2023年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷（含解析）

2023年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷一、选择题（共10小题，共30分）1.−2的绝对值是(

)A.2 B.12 C.−122.如图，直角三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上.若∠1=68°，则∠2的度数是(

)

A.30° B.32° C.22° D.68°3.下列运算正确的是(

)A.3+2=32 B.(a4.如图是某几何体的三视图，则这个几何体是(

)

A. B. C. D.5.若代数式1x−2在实数范围内有意义，则x的取值范围是(

)A.x≤2 B.x>2 C.x≥2 D.x<26.在同一直角坐标系中，函数y=−kx+k与y=kx(k≠0)的大致图象可能为A. B.

C. D.7.如图，矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN分别交AD，BC于点M，N.若AM=1，BN=2，则BD的长为(

)A.23

B.3

C.28.如图所示的两张图片形状大小完全相同，把两张图片全部从中间剪断，再把四张形状大小相同的小图片混合在一起.从四张图片中随机摸取一张，不放回，接着再随机摸取一张，则这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率是(

)

A.12 B.13 C.149.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，AC=42，点P为AC边上的中点，PM交AB的延长线于点M，PN交BC的延长线于点N，且PM⊥PN.若BM=1，则△PMN的面积为(

)A.13

B.13

C.8

D.10.关于x的二次函数y=mx2−6mx−5(m≠0)的结论：

①对于任意实数a，都有x1=3+a对应的函数值与x2=3−a对应的函数值相等．

②若图象过点A(x1,y1)，点B(x2,y2)，点C(2,−13)，则当x1>x2>92时，y1−y2A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题（本大题共6小题，共18分）11.分解因式2b3−4b212.圆锥的高为22，母线长为3，沿一条母线将其侧面展开，展开图(扇形)的圆心角是______度，该圆锥的侧面积是______(结果用含π的式子表示)．13.某乳业公司要出口一批规格为500克/罐的奶粉，现有甲、乙两个厂家提供货源，它们的价格相同，品质也相近.质检员从两厂的产品中各随机抽取15罐进行检测，测得它们的平均质量均为500克，质量的折线统计图如图所示，观察图形，甲、乙两个厂家分别提供的15罐奶粉质量的方差s甲2______s乙2.(填“>”或“=”或“<”)14.如图，△ABC内接于⊙O且∠ACB=90°，弦CD平分∠ACB，连接AD，BD.若AB=5，AC=4，则BD=______，CD=______．

15.甲、乙两船从相距150km的A，B两地同时匀速沿江出发相向而行，甲船从A地顺流航行90km时与从B地逆流航行的乙船相遇.甲、乙两船在静水中的航速均为30km/ℎ，则江水的流速为______km/ℎ．16.如图，正方形ABCD的边长为25，点E是CD的中点，BE与AC交于点M，F是AD上一点，连接BF分别交AC，AE于点G，H，且BF⊥AE，连接MH，则AH=______，MH=______．

三、解答题（本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

(1)计算：|5−3|+(12)−118.(本小题7.0分)

如图所示，小明上学途中要经过A，B两地，由于A，B两地之间有一片草坪，所以需要走路线AC，CB.小明想知道A，B两地间的距离，测得AC=50m，∠A=45°，∠B=40°，请帮小明求出两地间距离AB的长.(结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可)19.(本小题10.0分)

3月21日是国际森林日.某中学为了推动学生探索森林文化，进行自然教育，开展了“森林——地球之肺”相关知识的测试活动.测试结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分成A，B，C，D，E五个等级，并绘制了如图不完整的统计图.请结合统计图，解答下列问题：

等级成绩x/分E50≤x<60D60≤x<70C70≤x<80B80≤x<90A90≤x≤100(1)本次调查一共随机抽取了______名学生的成绩，频数分布直方图中m=______；补全学生成绩频数分布直方图；

(2)所抽取学生成绩的中位数落在______等级；

(3)若成绩在60分及60分以上为合格，全校共有920名学生，估计成绩合格的学生有多少名？20.(本小题7.0分)

如图，四边形ABCD是平行四边形，连接AC，BD交于点O，DE平分∠ADB交AC于点E，BF平分∠CBD交AC于点F，连接BE，DF．

(1)求证：∠1=∠2；

(2)若四边形ABCD是菱形且AB=2，∠ABC=120°，求四边形BEDF的面积．21.(本小题7.0分)

如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF的对称中心P在反比例函数y1=kx(k>0,x>0)的图象上，边AB在x轴上，点F在y轴上，已知AB=23．

