不等式及其性质

TOC\o"13"\h\z\u题型1用不等式(组)表示不等关系 2题型2实数的大小比较 6◆类型1作差法 6◆类型2作商法 9题型3不等式的性质及应用 12题型4代数式的取值范围问题 15◆类型1直接法 15◆类型2待定系数法 18题型5证明题 21知识点一.基本事实两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a<b.依据如果a>b⇔a－b>0.如果a＝b⇔a－b＝0.如果a<b⇔a－b<0.结论要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小知识点二.不等式的性质性质别名性质内容注意1对称性a>b⇔b<a⇔2传递性a>b，b>c⇒a>c不可逆3可加性a>b⇔a＋c>b＋c可逆4可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>0))⇒ac>bcc的符号eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c<0))⇒ac<bc5同向可加性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>d))⇒a＋c>b＋d同向6同向同正可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0,c>d>0))⇒ac>bd同向7可乘方性a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)同正题型1用不等式(组)表示不等关系【例题1】（2023秋·高一课时练习）（1）限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，用不等式如何表示？（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，如何用不等式组表示上述关系？【答案】（1）v≤40；（2）f≥2.5【分析】由不等式的表示方法解决.【详解】（1）由题意，直接用不等式表示可得v≤40.（2）由题意，直接用不等式表示可得f≥2.5%【变式11】1.（2023秋·高一课时练习）用不等式表示下列关系.(1)x为实数，而且大于1不大于6；(2)x与y的平方和不小于2且不大于10.【答案】(1)1<x≤6(2)2≤【分析】（1）不大于即小于等于，用符号可表示为≤，即1<x≤6；（2）不小于即大于等于，平方和可表示为x2+y【详解】（1）x为实数且大于1可表示为x>1，不大于6可表示为x≤6，所以用不等式可表示为1<x≤6；（2）x与y的平方和不小于2可表示为x2+y所以用不等式可表示为2≤x【变式11】2.（2023·全国·高一课堂例题）糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水.下列关于糖水浓度的问题，能提炼出一个怎样的不等式呢？(1)如果向一杯糖水里加点糖，糖水变甜了；(2)把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡.【答案】(1)若b>a>0，m>0，则ab(2)若b1>a1>0，b【分析】（1）设糖水b克，含糖a克，得到糖水浓度为ab，加入m克糖后的糖水浓度为a+m（2）设淡糖水b1克，含糖a1克，得到淡糖水浓度为a1b1，设浓糖水b2克，含糖【详解】（1）解：设糖水b克，含糖a克，易知糖水浓度为ab加入m克糖后的糖水浓度为a+mb+m则提炼出的不等式为：若b>a>0，m>0，则ab（2）设淡糖水b1克，含糖a1克，易知淡糖水浓度为设浓糖水b2克，含糖a2克，易知浓糖水浓度为则混合后的糖水浓度为a1所提炼出的不等式为：若b1>a1>0，b【变式11】3.（多选）（2023秋·湖南衡阳·高三衡阳市田家炳实验中学校考阶段练习）某工艺厂用A、B两种型号不锈钢薄板制作矩形、菱形、圆3种图形模板，每个图形模板需要A、B不锈钢薄板及该厂2种薄板张数见下表矩形菱形圆总数A531055B12613125该厂签购制作矩形、菱形、圆3种模板分别为x，y，z（x,y,z∈NA．5x+3y+10z≥55 B．5x+3y+10z≤55C．12x+6y+13z≤125 D．12x+6y+13z≥125【答案】BC【分析】根据题意直接列不等式即可求解.【详解】因为每个矩形模板需要5张A薄板，每个菱形模板需要3张A薄板，每个圆模板需要10张A薄板，且共有55张A薄板，所以5x+3y+10z≤55，因为每个矩形模板需要12张B薄板，每个菱形模板需要6张B薄板，每个圆模板需要13张B薄板，且共有125张B薄板，所以12x+6y+13z≤125.故选：BC.【变式11】4.（2023·江苏·高一假期作业）下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？(1)如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了；(2)把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡；(3)如果向一杯糖水里加水，糖水变淡了.【答案】(1)a+mb+m>a(2)ab<a+c(3)ab>a【分析】由题意建立不等式，利用作差法比较大小即可得证.【详解】（1）设糖水b克，含糖a克，糖水浓度为ab，加入m克糖，即证明不等式a+m不妨用作差比较法，证明如下：a+mb+m-ab=∵a，b，m为正实数，且a<b，∴b+m>0,b-a>0，∴mb-abb+m（2）设原糖水b克，含糖a克，糖水浓度为ab；另一份糖水d克，含糖c克，糖水浓度为cd，且ab<c证明：∵a∴ad<bc，即bc-ad>0，ab即abcd即a+c（3）设原糖水b克，含糖a克，糖水浓度为ab，加入m克水，求证：a证明：a题型2实数的大小比较【方法总结】比较不等式的大小时，一般可采用以下几个方法：（1）作差比较法；若a-b≥0，则a≥b；a>0，b>0，且ab≥1时，◆类型1作差法【例题21】（2022秋·湖北十堰·高一校考期中）已知a=-xA．b<a<c B．a<b<cC．b<c<a D．c<b<a【答案】A【分析】作差法比较出a>b，c>a，从而得到b<a<c.【详解】a-b=-x2-2x-c-a=5-1--综上：b<a<c故选：A【变式21】1.（2023·全国·高一课堂例题）已知M=10+12A．M>N B．M=N C．M<N D．不能确定【答案】C【分析】根据题意，结合作差比较法，即可求解.【详解】因为M=10+12则M-N=10又因为9<10，所以3<10，所以3-10<0，可得3-故选：C【变式21】2.（2021秋·江苏盐城·高一校联考期中）甲、乙两人同时于上周和本周到同一加油站给汽车加油两次，甲每次加油20升，乙每次加油200元，若上周与本周油价不同，则在这两次加油中，平均价格较低的是（

