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文档简介
考研数学一线性方程组1.【单项选择题】已知η1,η2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同解,ξ1,ξ2是对应齐次线性方程组Ax(江南博哥)=0的基础解系,k1,k2为任意常数,则Ax=b的通解为().A.
B.
C.
D.
正确答案:B参考解析:Ax=b的通解
为Ax=0的通解
加上Ax=b的一个特解
,根据非齐次和齐次线性方程组解
的性质与结构,知
2.【单项选择题】设A是n阶矩阵,对方程组(Ⅰ)Ax=0和(Ⅱ)ATAx=0,必有().A.(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解,(Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解B.(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解,但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解C.(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解,(Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解D.(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解,但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解正确答案:A参考解析:由Ax=0,得ATAx=AT(Ax)=0,故Ax=0的解释ATAx=0的解,反之,若x是ATAx=0的解,令Ax=b,则bT=(Ax)T=xTAT,从而bTb=xTATAx=0,于是b的各分量的平方和为0,故b=0,从而Ax=0,因此ATAx=0的解释Ax=0的解。3.【单项选择题】设A是n阶矩阵,若对任意的n维列向量α,有A*α=0,则Ax=0的基础解系所含解向量的个数k满足().A.k=0B.k=1C.k>1D.k=n正确答案:C参考解析:
4.【单项选择题】AB=O,则必有().A.λ=-2且|B|=0B.λ=-2且|B|≠0C.λ=1且|B|=0D.λ=1且|B|≠0正确答案:C参考解析:
由AB=0,知B的每一个列向量都是Ax=0的解.又B≠0,知Ax=0有非零解,从而
5.【单项选择题】设矩阵Am×n,Bn×m,则().A.当m>n时,AB必可逆B.当m>n时,必有|AB|=0C.当n>m时,必有r(AB)<mD.当n>m时,ABx=0必有唯一解正确答案:B参考解析:
对选项B,由r(AB)≤r(A)≤n<m,而AB为m×m矩阵,故必有|AB|=0.6.【单项选择题】设A是n阶矩阵,齐次线性方程组Ax=0有两个线性无关的解,则().A.A*x=0的解均是Ax=0的解B.Ax=0的解均是A*x=0的解C.Ax=0与A*x=0无非零公共解D.Ax=0与A*x=0恰好由一个非零解构成公共基础解系正确答案:B参考解析:
7.【单项选择题】设AT=(α1,α2,…,αn-1)是n×(n-1)矩阵,r(AT)=n-1,β1,β2是与α1,α2,…,αn-1都正交的两个不同的n维列向量,k是任意常数,则方程组Ax=0的通解为().A.k(β1-β2)B.k(β1+β2)C.kβ1D.kβ2正确答案:A参考解析:由已知,r(A)-r(AT)=n-1,Ax=0的基础解
系有n-r(A)=1个向量.
8.【单项选择题】设A是n阶矩阵,对于齐次线性方程组(Ⅰ)Anx=0和(Ⅱ)An+1x=0,现有四个命题①(Ⅰ)的解必是(Ⅱ)的解;②(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解;③(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解;④(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解.以上命题中正确的是A.①②.B.①④.C.③④.D.②③.正确答案:A参考解析:9.【单项选择题】已知α1,α2,α3是齐次方程组Ax=0的基础解系,则Ax=0的基础解系还可以是A.与α1,α2,α3等价的向量组.B.α1-α2,α2-α3,α3-α1.C.与α1,α2,α3等秩的向量组.D.α1,α1+α2,α1+α2+α3.正确答案:D参考解析:10.【单项选择题】设A,B是满足AB=O的任意两个非零矩阵,则必有( ).A.A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关B.A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关C.A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关D.A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关正确答案:A参考解析:设A,B分别为m×n及n×s矩阵,因为AB=O,所以r(A)+r(B)≤n,因为A,B为非零矩阵,所以r(A)≥1,r(B)≥1,从而r(A)<n,r(B)<n,故A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关,A正确11.【单项选择题】设n阶矩阵A的伴随矩阵A*≠O,且非齐次线性方程组AX=b有两个不同解η1,η2,则下列命题正确的是( ).A.AX=b的通解为k1η1+k2η2B.η1+η2为AX=b的解C.