2021年辽宁省本溪市第十九中学高三数学文月考试题含解析

2021年辽宁省本溪市第十九中学高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某展室有9个展台，现有3件展品需要展出，要求每件展品独自占用1个展台，3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，且3件展品所选用的展台之间间隔不超过2个展台，则不同的展出方法种数为（

）A.60

B.54

C.48

D.42参考答案：D2.已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝，∠ASC＝∠BSC＝30°，则棱锥S-ABC的体积为()A．3

B．2

C.

D．1参考答案：C略3.已知数列是等比数列，且，则的值为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A略4.如图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该多面体的各条棱中最长棱的长度为（）A． B． C．2 D．参考答案：D【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为四棱锥，底面是正方形，根据三视图数据计算出最长棱即可．【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥P﹣ABCD，其中底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=1，∴几何体的最长棱为PC==．故选：D5.设f（x）=lnx，a＞b＞0，M=f（），N=f（），R=[f（a）+f（b）]，则下列关系式中正确的是(

)A．N=R＜M B．N=R＞M C．M=R＜N D．M=R＞N参考答案：C【考点】对数值大小的比较．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】利用指数的运算性质、指数函数的单调性、基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵f（x）=lnx，a＞b＞0，∴M=f（）=（lna+lnb），N=f（）=ln＞=M，R=[f（a）+f（b）]===M，∴N＞M=R．故选：C．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性、运算性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.将函数f(x)的图像上的所有点向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图像，若的部分图像如图所示，则函数f(x)的解析式为A. B.C. D.参考答案：C【分析】根据图象求出A，ω和φ的值，得到g（x）的解析式，然后将g（x）图象上的所有点向左平移个单位长度得到f（x）的图象．【详解】由图象知A＝1，（），即函数的周期T＝π，则π，得ω＝2，即g（x）＝sin（2x+φ），由五点对应法得2φ＝2kπ+π，k,得φ，则g（x）＝sin（2x），将g（x）图象上的所有点向左平移个单位长度得到f（x）的图象，即f（x）＝sin[2（x）]＝sin（2x）=，故选：C．【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求解，结合图象求出A，ω和φ的值以及利用三角函数的图象变换关系是解决本题的关键．7.在极坐标系中，圆的垂直于极轴的两条切线方程分别为（A）

（B）（C）

（D）参考答案：B8.已知函数若a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c），则的取值范围是(

)A．（4，13） B．（8，9） C．（23，27） D．（13，15）参考答案：D【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】画出图象得出当f（a）=f（b）=f（c），a＜b＜c时，0＜a＜1＜b＜c＜12，ab=1，化简3ab+=3+c，即可求解范围解：函数，f（a）=f（b）=f（c），a＜b＜c，∴0＜a＜1＜b＜c＜12，ab=1，∴3ab+=3+c，13＜3+c＜15，故选：D．【点评】本题考查了函数的性质，运用图象得出a，b，c的范围，关键是得出ab=1，代数式的化简，不等式的运用，属于中档题9.某游戏中，一个珠子从如右图所示的通道（图中的斜线）由上至下滑下，从最大面的六个出口出来，规定猜中出口者为胜．如果你在该游戏中，猜得珠子从出口3出来，那么你取胜的概率为（

）

A．

B．

C．

D．以上都不对参考答案：A珠子从出口1出来有种方法，从出口2出来有种方法，依次从出口i（l≤i≤6）出现有方法，故取任的概率为,故选A．10.在平面直角坐标系中,角与角均以Ox为始边,它们的终边关于x轴对称.若,则（

）A.－1 B. C. D.1参考答案：C【分析】由角与角均以为始边,它们的终边关于轴对称，可以求出，这样利用二倍角的余弦公式可以求出的值.【详解】因为角与角均以为始边,它们的终边关于轴对称，所以，所以，故本题选C.【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式，由已知得到角与角的关系是解题的关键.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如右图，等边△中，，则