(1)判断点E是否在该反比例函数的图象上，请说明理由；

(2)求出直线EP：y22.(本小题9.0分)

学校通过劳动教育促进学生树德、增智、强体、育美全面发展，计划组织八年级学生到“开心”农场开展劳动实践活动.到达农场后分组进行劳动，若每位老师带38名学生，则还剩6名学生没老师带；若每位老师带40名学生，则有一位老师少带6名学生.劳动实践结束后，学校在租车总费用2300元的限额内，租用汽车送师生返校，每辆车上至少要有1名老师.现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如表所示：甲型客车乙型客车载客量/(人/辆)4530租金/(元/辆)400280(1)参加本次实践活动的老师和学生各有多少名？

(2)租车返校时，既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少有1名老师，则共需租车______辆；

(3)学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？23.(本小题10.0分)

已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，以边AC为直径作⊙O，与AB边交于点D，点M为边BC的中点，连接DM．

(1)求证：DM是⊙O的切线；

(2)点P为直线BC上任意一动点，连接AP交⊙O于点Q，连接CQ．

①当tan∠BAP=13时，求BP的长；

②求24.(本小题12.0分)

探究函数y=−2|x|2+4|x|的图象和性质，探究过程如下：

(1)自变量x的取值范围是全体实数，x与x…−−2−−1−011325…y…−03m303230−…其中，m=______.根据如表数据，在图1所示的平面直角坐标系中，通过描点画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分.观察图象，写出该函数的一条性质；

(2)点F是函数y=−2|x|2+4|x|图象上的一动点，点A(2,0)，点B(−2,0)，当S△FAB=3时，请直接写出所有满足条件的点F的坐标；

(3)在图2中，当x在一切实数范围内时，抛物线y=−2x2+4x交x轴于O，A两点(点O在点A的左边)，点P是点Q(1,0)关于抛物线顶点的对称点，不平行y轴的直线l分别交线段OP，AP(不含端点)于M，N两点.当直线l与抛物线只有一个公共点时，PM答案和解析1.【答案】A

解：−2的绝对值是2，

故选：A．

根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的相反数是0即可求解．

本题主要考查了绝对值，掌握绝对值的性质是解题的关键．2.【答案】C

解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AB//CD，

∴∠3=∠1=68°，

∵∠2+∠4+3=180°，∠4=90°，

∴∠2=180°−90°−68°=22°．

故选：C．

由平行线的性质得到∠3=∠1=68°，由平角定义即可求出∠2的度数．

本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质得到∠3=∠1=68°．3.【答案】D

解：3与2无法合并，则A不符合题意；

(a2)3=a6，则B不符合题意；

(−7)2=7，则C不符合题意；

4.【答案】C

解：根据主视图可知，这个组合体是上、下两个部分组成且上下两个部分的高度相当，上面是长方形，可能是圆柱体或长方体，

由左视图可知，上下两个部分的宽度相等，且高度相当，

由俯视图可知，上面是圆柱体，下面是长方体，

综上所述，这个组合体上面是圆柱体，下面是长方体，且宽度相等，高度相当，

所以选项C中的组合体符合题意，

故选：C．

根据简单组合体三视图的形状，大小以及各个部分之间的关系进行判断即可．

本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法和形状是正确解答的前提．5.【答案】B

解：由题意可得x−2>0，

解得：x>2，

故选：B．

根据二次根式和分式有意义的条件即可求得答案．

本题考查二次根式及分式有意义的条件，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．6.【答案】D

解：∵一次函数y=−kx+k=−k(x−1)，

∴直线经过点(1,0)，A、C不合题意；

B、由一次函数的图象经过第一、三、四象限可知k<0，反比例函数的图象在一、三象限可知k>0，矛盾，不合题意；

D、由一次函数的图象经过第一、三、四象限可知k<0，反比例函数的图象在一、三象限可知k<0，一致，符合题意；

故选：D．

根据一次函数及反比例函数的图象与系数的关系作答．

本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的性质，一次函数的图象上点的坐标特征，重点是注意系数k的取值．7.【答案】A

