第06讲向量法求空间角与距离（原题版）

第6讲向量法求空间角与距离【考试要求】1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题.2.能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用.1.异面直线所成角若异面直线l1，l2所成的角为θ，a，b分别是直线l1，l2的方向向量，则cosθ＝｜cos＜a，b＞｜＝|a两异面直线所成的角为锐角或直角，而不共线的向量的夹角的范围为（0，π），所以公式中要加绝对值.2.直线与平面所成角如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，a为l的方向向量，n为平面α的法向量，θ为l与α所成的角，则sinθ＝｜cos＜a，n＞｜＝.直线与平面所成角的范围为0,π2，而向量之间的夹角的范围为[0，π]，所以公式中要加绝对值3.平面与平面的夹角（1）平面与平面的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角，如图①.若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为θ，则cosθ＝｜cos＜n1，n2＞｜＝n1·n（2）二面角：二面角α－l－β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则｜cosφ｜＝cosθ＝|n1·注意二面角与两个平面的夹角的区别与联系，二面角的范围为[0，π]，两个平面的夹角的范围为0,π24.空间距离（1）点到直线的距离：设AP＝a，直线l的一个单位方向向量为u，则向量AP在直线l上的投影向量AQ＝（a·u）u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝|AP|2（2）点到平面的距离：已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是AP在直线l上的投影向量QP的长度.因此PQ＝AP·n|n|＝（3）两异面直线间的距离：即两条异面直线公垂线段的长度.1、下列说法正确的是（）A两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角B直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．C两异面直线所成角的范围是，直线与平面所成角的范围是D直线的方向向量为u，平面的法向量为n，则线面角θ满足sinθ＝cos〈u，n〉．2．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－eq\f(1,2)，则直线l与平面α所成的角为()A．30° B．60°C．120° D．150°3．已知直线l1的方向向量s1＝(1,0,1)与直线l2的方向向量s2＝(－1,2，－2)，则直线l1和l2所成角的余弦值为()A.eq\f(\r(2),4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(\r(3),2)4．平面α的一个法向量为m＝(1,2，－2)，平面β的一个法向量为n＝(2,2,1)，则平面α与平面β夹角的正切值为()A.eq\f(4,9)B.eq\f(9,4)C.eq\f(4\r(65),65)D.eq\f(\r(65),4)5.已知点M(0，1，－2)，平面α过原点，且平面α的法向量n＝(1，－2，2)，则点M到平面α的距离为________.考点一异面直线所成角例1、若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的体积为eq\r(3)，AB＝1，则直线AB1与CD1所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．90°【对点演练1】如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，eq\o(AF,\s\up6(→))＝λeq\o(AD,\s\up6(→))(0<λ<1)，若异面直线D1E和A1F所成角的余弦值为eq\f(3\r(2),10)，则λ的值为______．考点二直线与平面所成的角例2、（2023·广东·统考二模）如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，，，，．(1)证明：(2)若平面平面PCD，且，求直线AC与平面PBC所成角的正弦值．【对点演练1】如图所示，在四棱维中，面，且PA=AB=BC==2.(1)求与所成的角；(2)求直线与面所成的角的余弦值.【对点演练2】（2022·全国甲卷）在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝3.（1）证明：BD⊥PA；（2）求PD与平面PAB所成的角的正弦值.【对点演练3】（2021·浙江高考）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ABC＝120°，AB＝1，BC＝4，PA＝15，M，N分别为BC，PC的中点，PD⊥DC，PM⊥MD.（1）证明：AB⊥PM；（2）求直线AN与平面PDM所成角的正弦值.【对点演练4】如图，在六面体PACBD中，△PAB是等边三角形，平面PAB与平面ABD所成角为30°，PC＝AB＝eq\r(2)AD＝eq\r(2)BD＝eq\r(2)AC＝eq\r(2)BC＝4.(1)证明：AB⊥PD；(2)若点E为线段BD上一动点，求直线CE与平面PAB所成角的正切值的最大值．考点三平面与平面的夹角（二面角）例3（2023·山东泰安·统考一模）在如图所示的几何体中，底面ABCD是边长为6的正方形，，，，，点P，Q分别在棱GD，BC上，且，，.（1）证明：平面ABCD；（2）设H为线段GC上一点，且三棱锥的体积为18，求平面ACH与平面ADH夹角的余弦值.【对点演练1】在四棱锥中，平面，四边形是矩形，分别是的中点．(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值．【对点演练2】（2023·广东佛山·统考二模）四面体中，，，，，，平面与平面的夹角为，则的值可能为（

