考研数学一线性方程组

考研数学一线性方程组1.【单项选择题】已知η1，η2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同解，ξ1，ξ2是对应齐次线性方程组Ax（江南博哥）=0的基础解系，k1，k2为任意常数，则Ax=b的通解为（）．A.

B.

C.

D.

正确答案：B参考解析：Ax=b的通解

为Ax=0的通解

加上Ax=b的一个特解

，根据非齐次和齐次线性方程组解

的性质与结构，知

2.【单项选择题】设A是n阶矩阵，对方程组(Ⅰ)Ax=0和(Ⅱ)ATAx=0，必有（）．A.(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解B.(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解C.(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解D.(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解正确答案：A参考解析：由Ax=0，得ATAx=AT(Ax)=0，故Ax=0的解释ATAx=0的解，反之，若x是ATAx=0的解，令Ax=b，则bT=(Ax)T=xTAT，从而bTb=xTATAx=0，于是b的各分量的平方和为0，故b=0，从而Ax=0，因此ATAx=0的解释Ax=0的解。3.【单项选择题】设A是n阶矩阵，若对任意的n维列向量α，有A*α=0，则Ax=0的基础解系所含解向量的个数k满足（）．A.k=0B.k=1C.k>1D.k=n正确答案：C参考解析：

4.【单项选择题】AB=O，则必有（）．A.λ=-2且|B|=0B.λ=-2且|B|≠0C.λ=1且|B|=0D.λ=1且|B|≠0正确答案：C参考解析：

由AB=0，知B的每一个列向量都是Ax=0的解．又B≠0，知Ax=0有非零解，从而

5.【单项选择题】设矩阵Am×n，Bn×m，则（）．A.当m>n时，AB必可逆B.当m>n时，必有|AB|=0C.当n>m时，必有r(AB)<mD.当n>m时，ABx=0必有唯一解正确答案：B参考解析：

对选项B，由r(AB)≤r(A)≤n<m，而AB为m×m矩阵，故必有|AB|=0．6.【单项选择题】设A是n阶矩阵，齐次线性方程组Ax=0有两个线性无关的解，则（）．A.A*x=0的解均是Ax=0的解B.Ax=0的解均是A*x=0的解C.Ax=0与A*x=0无非零公共解D.Ax=0与A*x=0恰好由一个非零解构成公共基础解系正确答案：B参考解析：

7.【单项选择题】设AT=(α1，α2，…，αn-1)是n×(n-1)矩阵，r(AT)=n-1，β1，β2是与α1，α2，…，αn-1都正交的两个不同的n维列向量，k是任意常数，则方程组Ax=0的通解为（）．A.k(β1-β2)B.k(β1+β2)C.kβ1D.kβ2正确答案：A参考解析：由已知，r(A)-r(AT)=n-1，Ax=0的基础解