解：由题意，连接BM，记BD与MN交于点O．

∵线段MN垂直平分BD，

∴BO=DO，BM=DM．

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD//BC．

∴∠MDO=∠NBO．

又∠DOM=∠BON，

∴△DMO≌△BNO(ASA)．

∴DM=BN=BM=2．

在Rt△BAM中，

∴AB=BM2−AM2=3．

∴在Rt△BAD中可得，BD=AB2+AD2=23．

故选：A．

依据题意，连接BM，记BD与MN交于点O，先证△DMO≌△BNO8.【答案】B

解：四张形状相同的小图片分别用A、a、B、b表示，其中A和a合成一张完整图片，B和b合成一张完整图片，

画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中两张小图片恰好合成一张完整图片的结果数为4，

所以两张小图片恰好合成一张完整图片的概率=412=13．

故选：B．

四张形状相同的小图片分别用A、a、B、b表示，其中A和a合成一张完整图片，B和b合成一张完整图片，用列表法或画树状图法可展示所有9.【答案】D

解：如图连接BP．

在Rt△ABC中，∠ABC=90°，

∵AB=BC，点P为AC边上的中点，

∴BP⊥AC，∠CBP=∠ABP=12∠ABC=45°，∠BCA=45°，BP=CP=12AC=22．

∴∠MBP=∠NCP=180°−45°=135°．

∵BP⊥AC，PM⊥PN，

∴∠BPM+∠MPC=90°，∠CPN+∠MPC=90°．

∴∠BPM=∠CPN．

又BP=CP，∠MBP=∠NCP，

∴△BMP≌△CNP(ASA)．

∴BM=CN=1，MP=NP．

在Rt△BPC中，BC=BP2+CP2=4．

∴在Rt△MBN中，MN=BM2+BN2=12+52=26．

又在Rt△MPN中，MP=NP，

∴MP210.【答案】B

解：①二次函数y=mx2−6mx−5的对称轴为x=−−6m2m=3，

∵x1=3+a和x2=3−a关于直线x=3对称，

∴对于任意实数a，都有x1=3+a对应的函数值与x2=3−a对应的函数值相等，

∴①符合题意；

②将点C(2,−13)代入y=mx2−6mx−5，得−13=4m−12m−5，解得m=1．

∴函数的解析式为y=x2−6x−5，

当x>3时，y随x的增大而增大．

∴当x1>x2>92时，y1>y2，

∴y1−y2x1−x2>0．

∴②不符合题意；

③∵y=mx2−6mx−5=m(x−3)2−5−9m，

∴抛物线的对称轴为直线x=3，

当x=3时，y=−5−9m，

当x=6时，y=−5，

∵若3≤x≤6，对应的y的整数值有4个，

∴若m>0，当3≤x≤6时，y随着x的增大而增大，

则−9<−5−9m≤−8，

∴13≤m<49；

若m<0，当3≤x≤6时，y随着x的增大而减小，

则−2≤−5−9m<−1，

∴−49<m≤−13；

∴−49<m≤−13或13≤m<49．

∴③符合题意；

④当m>0且n≤x≤3时，y随着x的增大而减小，

∵−14≤y≤n2+1，

∴−5−9m=−14，

解得：m=1，

∴n2−6n−5=n2+1，

解得：n=−1，

∴④不符合题意；

综上所述，正确结论有①③，共2个．

故选：B11.【答案】2b(b−1)解：原式=2b(b2−2b+1)