．参考答案：略12.函数是定义在R上以3为周期的奇函数,若,.则实数a的取值范围是________________.参考答案：13.已知，对于U，V，表示U，V中相对应的元素不同的个数。（1）令U=（2013，2013，2013，2013，2013），存在，使得=2。则m=

；（2）令，若之和为

参考答案：10，14.已知各项都为整数的数列中，，且对任意的，满足，，则__________．参考答案：由，得，两式相加得，又，，所以，从而.15.若函数在上存在单调递增区间，则a的取值范围是

参考答案：．当时，的最大值为，令，解得，所以a的取值范围是．16.（5分）（2015?陕西一模）已知向量是两个不共线的向量，若与共线，则λ=．参考答案：﹣【考点】：平行向量与共线向量．【专题】：平面向量及应用．【分析】：由向量是两个不共线的向量，以、为基底，把、用坐标表示，利用共线的定义，求出λ的值．解：∵向量是两个不共线的向量，不妨以、为基底，则=（2，﹣1），=（1，λ）；又∵、共线，∴2λ﹣（﹣1）×1=0；解得λ=﹣．故答案为：．【点评】：本题考查了平面向量的应用问题，解题时应利用平面向量的坐标表示进行解答，是基础题．17.若函数是偶函数，则实数

。参考答案：0三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)某高校在2012年自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示．(1)分别求第3，4，5组的频率；(2)若该校决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试。(ⅰ)已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试的概率；(ⅱ)学校决定在这已抽取到的6名学生中随机抽取2名学生接受考官L的面试，设第4组中有名学生被考官L面试，求的分布列和数学期望.

参考答案：(1)

第三组的频率为0.065=0.3；第四组的频率为0.045=0.2；第五组的频率为0.025=0.1.

……3分(2)(ⅰ)设“学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试”为事件A,第三组应有3人进入面试则:

P(A)=

……6分(ⅱ)第四组应有2人进入面试，则随机变量可能的取值为0,1,2.

…………7分且，则随机变量的分布列为:012P

……10分

……12分19.某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示），规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败．

晋级成功晋级失败合计男16

女

50合计

（Ⅰ）求图中a的值；（Ⅱ）根据已知条件完成下面2×2列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？（Ⅲ）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为X，求X的分布列与数学期望E（X）．（参考公式：，其中n=a+b+c+d）P（K2≥k0）0.400.250.150.100.050.025k00.7801.3232.0722.7063.8415.024参考答案：【考点】BO：独立性检验的应用；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）由频率和为1，列出方程求a的值；（Ⅱ）由频率分布直方图求出晋级成功的频率，计算晋级成功的人数，填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（Ⅲ）由频率分布直方图知晋级失败的频率，将频率视为概率，知随机变量X服从二项分布，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望；【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知（2a+0.020+0.030+0.040）×10=1，解得a=0.005；（Ⅱ）由频率分布直方图知，晋级成功的频率为0.20+0.05=0.25，所以晋级成功的人数为100×0.25=25（人），填表如下：

晋级成功晋级失败合计男163450女94150合计2575100假设“晋级成功”与性别无关，根据上表数据代入公式可得，所以有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关；（Ⅲ）由频率分布直方图知晋级失败的频率为1﹣0.25=0.75，将频率视为概率，则从本次考试的所有人员中，随机抽取1人进行约谈，这人晋级失败的概率为0.75，所以X可视为服从二项分布，即，，故，，，，，所以X的分布列为X01234P（X=k）数学期望为，或（）．20.[选修4-5：不等式选讲]已知函数.若函数的最小值为m，正实数a，b满足，求的最小值，并求出此时a，b的值.参考答案：解：依题意，，当时，函数有最小值10，故，故，当且仅当时等号成立，此时，.

21.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆的参数方程为参数）．以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆的极坐标方程；（2）直线的极坐标方程是，射线与圆的交点为，与直线的交点为，求线段的长．参考答案：圆的普通方程为，又所以圆的极坐标方程为