新高考数学人教版一轮课件第五章第二节等差数列及其前n项和

第二节等差数列及其前n项和知识点一等差数列的概念与通项1．等差数列的概念(1)如果一个数列从第

项起，每一项与它的前一项的差等于

，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的

，公差通常用字母d表示．数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)，或an－an－1＝d(n≥2，d为常数)．2同一个常数公差a1＋(n－1)d

(n－m)d

•

温馨提醒

•要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．

1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，a8＋a10＝28，则S9＝(

)A．36

B．72C．144 D．288BD3．设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8＝________.知识点二等差数列的性质已知数列{an}是等差数列，Sn是{an}的前n项和．(1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则有am＋an＝ap＋aq.(2)等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是

数列；当d＜0时，{an}是

数列；当d＝0时，{an}是

．递增递减常数列C2．在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝(

)A．180 B．90C．270 D．3603．(易错题)已知等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d＜0，则使数列{an}的前n项和Sn取最大值的正整数n的值是________．答案：5或6AA2．(多选题)(2021·山东模拟)已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且∀n＞1，其前n项和Sn满足Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋1)，则(

)A．a7＝13 B．a8＝14C．S7＝43 D．S8＝64BC3．(2019·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S9＝－a5.(1)若a3＝4，求{an}的通项公式；(2)若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．等差数列运算中方程思想的应用(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.题型二等差数列的性质及应用自主探究1．在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10的值是(

)A．20

B．22

C．24

D．－8CA3．一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则该数列的公差d为(

)A．10 B．5C．4 D．8B等差数列的判定与证明方法(1)定义法：对于任意自然数n(n≥2)，an－an－1(n≥2，n∈N*)为同一常数⇔{an}是等差数列．(2)等差中项法：2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立⇔{an}是等差数列．(3)通项公式法：an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列．(4)前n项和公式法：验证Sn＝An2＋Bn(A，B是常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列．ABD2．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．(1)证明：an＋2－an＝λ；(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．求等差数列前n项和Sn最值的两种方法(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．[对点训练]

(2021·北京朝阳区模拟)已知{an}是公差为d的等差数列，其前n项和为Sn，且a5＝1，________.若存在正整数n，使得Sn有最小值．(1)求{an}的通项公式；(2)求Sn的最小值．从①a3＝－1，②d＝2，③d＝－2这三个条件中选择符合题意的一个条件，补充在上面的问题中并作答．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．CA．3699块 B．347