考研数学一重积分

考研数学一重积分1.【单项选择题】则（）．A.I1≤I2≤I3B.I1≤I3≤I2C.I3≤I2≤I1D.I3≤I1≤I2正确答案：B参考解析：D如图6—1所示，在D上有故B正确．2.【单项选择题】A.I=0B.I>0C.I<0D.I的正负与k有关正确答案：C参考解析：3.【单项选择题】A.B.C.D.正确答案：C参考解析：4.【单项选择题】I=（）．A.B.C.D.正确答案：C参考解析：积分区域D如图所示，所以C正确．5.【单项选择题】设V：x2+y2+z2≤R2，z≥0，V1是V位于第一卦限的部分，则（）．A.B.C.D.正确答案：A参考解析：积分区域V关于yOz面和xOz面对称，z=zx0y0关于x与y为偶函数，故A正确．6.【单项选择题】中D：x2+y2≤1，则（）．A.I1>I2>I3B.I1<I2<I3C.I2>I1>I3D.I3>I1>I2正确答案：B参考解析：7.【单项选择题】A.B.C.D.πln2正确答案：A参考解析：利用二重积分的定义，有8.【单项选择题】A.B.C.D.正确答案：D参考解析：此题是极坐标下的二次积分化为直角坐标下的二次积分，关键是正确画图，如图所示．9.【单项选择题】A.B.C.D.正确答案：C参考解析：

原积分域为直线y=x，x+y=2，与y轴围成的三角形区域，故应选(C)．10.【单项选择题】设积分区域D={(z，y)|0≤x≤1，0≤y≤1)，则二重积分A.．B.．C.．D.．正确答案：D参考解析：11.【单项选择题】A.I1>I2>I3B.I2>I3>I1C.I1<I2<I3D.I2<I3<I1正确答案：B参考解析：12.【单项选择题】A.2πe4B.π(e4-1)C.2π(e4-1)D.πe4正确答案：B参考解析：·13.【单项选择题】A.0B.1C.2D.3正确答案：C参考解析：如图所示，由轮换对称性，有14.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解析】由于的原函数不能用初等函数表达，故交换积分顺序才能计算．原积分区域D如图6—5所示，15.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解析】16.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解析】16.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解析】17.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解析】

D如图6—10所示，用极坐标有18.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：2ln(1+)-【解析】19.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解析】20.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解析】

如图6—12所示，设21.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：0【解析】

22.【填空题】球体x2+y2+z2=R2(R>0)被圆柱面x2+y2=Rx所截得含在圆柱面内的立体的体积为_______．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解析】xOy坐标面上方部分立体如图6—14所示，则23.【填空题】设平面薄片(密度p=1)由y2=x3与直线y=x所围，则D对x轴和y轴的转动惯量分别为Ix=_______，Iy=_______．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解析】24.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解析】

由已知，有25.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：(ln2)2【解析】

利用极坐标求解

．如图6—38所示，D关于y=x对称，且26.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解析】

交换积分顺序，得27.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解析】

积分区域如图6—39所示，交换极坐标顺序，则28.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解析】

极坐标下交换积分顺序可视θ为x轴，r为y轴，用直角坐标处理(包括画图和确定积分限)．依题意，已知积分区域如图6—40所示．29.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解析】

由于D为椭圆形区域，故用广义极坐标进行计算．30.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解析】

直接积分比较困难，交换积分顺序，积分区域如图6—42所示，先对x积分，得31.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解析】

V由下半圆锥与上半球面所围，如图所示，V关于yOz面对称，且被积函数x是奇函数，故32.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解析】

本题在直角坐标下不易计算，利用极坐标计算．33.【填空题】则f(x，y)=______．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解析】34.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解析】35.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解析】36.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解析】先二后一法．如图所示，记所围区域为Ω．37.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解析】38.【解答题】计算下列二重积分：(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)(IV)请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：(Ⅰ)D如图6—17所示，先对y积分较简便．(Ⅱ)为初等函数，故只能先对x积分．(Ⅲ)(Ⅳ)D如图6—20所示，作辅助线y=-arcsinx(-1≤x≤0)，将D划分为D1与D2，则39.【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：

用x2+y2=4将D划分为D1与D2，如图6—23所示，则40.【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：41.【解答题】超过1+x+y的最大整数．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：

如图6—25所示，直线x+y=i(i=1，2，3，4)将D分为4个区域Dk(k=1，2，3，4)，则[1+x+y]=k(k=1，2，3，4)，故42.【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：

由符号函数的定义，知43.【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：将D分成D=D1+D2+D3，如图6—28所示，则43.【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：将D分成D=D1+D2+D3，如图6—28所示，则44.【解答题】(Ⅰ)(x2+y2)2=2(x2-y2)；(Ⅱ)(x2+y2)2=2xy．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：

(Ⅰ)双纽线(x2+y2)2=2(x2-y2)如图6—29所示，由于D关于x轴对称，xy关于y是奇函数，故(Ⅱ)双纽线(x2+y2)2=2xy如图6—30所示，由于D关于原点对称，而xy=(-x)(-y)，故45.【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：

用柱面坐标．积分区域V如图6—32所示，46.【解答题】计算积分请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：

积分区域D如图6—46所示，显然D关于直线x=y对称，则47.【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：型，利用洛必达法则，需交换积分顺序，二次积分表示的积分区域如图6—47所示．48.【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：积分区域D如图6-49所示，用极坐标．当t≠0时，49.【解答题】设f(t)在(-∞，+∞)内有连续导数，且求f(t)．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：由已知，f(0)=0，f(t)是偶函数，只需讨论t>0的情况．用极坐标，有50.【解答题】设f(x，y)在区域：0≤x≤1，0≤y≤1上连续，f(0，0)=0，且f(x，y)在点(0，0)处可微请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：交换积分顺序，如图6—50所示，51.【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：所证不等式变形为52.【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：

积分区域D如图6—52所示，设其密度为常数ρ，考虑D的对称性，质心在x=π上，只需求53.【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：

考虑到被积函数3x2+5y2+7z2关于z是偶函数，对V补上下半球体得V1：x2+y2+z2≤R2(如图6—53)，则V1关于直线x=y=z对称，故54.【解答题】(Ⅰ)(Ⅱ)请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：

(Ⅰ)依题意，这是含参数t的三重积分，积分区域V是由圆柱面x2+y2=t2，平面z=0，z=h所围，采用柱面坐标，则V：0≤θ≤2π，0≤r≤|t|，0≤z≤h．(Ⅱ)利用洛必达法则，有55.【解答题】设f(u)在[-1，1]上连续，D：|x|+|y|≤1，证明：请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：积分区域如图6—57(a)所示，56.【解答题】设D由x轴，曲线y=f(x)(f(x)≥0)，x=0，x=a(a>0)围成，平面图形D的质心(形心)的横坐标为(Ⅰ)(Ⅱ)求f(x)．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：

(Ⅰ)如图6—59所示，(Ⅱ)由(Ⅰ)知57.【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：积分区域D如图6—60所示，在直角坐标下，58.【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：

59.【解答题】请查看答案解析后对本题进行判