自适应加权和法

例如取a=0：1/15例如取a=0：1/15：1，即a取16个不同的值，求解出对应a值下的解xmin{,J(x),J(x)}12s.t.g<g(x)<g⑴h(x)=0用加权和法将该2目标优化问题转化为单目标优化问题，优化模型变为：minaJ(x)+(1—a)J(x)12s.t.g<g(x)<g ⑵h(x)二0即权重值，为得到一系列帕累托前沿上的点，对a取一系列的值计算。x*再计算出解x下对应的两个单目标值J](x*)、J2(x*)，以J](x*)为横坐标，J(x*)为纵坐标绘制出2维坐标图，图上的点即加权和法求解出来的帕累托前沿2解:图1图1权重和法求解出的帕累托前沿从图1可以看出，用加权和法求解出来的帕累托前沿分布很不均匀，所以需要对该方法进行改进以得到相对均匀分布的帕累托前沿解，即自适应加权和法。步骤如下：1、去掉密集分布的点，只留下部分相距较远的点。2、在剩下的点中再继续新增加帕累托解，最终得到分布相对均匀的帕累托前沿。具体方法如下：J<Py2P2PPP1PJ<Py2P2PPP1P4P3实际帕累托前沿(未知)I新的求解区域J<Px1图2自适应加权和法求解帕累托前沿如图2所示，二、P2、P3、P4为步骤1中剩下的点，在相邻的两个点之间新增加取点，以相邻点P、P2为例，连接点卩］、P2，实际帕累托前沿在该P1和P2连线下方(图中虚线所示)，取P1和P2连线的中点P，以点P的横坐标Px和P的纵坐标Py为界形成新的求解区域，即J<Px，J2<Py，在该区域中求解模型(2)，即minaJ(x)+(1_a)J(x)12s.t. g<g(x)<g< h(x)=0J<Px ⑶1J<Py2取权重a=1/2；求解模型(3)得到点P*，即新增加的帕累托前沿解，如图2所示。同样，可以求得P2和P3及P3和佇中间新增加的帕累托解。以新增加的点和原

来的点为基础点，在这些点的相邻点中间再继续求解新的帕累托点。重复上述步骤，直到相邻两点距离小于某一设定值终止求解，最终得到分布相对均匀的帕累托前沿。例子：TOC\o"1-5"\h\zr 厂\o"CurrentDocument"J(x)=x2+x2+x2+x2+x2min<1 12345J(x)=3x+2x-x/3+0.01(x-x)2k2 1 2 3 4 5vS.t.x2+x2+x2+x2+x2<101 2 3 4 5x+2x—x—0.5x+x—21 2 3 4 54x—2x+0.8x+0.6x+0.5x2—21 2 3 4 51)用权重法求解x)2min a(x2+x2+x2+x2+x2)+(1—a)3x+2x—x/3+0.01(xx)2\o"CurrentDocument"1 2 3 4 5 1 2 3 4S.t.x2+x2+x2+x2+x2<10v 1 2 3 4 5x+2x—x—0.5x+x—21 2 3 4 54x—2x+0.8x+0.6x+0.5x2—21 2 3 4 5a依次取0、1/15、2/15、……14/15、1求解出来的帕累托前沿如图1所示。去掉分布密集的点，只剩下四个分布距离比较远的点，如图3所示：024J61求解出来的帕累托前沿如图1所示。去掉分布密集的点，只剩下四个分布距离比较远的点，如图3所示：024J6181012图3剩余帕累托点以这四个点为基础点，用自适应加权和法得到新增加的帕累托点，最终一共得到19个帕累托点。如图4所示图4自适应加权和法求解出的帕累托解相邻两点距离如下：

1O.&4912O.&3B43O.523B4O.&1V35O.&O51&0.59-4&70.57&7SO.56&590.87441.-0O.S22711