）A．甲 B．乙 C．一样低 D．不能确定【答案】B【分析】根据题意，分别求得甲乙两次加油的平均价格，结合作差比较，即可得到答案.【详解】设两次加油时的单价分别为x元和y元，且x≠y，则甲每次加油20升，两次加油中，平均价格为20(x+y)40乙每次加油200元，两次加油中，平均价格为400200可得x+y2故选：B.【变式21】3.（2023秋·湖南长沙·高三周南中学校考开学考试）设互不相等的三个实数a,b,c满足b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+A．b>a>c B．b>c>aC．c>a>b D．c>b>a【答案】D【分析】根据给定条件，用a表示b，再利用作差法比较大小作答.【详解】由b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+于是b-a=1-a+a2=而c-b=(2-a)2≥0，且三个实数a,b,c所以a,b,c的大小关系是c>b>a.故选：D【变式21】4.（2022秋·天津滨海新·高一校考期中）已知a>0,b>0，M=a+bA．M>N B．M<N C．M≥N D．M≤N【答案】A【分析】平方后比较大小即可【详解】由题意得M2=a+b+2ab，N2=a+b故选：A【变式21】5.（2022秋·四川泸州·高一校考阶段练习）《几何原本》中的几何代数法（以几何方法研究数问题）成为了后世数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数公理或定理都能通过图形实现证明，也称之为无字证明．如图所示的图形中，在AB上取一点C，使得AC=a,BC=(1)请用a，b分别表示出CD，DE；(2)写出CD与DE的大小关系，并证明．【答案】(1)CD=ab(2)CD≥【分析】（1）根据相似三角形的判定与性质求解；（2）利用作差法判断大小.【详解】（1）连接BD，则AD⊥BD，∵CD⊥AB∴∠CBD=∴CBCD=CDCA由题意可得：OA同理可证：△CDE∼∴DE（2）CD证明如下：∵CD-DE=ab-∴CD◆类型2作商法【例题22】（2023·江苏·高一假期作业）已知a≥1，试比较M=a+1-a【答案】M<N【分析】方法1：采用作商比较法，结合分母有理化即可求解；方法2：先计算1M=a+1【详解】（方法1）因为a≥1，所以M=a+1所以MN因为a+1+a>a+（方法2）所以M=a+1又1M所以1M>1【变式22】1.（2023·全国·高三专题练习）设a>b>0，比较a2-b【答案】a【分析】先判断两个式子的符号，然后利用作商法与1进行比较即可.【详解】∵a>b>0⇒a+b>0,a-b>0，∴a∴a∴a【变式22】2.（2023秋·全国·高一随堂练习）若a>b>0，求证：aa【答案】证明见解析【分析】作商法证明不等式.【详解】证明：∵a>b>0，∴ab>1，且∴作商得：aa∴aa【变式22】3.（2021·全国·高一专题练习）P=a2+a+1,Q=1a【答案】≥【分析】用作商法比较P,Q的大小关系，化简即可得结果.【详解】因为P=a2+a+1=a+1由PQ所以P≥Q故答案为：≥【变式22】4.（2021·高一课时练习）若a＝1816，b＝1618，则a与b的大小关系为．【答案】a<b【分析】先求出ab=(【详解】ab∵982∈(0,1)∵1816>0,1618>0，∴1816<1618，即a<b.故答案为：a<b【点睛】本题主要考查实数大小的比较，考查指数函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.题型3不等式的性质及应用【方法总结】在高考中，不等式性质的判断题常有出现，一般我们判断此类问题主要采用两种方法：其一：按照性质进行判断，此种方法要求我们对不等式性质有一个全面熟练的掌握。其二：采用赋值法/特殊值法进行判断，此种方法对于证明假命题非常适用；不等式的性质（1）如果a>b，那么b<a，该性质称为对称性；（2）如果a>b,b>c，那么a>c，该性质称为传递性；（3）如果a>b，则a+c>b+c，反之也成立，该性质称为可加性；（4）如果a>b,c>0，则ac>bc；如果a>b,c<0，则ac<bc；（5）如果a>b,c>d，则a+c>b+d；（6）如果a>b>0,c>d>0，则ac>bd；（7）如果a>b>0，n≥2，则an>b【例题3】（2023秋·安徽滁州·高一校考期末）如果a，A．若a>b，则1a<1bC．若a>b,ab≠0，则1ab2>【答案】C【分析】举例说明ABD是错误的，用作差法证明C是正确的．【详解】取a=1，b=-1，则取c=0，则ac由于a>b，所以1ab2取a=2，b=-1，c=0，故选：C．【变式31】1.（2023春·广东汕尾·高二汕尾市城区汕尾中学校考期中）已知a,b∈R，则下列命题正确的是（

