第三章-周期信号的傅里叶级数表示

2023/9/211第三章周期信号的傅里叶级数表示

说明：此课件对应于教材第3章的3.2-3.7节（其中3.4节仅简单介绍，不作要求）；3.8-3.11节关于LTI系统分析及滤波器以后再讲。本章主要内容：连续时间周期信号的傅里叶级数表示及其性质离散时间周期信号的傅里叶级数表示及其性质2从时域分析到频域分析（以连续时间非周期信号为例）3频域分析周期信号（离散/连续）的傅里叶级数（第三章）连续非周期信号的傅里叶变换（第四章,本课程重点内容)离散非周期信号的傅里叶变换（第五章）43.2.LTI系统对复指数信号的响应1、信号分解的概念---将一个信号表示为一系列基本信号的线性加权和

基本信号的两个性质:

A.由这些基本信号能够构成相当广泛的一类有用的信号.

B.LTI系统对这些基本信号的响应很简单，系统对任意输入信号的响应可以表示为每一个基本信号的响应的线性加权和.

复指数信号满足这两个性质：

离散时间：

连续时间：5例：设一个连续时间LTI系统的单位冲激响应为h(t)，当输入信号为

时，求其输出？同样，给定一个离散LTI系统的单位冲激响应h[n]和输入信号，其输出为：其中是个与t无关的量，记其为，即

则有：

其中：62、LTI系统对复指数信号的响应是一个同样的

复指数信号，只是在幅度上有变化

复振幅因子H(s)或H(z)一般来说是复变量s或z的 函数,它们跟h(t)或h[n]有如下的关系：离散时间：

连续时间：73、系统的特征函数(Eigenfunction)若系统对一个输入信号的输出响应仅是一个幅度因子常数（可能是复数）乘以该输入信号，则称该信号为系统的特征函数，而该幅度因子常数称为系统的特征值(eigenvalue

)。对一个特定

sk

或

zk,或

就是对应的特征值。是连续LTI系统的特征函数是离散LTI系统的特征函数8如果一个LTI系统的输入信号（连续/离散）可以分解为复指数信号的线性加权和：那么根据特征函数的性质和LTI系统的叠加特性，系统的输出有如下形式：4、将一个信号分解为特征函数(复指数信号)的线性加权和A.什么样的信号可以分解为复指数信号的线性加权和？B.sk,zk取何值？C.如何确定系数ak？93.3.

连续时间周期信号的傅里叶级数表示1、复指数傅里叶级数一个周期为T的周期信号x(t)

的复指数傅里叶级数：成谐波关系的复指数信号集

-----基波分量或一次谐波分量-----N次谐波分量其中系数

ak一般来说是的复函数。-----直流分量10

傅里叶级数系数的确定:综合公式:

(synthesis

equation)分析公式:(analysis

equation)傅里叶级数的系数或x(t)的频谱系数相位谱幅度谱x(t)的直流分量（一个周期内的均值）

11证明：本证明供学有余力同学参考12综合公式:

综合公式说明：任意周期为T的信号可以由一个直流信号和一系列周期为T的约数(T,T/2,T/3,…)的周期复指数信号合成如何理解傅里叶级数？如右图所示，周期分别为T,T/2,T/3,…的周期信号相加后仍然是一个周期为T的信号下面的问题是：如何能够保证这些信号相加后得到的波形和x(t)一样？13分析公式:

分析公式说明：为了令这些周期信号相加后等于x(t),各个信号的振幅ak必须满足上式例如对如图所示周期方波信号,其在一个周期(-1,1)内的信号表达式为:……

-2-1-0.50.512tx(t)115可见，周期信号确实可以按傅里叶级数形式分解为一系列复指数信号的线性加权和2、三角函数形式的傅里叶级数因为x(t)是实数，即：故有由复指数傅里叶级数：所以或者由上例可见，周期方波信号又可以分解为成谐波关系的正弦信号的线性加权和。实际上，实周期信号总是可以写成三角函数形式的傅立叶级数。x(t)的共轭信号x*(t)的复指数傅里叶级数：实信号的幅度谱是偶信号17因为为共轭复数，所以三角函数形式的傅里叶级数:18例1：已知一个周期为2π的实周期信号x(t),

其复指数傅里叶级数为：其中，求其三角函数傅里叶级数注：大多数情况下，复指数和三角函数傅里叶级数间的互换可以通过欧拉公式来完成19例1中由成谐波关系的正弦信号的线性组合来构成x(t)的图解20例2:画出信号的幅度谱和相位谱因此，该信号的傅里叶级数的系数为:解：利用欧拉公式：2111/2

