山东省聊城市聊城一中东校等2校2023届高三上学期期末数学试题

2023届高三一轮复习联考（五）数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，，则下列判断正确的是（）A. B. C. D.2.已知，则（）A. B. C.1 D.3.设等比数列的公比为，则“”是“是单调递增数列”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件4.已知为第一象限角，，则（）A.-3 B. C.或-3 D.或35.现有甲乙两个箱子，分别装有除颜色外其它都相同的黑色和白色两种球，甲箱装有2个白球3个黑球，乙箱有3个白球2个黑球，先从甲箱随机取一个球放入乙箱，再从乙箱随机取一个球是白球的概率是（）A. B. C. D.6.《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统地介绍了等差数列，同类结果在三百年后在印度才首次出现，卷中记载“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈”，其意思为：“现有一善于织布的女子，从第二天开始，每天比前一天多织相同量的布，第一天织了5尺布，现在一个月（30天）共织390尺布”，假如该女子1号开始织布，则这个月中旬（第11天到第20天）的织布量为（）A.26 B.130 C. D.1567.已知三棱锥，平面，，，，将三棱锥绕着旋转一周，则该三棱锥所经过的空间区域构成的几何体的体积为（）A. B. C.32 D.8.设是函数的极值点，若满足不等式的实数有且只有一个，则实数m的取值范围是（）A. B.C. D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.某校举办了迎新年知识竞赛，随机选取了100人的成绩整理后画出的频率分布直方图如下，则根据频率分布直方图，下列说法正确的是（）A.中位数70 B.众数75C.平均数68.5 D.平均数7010.函数的图象关于直线对称，将的图象向左平移个单位长度后与函数图象重合，则关于，下列说法正确的是（）A.函数图象关于对称 B.函数图象关于对称C.在单调递减 D.最小正周期为11.已知过点的直线与椭圆交于、两点，则弦长可能是（）A.1 B. C. D.312.定义域为，为偶函数，且，则下列说法正确的是（）A.的图象关于（1，0）对称 B.的图象关于对称C.4为的周期 D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.双曲线，离心率为，焦点到渐近线距离为1，则双曲线方程为_________.14.在的展开式中，所有项的二项式系数的和为64，则常数项为_________.15.已知、为单位向量，当与夹角最大时，_________.16.如图是圆台母线的中点，是底面的直径，上底面半径为1，下底面半径为2，，点是弧的中点，则、两点在圆台侧面上连线长最小值的平方等于_________.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）记的内角，，所对边分别为，，.已知，为边的中点.（1）证明：；（2）若，，求的周长.18.（12分）已知数列的前项和为，且满足，.（1）求数列的通项公式；（2），数列是否存在最大项，若存在，求出最大项.19.（12分）2022年9月2日第十三届全国人民代表大会常务委员会第三十六次会议通过《中华人民共和国反电信网络诈骗法》.某高校为了提高学生防电信网络诈骗的法律意识，举办了专项知识竞赛，从竞赛成绩中随机抽取了100人的成绩，成绩数据如下表：性别成绩女生810166男生7152513若学生的测试成绩大于等于80分，则“防电信诈骗意识强”，否则为“防电信诈骗意识弱”.（1）用100人样本的频率估计概率，求从该校任选5人，恰有2人防骗意识强的概率；（2）根据上表数据，完成2×2列联表，根据小概率值的独立性检验，分析“防电信诈骗意识强弱”是否有性别差异.男生女生合计防诈骗意识强防诈骗意识弱合计附：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82820.（12分）如图，四棱锥，为棱的中点，底面是边长为2的菱形，，，.（1）证明：；（2）若，求与平面所成角的正弦值.21.（12分）设抛物线：的焦点为，过作斜率为1的直线交抛物线于两点，且，为抛物线上一点，过作两条均不垂直于对称轴的直线分别交抛物线于除之外的、两点.