方程组AX=0的通解为k(η1-η2)D.AX=b的通解为k1η1+k2η2+0.5(η1+η2)正确答案:C参考解析:因为非齐次线性方程组AX=b的解不唯一,所以r(A)<n,又因为A*≠O,所以r(A)=n-1,η2-η1为齐次线性方程组AX=0的基础解系,C正确。12.【单项选择题】设A为m×n阶矩阵,则方程组AX=b有唯一解的充分必要条件是( ).A.r(A)=mB.r(A)=nC.A为可逆矩阵D.r(A)=n且b可由A的列向量组线性表示正确答案:D参考解析:方程组AX=b有解的充分必要条件是b可由矩阵A的列向量组线性表示,在方程组AX=b有解的情形下,其有唯一解的充分必要条件是r(A)=n,故选(D).13.【单项选择题】设n(≥2)为正整数,A是(n-1)×n矩阵,划去A的第j列后构成的n-1阶行列式记为aj,令bj=(-1)j-1aj(j=1,2,…,n).则对于一元齐次线性方程组Ax=0,下列结论一定正确的是( ).A.向量[a1,a2,…,an]T是Ax=0的一个解B.向量[b1,b2,…,bn]T是Ax=0的一个解C.向量[a1,a2,…,an]T是Ax=0的一个基础解系D.向量[b1,b2,…,bn]T是Ax=0的一个基础解系正确答案:B参考解析:14.【单项选择题】齐次线性方程组的系数矩阵为A,若存在3阶矩阵B≠O,使得AB=O,则( ).A.λ=-2且|B|=0B.λ=-2且|B|≠0C.λ=1且|B|=0D.λ=1且|B|≠0正确答案:C参考解析:15.【单项选择题】设A是n阶矩阵,对于齐次线性方程组(Ⅰ)Anx=0和(Ⅱ)An+1x=0,现有命题①(Ⅰ)的解必是(Ⅱ)的解;②(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解;③(Ⅰ)的解不一定是(Ⅱ)的解;④(Ⅱ)的解不一定是(Ⅰ)的解.其中正确的是( ).A.①④B.①②C.②③D.③④正确答案:B参考解析:当Anx=0时,易知An+1x=A(Anx)=0,故(I)的解必是(II)的解,也即①正确,③不正确。当An+1=0时,假设Anx≠0,则有x,Ax,...,Anx均不为零向量,可以证明这种情况下,x,Ax,...,Anx是线性无关的(按定义证明,依次左乘An,An-1,...,A即可证得),由于x,Ax,...,Anx均为n维向量,而n+1个n维向量必定是线性相关的,矛盾,故假设不成立,因此必有Anx=0,可知(II)的解必是(I)的解,故②正确,④不正确。选B。16.【单项选择题】已知ξ1,ξ2,…,ξr(r≥3)是Ax=0的基础解系,则下列向量组也是Ax=0的基础解系的是( ).A.B.C.ξ1,ξ2,…,ξr的一个等价向量组D.ξ1,ξ2,…,ξr的一个等秩向量组正确答案:B参考解析:17.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断:答对了答错了正确答案:参考解析:-1或0.【解析】
18.【填空题】设α1,α2,α3,β均为三维列向量,A=(β-α1-2α2-3α3,α1,α2,α3),则方程组Ax=β的一个特解为_______.请查看答案解析后对本题进行判断:答对了答错了正确答案:参考解析:(1,1,2,3)T【解析】
19.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断:答对了答错了正确答案:参考解析:【解析】20.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断:答对了答错了正确答案:参考解析:-5或-6【解析】21.【填空题】设A为n阶矩阵,A的各行元素之和为0且r(A)=n-1,则方程组AX=0的通解为请查看答案解析后对本题进行判断:答对了答错了正确答案:参考解析:22.【填空题】设A为n阶矩阵,且|A|=0,Aki≠0,则AX=0的通解为_______.请查看答案解析后对本题进行判断:答对了答错了正确答案:参考解析:23.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断:答对了答错了正确答案:参考解析:24.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断:答对了答错了正确答案:参考解析:25.【填空题】已知α1,α2,α3是线性方程组Ax=0的一个基础解系,若向量组β1=2α2-α3,β2=α1-α2+α3,β2=α1+α2同为该方程组的一个基础解系,则t_______.请查看答案解析后对本题进行判断:答对了答错了正确答案:参考解析:≠1【解析】26.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断:答对了答错了正确答案:参考解析:【解析】27.【填空题】若方程组与方程组同解,则a=_______.请查看答案解析后对本题进行判断:答对了答错了正确答案:参考解析:1【解析】对于方程组(Ⅱ),其系数行列式
28.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断:答对了答错了正确答案:参考解析:k[-1,1,0]T,k为任意常数【解析】由于A为4×3矩阵,AB=O且B≠O,可知r(A)<3,对A作初等行变换29.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断:答对了答错了正确答案:参考解析:1【解析】30.【填空题】与α1=[1,2,3,-1]T,α2=[0,1,1,2]T,α3=[2,1,3,0]T都正交的单位向量是_______.请查看答案解析后对本题进行判断:答对了答错了正确答案:参考解析:【解析】
31.【解答题】解?当有无穷多解时,求其通解.请查看答案解析后对本题进行判断:答对了答错了参考解析:
已知方程组的系数矩阵A为3阶方阵,可以通过行列式讨论参数A,确定其解的情况.