系有n-r(A)=1个向量．

8.【单项选择题】设A是n阶矩阵，对于齐次线性方程组(Ⅰ)Anx=0和(Ⅱ)An+1x=0，现有四个命题①(Ⅰ)的解必是(Ⅱ)的解；②(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解；③(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解；④(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解.以上命题中正确的是A.①②.B.①④.C.③④.D.②③.正确答案：A参考解析：9.【单项选择题】已知α1，α2，α3是齐次方程组Ax=0的基础解系，则Ax=0的基础解系还可以是A.与α1，α2，α3等价的向量组．B.α1-α2，α2-α3，α3-α1．C.与α1，α2，α3等秩的向量组．D.α1，α1+α2，α1+α2+α3．正确答案：D参考解析：10.【单项选择题】设A，B是满足AB=O的任意两个非零矩阵，则必有(  )．A.A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关B.A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关C.A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关D.A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关正确答案：A参考解析：设A，B分别为m×n及n×s矩阵，因为AB=O，所以r(A)+r(B)≤n，因为A，B为非零矩阵，所以r(A)≥1，r(B)≥1，从而r(A)<n，r(B)<n，故A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关，A正确11.【单项选择题】设n阶矩阵A的伴随矩阵A*≠O，且非齐次线性方程组AX=b有两个不同解η1，η2，则下列命题正确的是(  )．A.AX=b的通解为k1η1+k2η2B.η1+η2为AX=b的解C.方程组AX=0的通解为k(η1-η2)D.AX=b的通解为k1η1+k2η2+0.5(η1+η2)正确答案：C参考解析：因为非齐次线性方程组AX=b的解不唯一，所以r(A)<n，又因为A*≠O，所以r(A)=n-1，η2-η1为齐次线性方程组AX=0的基础解系，C正确。12.【单项选择题】设A为m×n阶矩阵，则方程组AX=b有唯一解的充分必要条件是(  )．A.r(A)=mB.r(A)=nC.A为可逆矩阵D.r(A)=n且b可由A的列向量组线性表示正确答案：D参考解析：方程组AX=b有解的充分必要条件是b可由矩阵A的列向量组线性表示，在方程组AX=b有解的情形下，其有唯一解的充分必要条件是r(A)=n，故选(D)．13.【单项选择题】设n(≥2)为正整数，A是(n-1)×n矩阵，划去A的第j列后构成的n-1阶行列式记为aj，令bj=(-1)j-1aj(j=1，2，…，n)．则对于一元齐次线性方程组Ax=0，下列结论一定正确的是(  )．A.向量[a1，a2，…，an]T是Ax=0的一个解B.向量[b1，b2，…，bn]T是Ax=0的一个解C.向量[a1，a2，…，an]T是Ax=0的一个基础解系D.向量[b1，b2，…，bn]T是Ax=0的一个基础解系正确答案：B参考解析：14.【单项选择题】齐次线性方程组的系数矩阵为A，若存在3阶矩阵B≠O，使得AB=O，则(  )．A.λ=-2且|B|=0B.λ=-2且|B|≠0C.λ=1且|B|=0D.λ=1且|B|≠0正确答案：C参考解析：15.【单项选择题】设A是n阶矩阵，对于齐次线性方程组(Ⅰ)Anx=0和(Ⅱ)An+1x=0，现有命题①(Ⅰ)的解必是(Ⅱ)的解；②(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解；③(Ⅰ)的解不一定是(Ⅱ)的解；④(Ⅱ)的解不一定是(Ⅰ)的解．其中正确的是(  )．A.①④B.①②C.②③D.③④正确答案：B参考解析：当Anx=0时，易知An+1x=A(Anx)=0，故(I)的解必是(II)的解，也即①正确，③不正确。当An+1=0时，假设Anx≠0，则有x，Ax，...，Anx均不为零向量，可以证明这种情况下，x，Ax，...，Anx是线性无关的(按定义证明，依次左乘An，An-1，...，A即可证得)，由于x，Ax，...，Anx均为n维向量，而n+1个n维向量必定是线性相关的，矛盾，故假设不成立，因此必有Anx=0，可知(II)的解必是(I)的解，故②正确，④不正确。选B。16.【单项选择题】已知ξ1，ξ2，…，ξr(r≥3)是Ax=0的基础解系，则下列向量组也是Ax=0的基础解系的是(  )．A.B.C.ξ1，ξ2，…，ξr的一个等价向量组D.ξ1，ξ2，…，ξr的一个等秩向量组正确答案：B参考解析：17.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：-1或0．【解析】

18.【填空题】设α1，α2，α3，β均为三维列向量，A=(β-α1-2α2-3α3，α1，α2，α3)，则方程组Ax=β的一个特解为_______．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：(1，1，2，3)T【解析】

19.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解析】20.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：-5或-6【解析】21.【填空题】设A为n阶矩阵，A的各行元素之和为0且r(A)=n-1，则方程组AX=0的通解为请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：22.【填空题】设A为n阶矩阵，且|A|=0，Aki≠0，则AX=0的通解为_______．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：23.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：24.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：25.【填空题】已知α1，α2，α3是线性方程组Ax=0的一个基础解系，若向量组β1=2α2-α3，β2=α1-α2+α3，β2=α1+α2同为该方程组的一个基础解系，则t_______．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：≠1【解析】26.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解析】27.【填空题】若方程组与方程组同解，则a=_______．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：1【解析】对于方程组(Ⅱ)，其系数行列式

28.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：k[-1，1，0]T，k为任意常数【解析】由于A为4×3矩阵，AB=O且B≠O，可知r(A)<3，对A作初等行变换29.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：1【解析】30.【填空题】与α1=[1，2，3，-1]T，α2=[0，1，1，2]T，α3=[2，1，3，0]T都正交的单位向量是_______．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解析】

