2023届高考数学二轮复习大题专讲专练第20讲取值范围问题的解法含解析

第20讲取值范围问题的解法这一节主要讲解解析几何的范围问题,相对于前一讲最值问题来说难度加大,但和最值问题的解题思路很像,解题的核心思路是:构建所求几何量的含参一元函数,形如,并且进一步找到自变量范围,进而求出值域,即所求几何量的范围,常见的函数有:①二次函数;②"对勾函数";③反比例函数;④分式函数.若出现非常规函数,则可考虑通过换元“化归”为常规函数,或者利用导数进行解决.这里找自变量的取值范围在或者换元的过程中产生.除此之外,在找自变量取值范围时,还可以从以下几个方面考虑:①利用判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围.②利用已知参数的范围,求出新参数的范围,解题的关键是建立两个参数之间的等量关系.③利用基本不等式求出参数的取值范围.④利用函数值域的求法,确定参数的取值范围.弦长的取值范围【例1】若为圆的任意一条切线,与椭圆交于两点,,求的取值范围.【解析】设直线方程为:.直线为圆的切线,联立直线与椭圆方程得.,由韦达定理得弦长.令,【例2】过点的直线交椭圆于两点,为椭圆上一点,为坐标原点,且满足,其中,求的取值范围.【解析】设直线的方程为:,,将该直线方程与椭圆方程联立得,设,设.,有,,把点坐标代入椭圆方程中得简得,而,,.令.. ,当的最大值为.当时,.,的取值范围为.【例3】已知是椭圆的两个焦点,为坐标原点,点,在椭圆上,且是以为直径的圆,直线与相切,并且与椭圆交于不同的两点.(1)求椭圆的标准方程.(2)当,且满足时,求弦长的取值范围。【解析】(1)由得,可得,将点代入椭圆方程得又,与上式联立解得,故椭圆标准方程为.(2)直线与相切,则由得直线与椭圆交于不同的两,点.设,..设,则.在上单调递增,.弦长的取值范围为.三角形面积的取值范围【例1】如下图所示,已知椭圆左、右焦点分别为为椭圆上任意一点,过的直线与椭圆交于两点,点在线段上,且,点关于原点对称的点为点,求面积的取值范围.【解析】由题意,,设,,则,由题意可知,,联立,整理得.由根与系数的关系得,..令,则,在上是增函数,.面积的取值范围为.【例2】设直线与椭圆相交于不同的两点为线段的中点,为坐标原点,射线与椭圆相交于点,且点在以为直径的圆上.记的面积分别为,求的取值范围.【解析】为线段的中点,.(1)当直线的斜率不存在时,由及椭圆的对称性,不妨设所在直线的方程为,得.则.(2)当直线的斜率存在时,设直线:.联立,消去,得.,即.化简得经检验满足成立..时,射线所在的直线方程为.联立,消去得..,.综上,的取值范围为.四边形面积的取值范围【例1】已知椭圆的离心率为是椭圆的左、右焦点,是椭圆上一点,的最小值为2.(1)求椭圆的方程.(2)过点且与轴不重合的直线交椭圆于两点,圆是以为圆心椭圆的长轴长为半径的圆,过且与垂直的直线与圆交于两点,求四边形面积的取值范围.【解析】(1)已知的最小值为,又,解得粗圆方程为.(2)①当与轴不垂直时,设的方程为,.联立得,由韦达定理得,设过点且与垂直的直线:到的距离为,四边形的面积.可得当与轴不垂直时,四边形面积的取值范围为②当与轴垂直时,其方程为,,四边形的面积为12.综上,四边形面积的取值范围为.【例2】已知椭圆0)的焦距为4,左、右焦点分别为,且与抛物线的交点所在的直线经过.(1)求粗圆的方程.(2)分别过作平行直线,若直线与交于两点,与拋物线无公共点,直线与交于两点,其中点在轴上方,求四边形的面积的取值范围.【解析】(1)依题意得,则,.椭圆与拋物线的一个交点为.于是,从而.又,解得.椭圆的方程为.(2)依题意,直线的斜率不为0,设直线,联立,消去得,由得.联立,消去得则与间的距离(即点到m的距离),由椭圆的对称性知,四边形ABCD为平行四边形,四边形的面积的取值范围为.向量点积的取值范围【例1】设直线与椭圆:交于两点,为坐标原点,若,求的取值范围.【解析】设.联立得,,即 【例2】直线与椭圆交于不同的两点若存在点，使得四边形为平行四边形(为坐标原点),求的取值范围. 【解析】联立得.与交于不同的两点,解得.存在点,使得四边形为平行四边形,设,则参数的取值范围【例1】过点的直线交椭圆于不同的两点(在之间),且满足,求的取值范围.【解析】(1)当直线的斜率不存在时,即直线,此时,由解得.(2)当直线的斜率存在时,设直线:. 递增,即,解得.综上所述,的取值范围是.【例2】设椭圆的左顶点为,右顶点为,设过点的直线与椭圆交于点,且点在第一象限,点关于轴对称点为点,直线与直线交于点,若直线斜率大于,求直线的斜率的取值范围.【解析】设其中,则.由题意得.则直线为:,直线为:.联立得,即.【例3】若过点的直线与椭圆:交于不同的两点,且与圆没有公共点,设为椭圆上一点,满足(为坐标原点),求实数的取值范围.【解析】由题意可知直线斜率不为0,设直线.联立得.由得.设,由韦达定理得...点在椭圆上,,得.①直线与圆没有公共点,则,②.