）A．若a>b，则a2≠b2C．若a>b，则a2>b2【答案】D【分析】根据不等式的性质判断各选项．【详解】对于A，当a=-b时，如a=2，b=-2时a2对于B，当a=1,b=2，显然a2≠b对于C，当a=2,b=-3时，显然a>b，但a2对于D，a>|b|，则a2故选：D．【变式31】2.（2023春·黑龙江佳木斯·高二富锦市第一中学校考期末）若a、b为实数，则“0<ab<1”是“a<1b或A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用不等式的基本性质、特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】若0<ab<1，若b>0，则a>0，此时有0<a<1若a<0，则b<0，此时有1a所以，若0<ab<1，则“0<a<1b或即“0<ab<1”⇒“a<1b或若“a<1b或b>1a”，若a<1b，不妨取若b>1a，不妨取b=2，a=1，则所以，“0<ab<1”⇐“a<1b或因此，“0<ab<1”是“a<1b或故选：A.【变式31】3.（2022秋·江苏徐州·高一统考期中）已知命题p:x>1且y>2，命题q:x+y>3，则p是q的（

）A．充要条件 B．充分且不必要条件C．必要且不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】利用不等式的基本性质，结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】当x>1且y>2时，由不等式的基本性质可得x+y>3，即p⇒q，若x+y>3，取x=0，y=4，命题q成立，但命题p不成立，即p⇐因此，p是q的充分且不必要条件，故选：B.【变式31】4.（2022秋·江苏徐州·高一统考期中）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用．后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a,A．若ab≠0且a<b，则1a>1bC．若a>b>0，c>d，则ac>bd D．若a<b<0，则a【答案】D【分析】特殊值法判断A、B、C，由不等式性质判断D.【详解】A：a=-1,b=1时，1aB：a=12时，C：当a=2,b=1,c=-1,d=-2时，ac=bd，错；D：a<b<0，则|a|>|b|>0，故a2故选：D题型4代数式的取值范围问题【方法总结】方法一.由不等式的同向可加性和同向同正可乘性直接求解方法二.由待定系数法确定其系数，进行不等式范围的求解◆类型1直接法【例题41】（2023春·黑龙江大庆·高一大庆中学校考开学考试）已知1≤a≤4，-1≤b≤2，则3a-b的取值范围是（

）A．-13≤3a-b≤1 B．-1≤3a-b≤8C．-1≤3a-b≤13 D．1≤3a-b≤13【答案】D【分析】由不等式的性质求出-b，3a的范围，两式相加即可得出答案．【详解】因为1≤a≤4，-1≤b≤2，所以-2≤-b≤1，3≤3a≤12，所以1≤3a-b≤13．故选：D.【变式41】1.（2022秋·广东东莞·高三校考阶段练习）若1<α<3，-2<β<4，则α-βA．-3,1 B．-3,3C．0,3 D．-3,5【答案】B【分析】由β范围求得|β|的范围，结合不等式的性质即可求得结果.【详解】因为-4<β<2，则0≤β所以-4<-β又因为1<α<3，所以-3<α-β故选：B.【变式41】2.．（2022秋·辽宁营口·高一校考阶段练习）（1）已知12<a<60,15<b<36，求a-b与ab（2）已知-π2≤α<β≤【答案】（1）(-24,45)，13,4【分析】根据不等式的性质，即可求得答案.【详解】（1）由于12<a<60,15<b<36，∴-36<-b<-15，∴12-36<a-b<60-15，即-24<a-b<45；又∵1∴∴1∴a-b的取值范围是(-24,45)，ab的取值范围是1(2)∵-π∴-π∴-π∴-又∵α<β，∴a-β2<0【变式41】3.（多选）（2023春·浙江嘉兴·高二校考期中）已知实数x，y满足1<x<6，2<y<3，则（