=2b(b−1)2，

故答案为：2b(b−112.【答案】120

3π

解：∵圆锥的高为22，母线长为3，

∴圆锥底面圆的半径为：32−(22)2=1，

∴圆锥底面圆的周长为：2π．

设展开图(扇形)的圆心角是n°，

依题意得：2π=nπ×3180，

解得：n=120°，

圆锥的侧面积是：120π×3213.【答案】<

解：观察折线统计图可以发现，乙厂家15罐奶粉质量的波动较甲厂家15罐奶粉质量的波动大，所以s甲2<s乙2，

故答案为：14.【答案】522解：∵△ABC内接于⊙O且∠ACB=90°，

∴AB为⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠DAC+∠DBC=180°，

∵弦CD平分∠ACB，

∴∠ACD=∠BCD=45°，

∴AD=BD，

∵AB=5，AC=4，

∴CB=3，AD=BD=522，

∴如图把△ACD绕D逆时针旋转90°得到△DBE，

∴∠DBE=∠DAC，BE=AC，

∴∠DBC+∠DBE=180°，

∴C、B、E三点共线，

∴△DCE为等腰直角三角形，

∴CE=AC+BC=7，

∴CD=DE=722．

故答案为：522，722．

首先利用已知条件得到AB为直径，然后可以证明△ADB为等腰直角三角形，由此求出BD15.【答案】6

解：设江水的流速为x千米每小时，根据题意得：

9030+x=150−9030−x，

解得x=6(km/ℎ)，

经检验符合题意，

答：江水的流速6km/ℎ．

故答案为：6．

设江水的流速为x千米每小时，则甲速度为30+x，乙速度为16.【答案】2

2解：∵四边形ABCD为正方形，且边长为25，

∴AB=BC=CD=DA=25，∠BAD=∠D=90°，AB//CD，

∵点E为CD的中点，

∴DE=CE=5，

在Rt△ADE中，AD=25，DE=5，

由勾股定理得：AE=AD2+DE2=5，

∵∠BAD=90°，BF⊥AE，

∴∠BAH+∠DAE=90°，∠ABF+∠BAH=90°，

∴∠DAE=∠ABF，

在△DAE和△ABF中，

∠D=∠BAF=90°AD=AB∠DAE=∠ABF，

∴△DAE≌△ABF(SAS)，

∴DE=AF=5，AE=BF=5，

∵BF⊥AE，∠D=90°，

∴∠AHF=∠D=90°，

又∠HAF=∠DAE，

∴△AFH∽△ADE，

∴AH：AD=AF：AE，

即：AH：25=5：5，

∴AH=2．

过点M作MN⊥AE于点N，如图：

在△ADE和△BCE中，

AD=BC∠D=∠BCE=90°DE=CE，

∴△ADE≌△BCE(SAS)，

∴AE=BE=5，

∴EH=AE−AH=5−2=3，

在Rt△AHB中，AB=25，AH=2，

由勾股定理得：BH=AB2−AH2=4，

∵AB//CD，

∴△MEC∽△MBA，

∴ME：MB=CE：AB，

即：ME：MB=5：25，

∴ME：MB=1：2，

∴ME：EB=1：3，

∵BF⊥AE，MN⊥AE，

∴MN//BH，

∴△MNE∽△BHE，

∴MN：BH=EN：EH=ME：EB

∴MN：4=EN：3=1：3，

∴MN=43，EN=1，

∴HN=EH−EN=3−1=2，

在Rt△MHN中，MN=43，HN=2，

由勾股定理得：MH=MN2+HN2=2133．

故答案为：2，2133．

先求出AE=517.【答案】解：(1)原式=3−5+2−25+3×32

=3−5+2−25+【解析】(1)利用绝对值的性质，负整数指数幂，二次根式的运算法则，特殊锐角的三角函数值进行计算即可；

(2)分别解两个不等式后即可求得不等式组的解集．

本题考查实数的运算及解一元一次不等式组，熟练掌握实数相关运算法则及解不等式组的方法是解题的关键．18.【答案】解：过C作CH⊥AB于H，如图：

在Rt△ACH中，∠A=45°，AC=50m，

∴AH=AC⋅cosA=50×22=252(m)，CH=AC⋅sinA=50×22=252(m)，

在Rt△BCH中，∠B=40°【解析】过C作CH⊥AB于H，求出AH=AC⋅cosA=50×22=252(m)，CH=AC⋅sinA=50×19.【答案】40

7

B

解：(1)由频数分布直方图得：等级C有6人，

由扇形统计图得：等级C占15%，

∴6÷15%=40．

∴本次调查一共随机抽取了40名学生的成绩，

由扇形统计图得：等级D占17.5%，等级B占32.5%，

∴等级D得人数m=40×17.5=7(人)，等级B的人数为：40×32.5%=13(人)，

补全学生成绩频数分布直方图如图所示；

故答案为：40，7．

(2)∵等级A是11人，等级B是13人，等级C是6人，等级D是7人，等级E是3人，

∴所抽取学生成绩的中位数落在B等级

故答案为：B．

(3)∵抽取的40名学生的成绩中，60分及60分以上的人数为：40−3=37(人)，

∴920×3740=851(人)．

答：估计成绩合格的学生有851人．

(1)由频数分布直方图得等级C有6人，由扇形统计图得等级C占15%，据此即可得出本次调查一共随机抽取的学生人数；由扇形统计图得等级D占17.5%，可求出等级D所对应的人数m的值，再根据等级B占32.5%，可求出等级B所对应的人数，进而可补全频数分布直方图；

(2)根据等级A是11人，等级B是13人，等级C是6人，等级D是7人，等级E是3人可得出所抽取学生成绩的中位数所在的等级．

(3)根据抽取的40名学生的成绩中，60分及60分以上的人数为37人可得出成绩合格的学生数．20.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD//BC，OD=OB，