（1）求的方程；（2）若坐标为，且，判断斜率是否为定值，若是，求出该值，若不是，说明理由.22.（12分）已知函数.（1）若恒成立，求的取值范围；（2）当时，证明恒成立.2023届高三一轮复习联考（五）数学参考答案及评分意见1.A【解析】易知，，所以，A选项正确；，B选项错误；，所以C、D选项错误.故选A.2.C【解析】（方法一）由题可知，则，所以，（方法二）.故选C.3.D【解析】若，当时，数列单调递增，当时，数列单调递减；若，当时，数列单调递减，当时，数列单调递增.所以等比数列单调性由首项和公比共同决定.故选D.4.B【解析】为第一象限角，则，，所以为第一或第三象限角，，，，，或，（舍）.故选B.5.C【解析】设“从乙箱中取出白球”，“从甲箱中取出白球”则，，故由全概率公式得，.故选C.6.B【解析】设这个月中的第天所织布的尺数为，则为等差数列且则则.故选B.7.A【解析】因为平面，所以，又因为，且，所以平面，则，所以，，三条直线两两垂直.，可知.如图三棱锥绕着旋转形成以为底面圆半径的圆锥.圆锥的底面半径，高，体积.故选A.8.B【解析】满足的实数有且只有一个，即导函数在区间有且只有一个变号零点.，在上单调递减，在上单调递增.则解之得.故选B.9.ABC【解析】显然众数是75，的频率是0.1，的频率是0.15，的频率是0.25，其频率和为0.5，所以中位数为70，所以A、B正确；平均数=45×0.1+55×0.15+65×0.25+75×0.35+85×0.1+95×0.05=68.5，所以C正确，D不正确，故选ABC.10.BC【解析】关于对称，则，，解得，.又，故当时，，，将的图象向左平移个单位长度得到.令，则对称轴为，显然不满足，故A错误；令，则，所以对称中心为，显然时，，故B正确；令，整理得，所以单调递减区间为，显然，时，C正确；最小正周期，故D不正确.故选BC.11.BC【解析】当直线斜率存在时，设过斜率存在的直线方程为：，联立方程组消去，并整理得，设，，则，，，，当斜率不存在时，故.故选BC.12.ABC【解析】因为为偶函数，则，可知函数关于对称，，把换成可得，两式相加可得，关于对称，又关于轴对称，则可得，，可知4为的周期，所以ABC都正确.令，，，，，故选ABC.13.【解析】由题可知，，则渐近线方程为，焦点到渐近线距离为1，则，所以，由得.所以双曲线方程为.14.60【解析】由题可知：，所以，展开式通项为，令，得，常数项为.15.【解析】解法一：设与的夹角为，，令，，取最小值时，两向量夹角最大，所以，即时，两向量夹角最大.此时.解法二：利用数形结合.由图可知与夹角最大为30°，所以.16.【解析】沿母线展开如图所示，，.，由余弦定理可得：.17.（1）证明过程见解析（2）【解析】（1），即，由正弦定理得①，余弦定理②，①②联立得到，由正弦定理可得，所以，所以，，为三角形内角，所以，即.（2）由（1）知，，，所以为直角三角形，设，则，，，在中，由勾股定理得，解之得：，所以三角形的周长.18.（1）（2）【解析】（1）①，当时，，当，②，①-②得：，，即，，由知即，所以是首项为1公比为2的等比数列，得，所以数列的通项公式为：.（2），，，令得或，即，令得，即，当时，当时，又，.所以数列最大项为.19.（1）（2）没有充分证据说明“防电信诈骗意识强弱”与性别有关【解析】（1）100人中成绩不低于80的人数有60人，由频率估计概率的思想可知从该校中任选一人防骗意识强的概率.从学生中任选5人，其中防骗意识强的人数，所以恰有2人防骗意识强的概率.（2）2×2列联表如下：男生女生合计防诈骗意识强382260防诈骗意识弱221840合计6040100，，根据小概率值的独立性检验，所给数据中没有充分证据说明“防电信诈骗意识强弱”与性别有关.20.（1）证明过程见解析（2）【解析】连接与交于点，连接.（1）证明：因为底面为菱形，所以，且.因为，所以.又因为平面，平面，，所以平面，因为平面，所以.（2）由题可知，，所以，由（1）可知平面平面，以为坐标原点，射线方向为轴正方向，射线方向为轴正方向，建立如图直角坐标系.则，，，，，，，，，设平面的法向量为，则令，则，，所以与平面所成角的正弦值为.21.（1）（2）是定值，定值为-1【解析】（1）设，，由题可知点坐标为，直线的方程为，代入，得，由一元二次方程根与系数的关系得，，，得，所以抛物线方程为.（2）由（1）知点坐标为，设，，由，，两式相减得，.设直线的方程为，由消去整理得①，显然2，是方程