）A．3<x+y<9 B．-1<x-y<3 C．2<xy<18 D．1【答案】ACD【分析】利用不等式的性质求解.【详解】实数x，y满足1<x<6，2<y<3，由不等式的同向可加性和同向同正可乘性，有3<x+y<9，2<xy<18，AC选项正确；由-3<-y<-2，得-2<x-y<4，B选项错误；由13<1故选：ACD【变式41】4.（2023春·河北石家庄·高一校考阶段练习）已知1<a<4,2<b<8，分别求：(1)2a+3b的取值范围；(2)a-b的取值范围；(3)ab【答案】(1)(8,32)(2)(-7,2)(3)(【分析】根据不等式的性质，即可求所给式子的范围.【详解】（1）由题可知，2<2a<8，6<3b<24，所以8<2a+3b<32，则2a+3b的取值范围为8,32；（2）由题可知，1<a<4，-8<-b<-2，所以-7<a-b<2，则a-b的取值范围为-7,2；（3）由题可知，1<a<4，18<1则ab的取值范围为1◆类型2待定系数法【例题42】（2022秋·辽宁大连·高一大连市第十二中学校考阶段练习）已知-4≤a-c≤-1，-1≤4a-c≤5.则9a-c的取值范围（）A．-7,26 B．-7,26C．-1,20 D．-1,20【答案】D【分析】根据不等式的性质求得正确答案.【详解】设9a-c=xa-c即x+4y=9-x-y=-1，解得x=-由-4≤a-c≤-1，-1≤4a-c≤5，得53≤-5所以-1≤9a-c≤20.故选：D【变式42】1.（2022秋·宁夏中卫·高二中宁一中校考阶段练习）已知实数x﹐y满足1≤x-y≤2，2≤x+y≤4，则4x-2y的取值范围是（

）A．3,12 B．5,10C．6,12 D．3,10【答案】B【分析】设4x-2y=λx-y+μx+y=λ+μ【详解】设4x-2y=λx-y则λ+μ=4-λ+μ=-2，解得λ=3因为1≤x-y≤2，2≤x+y≤4，所以3≤3x-y所以5≤3x-y+x+y故选：B【变式42】2.（2023春·河北保定·高二校联考期末）已知-3<m+n<3,1<m-n<5，则n-3m的取值范围是（

）A．-13,1 B．-16,4 C．-11,-1 D．-7,-5【答案】A【分析】设n-3m=xm+n【详解】设n-3m=xm+n+ym-n，则x+y=-3x-y=1，所以所以-3<-m+n<3．因为1<m-n<5，所以故-13<n-3m<1．故选：A【变式42】3.（2023·全国·高三专题练习）已知－1<x＋y<4，2<x－y<3，求3x＋2y的取值范围？【答案】-【分析】由不等式的基本性质求解即可.【详解】设3x＋2y＝m（x＋y）＋n（x－y），则m+n=3m-n=2，所以m=52又∵－1<x＋y<4，2<x－y<3，∴-52<∴-32<∴3x＋2y的取值范围为-3【变式42】4.（2023·全国·高三专题练习）若实数x、y满足-1≤x+y≤1，1≤x+2y≤3，则x+3y的取值范围是？【答案】1,7【分析】根据题意以x+y,x+2y整体，结合不等式的性质分析运算.【详解】设x+3y=m(x+y)+n(x+2y)=m+n由题意可得m+n=1m+2n=3，解得m=-1所以x+3y=-(x+y)+2(x+2y)，由-1≤x+y≤11≤x+2y≤3，可得-1≤-(x+y)≤1所以1≤-(x+y)+2(x+2y)≤7，即1≤x+3y≤7，故x+3y的取值范围是1,7.题型5证明题【例题5】（2023秋·高一课时练习）（1）已知a>b,e>f,c>0，求证：f-ac<e-bc；（2）若bc-ad≥0,bd>0.求证：a+bb【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】由不等式的性质证明即可.【详解】（1）∵a>b,c>0，∴ac>bc，∴-ac<-bc，而e>f，即f<e，∴f-ac<e-bc.（2）∵bc-ad≥0,bd>0，∴bc-adbd=∴ab+1≤【变式51】1.（2023秋·高一课时练习）（1）若a,b∈1,+∞，证明：（2）已知x∈R，a=x2+1【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）利用分析法进行证明；（2）利用反证法进行证明，先假设a，b，c均小于1，推出a+b+c≥3，矛盾，假设不成立，从而得到证