∴∠ADO=∠CBO，

∵DE平分∠ADB，BF平分∠CBD，

∴∠ODE=12∠ADO，∠OBF=12∠CBO，

∴∠ODE=∠OBF，

∴DE//BF，

∵OD=OB，∠DOE=∠BOF，

∴△ODE≌△OBF(ASA)，

∴DE=BF，

∴四边形DEBF是平行四边形，

∴BE//DF，

∴∠1=∠2．

(2)解：由(1)知△ODE≌△OBF(ASA)，

∴OE=OF，

∵四边形ABCD是菱形，

∴BD⊥EF，OD=OB，AD//BC，

∴四边形DEBF的菱形，

∵AD//BC，∠ABC=120°，

∴∠BAD+∠ABC=180°，

∵∠ABC=120°，

∴∠BAD=60°，

∵AD=AB，

∴△ABD是等边三角形，

∴BD=AB=2，∠ADO=60°，

∴OD=12BD=1，

∵∠ODE=12∠ADO=30°，

∴OE=【解析】(1)由平行四边形的性质，角平分线定义推出△ODE≌△OBF(ASA)，得到DE=BF，判定四边形DEBF是平行四边形，推出BE//DF，得到∠1=∠2．

(2)由菱形的性质得到BD⊥EF，OD=OB，推出四边形DEBF的菱形，由平行线的性质得到∠BAD=60°，判定△ABD是等边三角形，得到BD=AB=2，∠ADO=60°，求出OE=33OD=33，得到EF=2OE=233，由菱形的面积公式即可求出四边形BEDF的面积．

21.【答案】解：(1)点E在该反比例函数的图象上．理由如下：

如图，连接PA，PF，

∵正六边形ABCDEF的边长AB=23，点P是正六边形ABCDEF的对称中心，

∴AF=AB=EF=23，∠AFE=∠BAF=∠ABC=120°，

∴∠FAO=∠ABP=∠APF=∠EPF=60°，∠AFO=30°，

∴△ABP，△AFP，△EFP均为等边三角形，

∴OA=AF⋅cos∠FAO=23cos60°=23×12=3，OF=AF⋅sin∠FAO=23sin60°=23×32=3，

∴A(3,0)，F(0,3)，

∴B(33,0)，

∴P(23,3)，E(3,6)，

∵点P在反比例函数y1=kx的图象上，

∴k=23×3=63，

∴该反比例函数的解析式为y=6【解析】(1)连接PA，PF，根据正六边形的性质可得出：P(23,3)，E(3,6)，利用待定系数法可得反比例函数的解析式为y=622.【答案】6

解：(1)设老师有x名，学生有y名，根据题意，列方程组为：

38x+6=y40x−6=y，解得x=6y=234，

答：老师有6名，学生有234名．

(2)∵每辆车上至少有1名老师，

∴汽车总数不能大于6辆，

∵要保证240名师生有车坐，汽车总数不能少于24045(取整数6)辆，

综合可知汽车总数为6辆．

故答案为：6．

(3)设租用甲客车x辆，则租车费用y(元)是x的函数，即：

y=400x+280(6−x)，

整理得：y=120x+1680，

∵学校在租车总费用2300元的限额内，租用汽车送师生返校，

∴120x+1680≤2300，

∴x≤316，即x≤5．

要保证240人有车坐，x不能小于4，所以有两种租车方案：

方案一：租4辆甲种客车，2辆乙种客车；

方案二：租5辆甲种客车，1辆乙种客车；

∵y随x的增大而增大，

∴当x=4时，y最小，y=120×4+1680=2160．

答：学校共有两套租车方案，最少费用为2160元，

(1)设老师有x名，学生有y名，根据题意，列方程组解答出来即可；

(2)根据题上条件既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少有1名老师，车辆数只能是6；

(3)根据题上条件设租用甲客车x辆，则租车费用y(元)是x的函数，得到23.【答案】(1)证明：如图，连接OD，CD，

∵AC是⊙O的直径，

∴∠ADC=90°，

∴∠BDC=180°−∠ADC=90°，

∵点M为边BC的中点，

∴MC=MD，

∴∠MDC=∠MCD，

∵OC=OD，

∴∠ODC=∠OCD，

∵∠ACB=90°，即∠MCD+∠OCD=90°，

∴∠MDC+ODC=∠MCD+∠OCD=90°，

即∠ODM=90°，

∴DM⊥OD，

∵OD是⊙O的半径，

∴DM是⊙O的切线；

(2)①当点P在线段BC上时，如图，过点P作PT⊥AB于点T，

在Rt△ABC中，AB=AC2+BC2=82++62=10，

设PT=x，

∵tan∠BAP=13，

∴PTAT=13，

∴AT=3PT=3x，

∴BT=AB−AT=10−3x，

∵tan∠ABC=PTBT=ACBC，

∴