.解析：解：因为若求的最大值﹐所以考虑右图中的6个顶点之向量即可﹒讨论如下﹕(1)若﹐故﹒(2)若﹐故﹒(3) 若﹐故﹒(4) 若﹐

故﹒(5)若﹐故﹒(6)若﹐故﹒因此﹐的最大值为﹒故选D﹒思路点拨：根据题意分类讨论即可.5.执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B【考点】程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：输入的a值为1，则b=1，第一次执行循环体后，a=﹣，不满足退出循环的条件，k=1；第二次执行循环体后，a=﹣2，不满足退出循环的条件，k=2；第三次执行循环体后，a=1，满足退出循环的条件，故输出的k值为2，故选：B6.已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，下列命题正确的是A.若，，，，则

B.若，，，则C.若，，，则

D.若，，，则

参考答案：B7.在下列区间中，函数的零点所在的区间为

参考答案：D8.若等式对于一切实数都成立，则(

)A．

B．

C．

D．0

参考答案：B解法一：∵，∴（C为常数），取得，再取得，即得，∴，故选B．解法二：∵，∴∴，故选B．9.设变量满足约束条件则目标函数的最大值为

A．4

B．11

C．12

D．14参考答案：B略10.设二次函数，如果，则等于

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设当时,函数取得最大值,则______参考答案：12.等差数列中，已知，则的前9项和为（

）A．66

B．99

C．144

D．297参考答案：B13.如图，在△ABC中，已知B=，D是BC边上一点，AD=10，AC=14，DC=6，则AB=

．参考答案：5【考点】余弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值；解三角形．【分析】根据余弦定理弦求出C的大小，利用正弦定理即可求出AB的长度．【解答】解：∵AD=10，AC=14，DC=6，∴由余弦定理得cosC===，∴sinC==，由正弦定理得，即AB==5，故答案为：5．【点评】本题主要考查解三角形的应用，利用余弦定理和正弦定理是解决本题的关键，要求熟练掌握相应的公式．14.抛物线的焦点坐标为

。参考答案：答案:

15.已知，若对任意的x，都有，则n=

．参考答案：6(负舍)

16.已知双曲线，过x轴上点P的直线与双曲线的右支交于M，N两点（M在第一象限），直线MO交双曲线左支于点Q（O为坐标原点），连接QN．若∠MPO=60°，∠MNQ=30°，则该双曲线的离心率为．参考答案：【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】由题意可得M，Q关于原点对称，即可得到kMN?kQN=，分别求出相对应的斜率，再根据离心率公式即可求出【解答】解：由题意可知：M，Q关于原点对称，∴kMN?kQN=，∵kMN=﹣，kQN=﹣，∴=1，∴e===故答案为：．17.已知变量x,y满足的最大值是

。

参考答案：

9三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某市交管部门为了宣传新交规举办交通知识问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样了人，回答问题统计结果如图表所示．（Ⅰ）分别求出的值；（Ⅱ）从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样方法抽取6人，则第2,3,4组每组应各抽取多少人?（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求:所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．参考答案：解：（Ⅰ）第1组人数，

所以，

第2组人数，所以，

第3组人数，所以，

第4组人数，所以，

第5组人数，所以.

…………5分（Ⅱ）第2,3,4组回答正确的人的比为，所以第2,3,4组每组应各依次抽取人，人，1人.…………8分（Ⅲ）记抽取的6人中，第2组的记为，第3组的记为，第4组的记为，则从6名幸运者中任取2名的所有可能的情况有15种，他们是：，，，，，，，，，，，，，，.其中第2组至少有1人的情况有9种，他们是：，，，，，，，，.

故所求概率为.

…………13分

略19.在直角坐标系中，过点的直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线相交于，两点，求的值.参考答案：（1）由已知得：，消去得，∴化为一般方程为：，即：：.曲线：得，，即，整理得，即：：.（2）把直线的参数方程（为参数）代入曲线的直角坐标方程中得：，即，设，两点对应的参数分别为，，则，∴.20.已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）在点（1，f（1））点处的切线方程；（Ⅱ）当x≥1时，f（x）≤恒成立，求a的取值范围．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（I）先求出切线的斜率k=f′（1）和f（1），代入直线的点斜式方程化简即可；（II）作差得f（x）﹣=，令g（x）=xlnx﹣a（x2﹣1）（x≥1），依次计算g′（x），g″（x），讨论a的范围判断g（x）的单调性，验证结论是否成立即可得出a的范围．【解答】解：（I）∵f（x）=lnx﹣a（x﹣1），∴f′（x）=﹣a，∴f（1）=0，f′（1）=1﹣a，∴函数f（x）在点（1，f（1））点处的切线方程为y=（1﹣a）（x﹣1）．（II）f（x）﹣=，令g（x）=xlnx﹣a（x2﹣1）（x≥1），则g′（x）=lnx+1﹣2ax，g″（x）==，①若a≤0，则g″（x）＞0，∴g′（x）在1，+∞）上单调递增，∴g′（x）≥g′（1）=1﹣2a＞0，∴g（x）在1，+∞）上单调递增，∴g（x）≥g（1）=0，∴≥0，即f（x）﹣≥0，不符合题意．②若0，则当x∈（1，）时，g″（x）＞0，∴g′（x）在1，）上单调递增，∴g′（x）≥g′（1）=1﹣2a＞0，∴g（x）在1，+∞）上单调递增，∴g（x）≥g（1）=0，∴≥0，即f（x）﹣≥0，不符合题意．③若a，则当x∈1，+∞）上时，g″（x）≤0，∴g′（x）在1，+∞）上单调递减，∴g′（x）≤g′（1）=1﹣2a≤0，∴g（x）在1，+∞）上单调递减，∴g（x）≤g（1）=0，∴≤0，即f（x）≤，符合题意．综上所述，a的取值范围是，+∞）．【点评】本题考查了导数的几何意义，导数与函数的单调性的关系，分类讨论思想，属于中档题．21.求f(x)＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值和最小值．参考答案：略22.（12分）（2015秋?玉溪校级月考）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D、E分别为AB、AC中点．（1）求证：AB⊥PE；（2）求二面角A﹣PB﹣E的大小．参考答案：考点： 二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．

专题： 空间位置关系与距离；空间角．分析： （1）连结PD，由已知得PD⊥AB，BC⊥AB，DE⊥AB，由此能证明AB⊥PE．（2）由已知得PD⊥AB，PD⊥平面ABC，DE⊥PD，ED⊥AB，从而DE⊥平面PAB，过D做DF垂直PB与F，连接EF，则EF⊥PB，∠DFE为所求二面角的平面角，由此能求出二面角的A﹣PB﹣E大小．解答： （1）证明：连结PD，∵PA=PB，∴PD⊥AB．∵DE∥BC，BC⊥AB，DE⊥AB．又∵PD