32.【解答题】(Ⅰ)求方程组①与②的基础解系;(Ⅱ)求方程组①与②的非零公共解.请查看答案解析后对本题进行判断:答对了答错了参考解析:(Ⅰ)
(Ⅱ)
33.【解答题】求方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的非零公共解.请查看答案解析后对本题进行判断:答对了答错了参考解析:
方程组(Ⅰ)
34.【解答题】设有方程组(Ⅰ)求方程组①的通解;(Ⅱ)当a,b,c为何值时,方程组①与②同解.请查看答案解析后对本题进行判断:答对了答错了参考解析:
(Ⅰ)对①的增广矩阵作初等行变换,
(Ⅱ)将方程组①的通解x1=-2+k,x2=-4+k,x3=-5+2k,x4=k代入方程组②的第一个方程,得(-2+k)+a(-4+k)-(-5+2k)-k=-5,由k的任意性,可得a=2.同样将①的通解
代入②的第二个方程,得6(-4+k)-(-5+2k)-2k=-11,解
得b=4.将①的通解
代入②中的第三个方程,得(-5+2k)-2k=-c+1,解
得c=6,故方程组②为
与①的通解
相同.综上所述,当a=2,b=4,c=6时,方程组①与②同解
.35.【解答题】设n阶矩阵A满足|A|=0,Aij为|A|的元素aij对应的代数余子式,且A11≠0,求方程组A*x=0的基础解系和通解.请查看答案解析后对本题进行判断:答对了答错了参考解析:
36.【解答题】设A是m×n矩阵,r(A)=n-2,非齐次线性方程组Ax=b的3个解向量窿α1,α2,α3满足α1+α2=(1,2,3,4)T,α2+2α3=(-2,1,5,3)T,2α3+3α1=(11,5,-6,7)T,求方程组Ax=b的通解.请查看答案解析后对本题进行判断:答对了答错了参考解析:依题设,找出Ax=0的基础解
及Ax=b的一个特解
.
37.【解答题】设A=(α1,α2,α3,α4)是4阶矩阵,非齐次线性方程组Ax=β的通解为(1,2,2,1)T+k(1,-2,4,0)T,k为任意常数,记B=(α3,α2,α1,β-α4).(Ⅰ)证明:r(B)=2;(Ⅱ)求方程组Bx=α1-α2的通解.请查看答案解析后对本题进行判断:答对了答错了参考解析:
(Ⅰ)由Ax=β的解的结构,知r(A)=r(α1,α2,α3,α4)=3,并有
(Ⅱ)
38.【解答题】设A为3×4矩阵,r(A)=1,若向量组α1=(1,2,0,2)T,α2=(-1,-1,1,a)T,α3=(1,-1,a,5)T,α4=(2,a,-3,-5)T与方程组Ax=0的基础解系等价,求Ax=0的通解.请查看答案解析后对本题进行判断:答对了答错了参考解析:
由α1,α2,α3,α4与Ax=0的基础解系等价,知α1,α2,α3,α4必是Ax=0的解
,又r(A)=1,知Ax=0有n-r(A)=4-1=3个线性无关的解向量,故r(α1,α2,α3,α4)=3,其极大线性无关组是Ax=0的基础解系.对(α1,α2,α3,α4)作初等行变换,有
39.【解答题】已知平面上三条不同直线的方程分别为l1:ax+2by+3c=0,l2:bx+2cy+3a=0,l3:cx+2ay+3b=0,证明:这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0.请查看答案解析后对本题进行判断:答对了答错了参考解析:(必要性)设三条直线交于一点,则非齐次线性方程组
40.【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断:答对了答错了参考解析:A中有6个未知参数,不能用初等行变换求解
,利用特征向量的定义
41.【解答题】设A是m×n矩阵,b为m维列向量,证明:线性方程组ATAx=ATb必有解.请查看答案解析后对本题进行判断:答对了答错了参考解析:只要证明r(ATA)=r(ATA|ATb).
42.【解答题】设A是5×4矩阵,r(A)=2,已知α1,α2,α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个解向量,且α1+α2=(4,6,-8,4)T,α3=(1,2,-1,1)T,又(0,1,-3,0)T是Ax=0的解,求Ax=b的通解.请查看答案解析后对本题进行判断:答对了答错了参考解析:
43.【解答题】已知A(1,1),B(2,2),c(a,1)为坐标平面上的点,其中a为参数,问是否存在经过点A,B,C的曲线y=k1x+k2x2+k3x3?如果存在,求出曲线方程.请查看答案解析后对本题进行判断:
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