-3-2-10123kπ/4karctan(1/2)

-21

-3-1023幅度谱相位谱幅度谱左右对称（偶信号），相位谱关于原点对称（奇信号）22例3:周期方波信号如图所示,其在一个周期

(-T/2,T/2)内的信号表达式为:……

-T-T/2-T1T1T/2Ttx(t)求其傅里叶级数若

T=8T1

有:

若T=4T1

有：

-202k

(a)T=4T1周期方波信号的傅里叶级数的系数k

-808(c)T=16T1k

-404(b)T=8T1保持T不变，缩小T1：243.4傅里叶级数的收敛性(简单了解即可)理论上周期信号的傅里叶级数有无穷多项实际中可以用一个有限项的傅里叶级数来近似x(t)：误差为:在一个周期内的误差能量为:当

,EN

最小.且随着N的增大，EN减小，25在一个周期内x(t)

绝对可积，即：傅里叶级数的收敛条件

–狄里赫利条件(Dirichletconditions)：傅里叶级数的收敛性：对于一个周期信号x(t)，存在一个傅里叶级数，,即x(t)的傅里叶级数收敛于x(t)

绝大多数周期信号都满足狄里赫利条件，也就是说，存在傅里叶级数26吉伯斯现象(Gibbsphenomenon):对于一个有不连续点的周期信号x(t),有限项的傅里叶级数近似xN(t)

在其不连续点处会产生高频起伏和超量为9%的尖峰。N=1:N=3:N=5:但是在不连续点，9%的超量仍然存在E为x(t)在一个周期内的能量273.5连续时间傅里叶级数的性质周期信号x(t)与其傅里叶级数的系数ak之间的关系一般表示为1)线性Ifthen2)时移Ifthen周期信号在时间上的移位，对应于相位谱的变化，幅度谱保持不变283)时域反转Ifthen连续时间信号的时间反转对应于傅里叶级数系数序列的反转

x(t)是偶函数

:x(t)是奇函数:

4)时域尺度变换Ifthen经尺度变换后，信号的周期改变了。其傅里叶级数的系数虽然不变，但是其基波频率改变了，每个系数对应的谐波频率也随之改变了.

295)共轭及共轭对称性Ifthenx(t)为实函数：a0

是实数，ak是共轭对称的x(t)为实偶函数：

ak也是实偶函数x(t)为实奇函数：ak是虚奇函数

30所以，本定理的物理意义是：一个周期信号的平均功率等于它的全部谐波分量的平均功率之和。

（傅立叶分析也遵循能量守恒定律）由于：6)帕斯瓦尔(Parseval)定理Ifthen第k个谐波分量的平均功率对该定理的进一步说明：317)微分特性Ifthen32例4:求右图所示信号周期信号

g(t)的傅里叶级数

g(t)=x(t-1)–1/2,其中x(t)是P.22例3中的方波信号(T=4,T1=1).

时移特性:

-1/2是g(t)的一个直流偏置分量，所以

-2-112-1/2g(t)t1/233x(t)t

-221因此

k=0,a0

为信号的直流分量为1/2例5:求右图所示三角波信号x(t)的傅里叶级数x(t)和上例中的

g(t)有如下关系：343.6.

离散时间周期信号的傅里叶级数1、离散时间傅里叶级数周期为N的离散时间周期信号

x[n]的傅里叶级数是一系列成谐波关系的复指数信号的线性加权和:如何确定k的取值？对任意整数n,序列中k仅有N个独立取值,即：因此x[n]可以分解为N个不同的特征函数的线性加权和，其傅里叶级数只需对连续N个独立k值求和，记为有限项求和

所以：352、傅里叶级数系数的确定所以：而

两边同乘以

并在n=<N>内求和以下推导供学有余力同学参考36周期信号

离散时间周期信号（周期为N）的傅里叶级数是一个有限项级数（N个不同的复指数信号求和），但ak本身是一个周期为N的周期信号。综合公式:(synthesis

equation)分析公式:(analysis

equation)离散时间周期信号的傅里叶级数是一个有限项的级数，确定的关系式也是有限项的和式，因而不存在收敛问题，也不会产生Gibbs现象。37例6：求x[n]=sin(6πn/5)

的傅里叶级数并画出其系数x[n]是周期信号

N=5.k1/2

-9-8-7-5-4-301234567891011

-6-2-112

……幅度谱-π/2π/2

-9-8-6-5-4-3-1012456791011

-7-238

……k相位谱

38例7：如下图所示周期离散方波信号x[n]的傅里叶级数系数-5-4-3-2-101234