31.【解答题】解?当有无穷多解时，求其通解．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：

已知方程组的系数矩阵A为3阶方阵，可以通过行列式讨论参数A，确定其解的情况．

32.【解答题】(Ⅰ)求方程组①与②的基础解系；(Ⅱ)求方程组①与②的非零公共解．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：(Ⅰ)

(Ⅱ)

33.【解答题】求方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的非零公共解．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：

方程组(Ⅰ)

34.【解答题】设有方程组(Ⅰ)求方程组①的通解；(Ⅱ)当a，b，c为何值时，方程组①与②同解．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：

(Ⅰ)对①的增广矩阵作初等行变换，

(Ⅱ)将方程组①的通解x1=-2+k，x2=-4+k，x3=-5+2k，x4=k代入方程组②的第一个方程，得(-2+k)+a(-4+k)-(-5+2k)-k=-5，由k的任意性，可得a=2．同样将①的通解

代入②的第二个方程，得6(-4+k)-(-5+2k)-2k=-11，解

得b=4．将①的通解

代入②中的第三个方程，得(-5+2k)-2k=-c+1，解

得c=6，故方程组②为

与①的通解

相同．综上所述，当a=2，b=4，c=6时，方程组①与②同解

．35.【解答题】设n阶矩阵A满足|A|=0，Aij为|A|的元素aij对应的代数余子式，且A11≠0，求方程组A*x=0的基础解系和通解．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：

36.【解答题】设A是m×n矩阵，r(A)=n-2，非齐次线性方程组Ax=b的3个解向量窿α1，α2，α3满足α1+α2=(1，2，3，4)T，α2+2α3=(-2，1，5，3)T，2α3+3α1=(11，5，-6，7)T，求方程组Ax=b的通解．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：依题设，找出Ax=0的基础解

及Ax=b的一个特解

．

37.【解答题】设A=(α1，α2，α3，α4)是4阶矩阵，非齐次线性方程组Ax=β的通解为(1，2，2，1)T+k(1，-2，4，0)T，k为任意常数，记B=(α3，α2，α1，β-α4)．(Ⅰ)证明：r(B)=2；(Ⅱ)求方程组Bx=α1-α2的通解．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：

(Ⅰ)由Ax=β的解的结构，知r(A)=r(α1，α2，α3，α4)=3，并有

(Ⅱ)

38.【解答题】设A为3×4矩阵，r(A)=1，若向量组α1=(1，2，0，2)T，α2=(-1，-1，1，a)T，α3=(1，-1，a，5)T，α4=(2，a，-3，-5)T与方程组Ax=0的基础解系等价，求Ax=0的通解．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：

由α1，α2，α3，α4与Ax=0的基础解系等价，知α1，α2，α3，α4必是Ax=0的解

，又r(A)=1，知Ax=0有n-r(A)=4-1=3个线性无关的解向量，故r(α1，α2，α3，α4)=3，其极大线性无关组是Ax=0的基础解系．对(α1，α2，α3，α4)作初等行变换，有

39.【解答题】已知平面上三条不同直线的方程分别为l1：ax+2by+3c=0，l2：bx+2cy+3a=0，l3：cx+2ay+3b=0，证明：这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：(必要性)设三条直线交于一点，则非齐次线性方程组

40.【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：A中有6个未知参数，不能用初等行变换求解

，利用特征向量的定义

41.【解答题】设A是m×n矩阵，b为m维列向量，证明：线性方程组ATAx=ATb必有解．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：只要证明r(ATA)=r(ATA|ATb)．

42.【解答题】设A是5×4矩阵，r(A)=2，已知α1，α2，α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个解向量，且α1+α2=(4，6，-8，4)T，α3=(1，2，-1，1)T，又(0，1，-3，0)T是Ax=0的解，求Ax=b的通解．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：

43.【解答题】已知A(1，1)，B(2，2)，c(a，1)为坐标平面上的点，其中a为参数，问是否存在经过点A，B，C的曲线y=k1x+k2x2+k3x3?如果存在，求出曲线方程.请查看答案解析后对本题进行判断：