）A． B． C． D．【对点演练3】如图所示，在四棱锥P－ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD.（1）求证：AB⊥PD；（2）若∠BPC＝90°，PB＝2，PC＝2，问AB为何值时，四棱锥P－ABCD的体积最大？并求此时平面BPC与平面DPC的夹角的余弦值.考点四距离问题例4如图，正三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长均为4，N是CC1的中点.（1）求点N到直线AB的距离；（2）求点C1到平面ABN的距离；（3）求直线AA1到直线BN的距离.【对点演练1】在三棱锥S－ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC＝2eq\r(3)，M，N分别为AB，SB的中点，如图所示．求点B到平面CMN的距离．【对点演练2】（2023·广东广州·统考二模改编）已知正四面体的棱长为2，点，分别为和的重心，则直线到平面的距离为【对点演练3】如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等边三角形，四边形BCC1B1是边长为2的正方形，D为AB中点，且A1D＝5.（1）求证：CD⊥平面ABB1A1；（2）若点P在线段B1C上，且直线AP与平面A1CD所成角的正弦值为255，求点P到平面A1CD1.（2023·广东惠州·统考二模）如图，在四棱台中，底面是菱形，，平面．(1)若点是的中点，求证：平面；(2)棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由．1．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝eq\f(\r(3),2)，则l与α所成的角为()A.30° B.60° C.120° D.150°2.如图，点A，B，C分别在空间直角坐标系Oxyz的三条坐标轴上，＝(0，0，2)，平面ABC的一个法向量为n＝(2，1，2)，设二面角C－AB－O的大小为θ，则cosθ＝()A.eq\f(4,3)B.eq\f(\r(5),3)C.eq\f(2,3)D．－eq\f(2,3)3、在四面体ABCD中，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝eq\r(2)，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为()A．eq\f(\r(2),3)B．eq\f(\r(2),4)C．eq\f(\r(14),4) D．－eq\f(\r(2),4)4、如图，已知正方形的边长为，分别是的中点，⊥平面，且，则点到平面的距离为A．B．C．D．15、（多选题）（2023·山东滨州·统考一模）如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题正确的是（

）A．两条异面直线和所成的角为B．直线与平面所成的角等于C．点D到面的距离为D．三棱柱外接球半径为6.（多选）已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点E，O分别是A1B1，A1C1的中点，P在正方体内部且满足AP＝34AB＋12AD＋23AA.点A到直线BE的距离是5B.点O到平面ABC1D1的距离是2C.平面A1BD与平面B1CD1间的距离为3D.点P到直线AB的距离为57、在空间中，已知平面α过点(3，0，0)和(0，4，0)及z轴上一点(0，0，a)(a＞0)，如果平面α与平面Oxy所成的角为45°，则a＝________.8.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝2，二面角B－AA1－C1的大小为60°，点B到平面ACC1A1的距离为3，点C到平面ABB1A1的距离为23，则直线BC1与直线AB1所成角的正切值为.

9.如图，在三棱台中，，，，侧棱平面，点是棱的中点．(1)证明：平面平面；(2)求二面角的正弦值．10在如图所示的五面体中，面是边长为2的正方形，面，，且，为的中点．(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值；(3)求点到平面的距离．11、如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，AB＝AC＝1，BB1＝2，∠ABB1＝60°.(1)证明：AB⊥B1C；(2)若B1C＝2，求AC1与平面BCB1所成角的正弦值.12（2023·北京·北师