人教B版数学课件3-1-2第1课时函数的单调性

第1课时函数的单调性第三章2021内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释1.理解函数的单调性的概念.(逻辑推理)2.会用函数单调性的定义判断和证明一些简单函数的单调性.(逻辑推理)3.能从给定的函数图像上直观得出函数的单调性及单调区间.(直观想象)4.掌握函数单调性的一些简单应用.(数学抽象)5.理解函数的平均变化率.(逻辑推理)思维脉络课前篇自主预习【激趣诱思】德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯,对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试,得到了以下一些数据:时间间隔t刚记忆完毕20分钟后60分钟后8~9小时后1天后2天后6天后一个月后记忆量y(百分比)10058.244.235.833.727.825.421.1以上数据表明,记忆量y是时间间隔t的函数,艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”,如图.问题:(1)当时间间隔t逐渐增大时,你能看出对应的函数值y有什么变化趋势?通过这个试验,你打算以后如何对待刚学过的知识?(2)“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的,对此,我们如何用数学观点进行解释?【知识点拨】

知识点一、函数单调性的概念一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,且I⊆D.(1)如果对任意x1,x2∈I,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),则称y=f(x)在I上是增函数(也称在I上单调递增),如图1所示.(2)如果对任意x1,x2∈I,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),则称y=f(x)在I上是减函数(也称在I上单调递减),如图2所示.图1

图2

两种情况下,都称函数在I上具有单调性(当I为区间时,称I为函数的单调区间,也可分别称为单调递增区间或单调递减区间).名师点析

1.函数的单调性是函数在某个区间上的性质,这个区间可以是整个定义域,也可以是定义域的一部分,也就是单调区间是定义域的某个子集.2.对于单独一点,由于它的函数值是唯一确定的常数,没有增减变化,所以不存在单调性问题,因此在书写单调区间时,可以包括端点,也可以不包括端点,但在某些点无意义时,单调区间不能包括这些点.微练习(1)已知四个函数的图像如图所示,其中在定义域内具有单调性的函数是(

)答案

B(2)如果(a,b),(c,d)都是函数f(x)的单调递增区间,且x1∈(a,b),x2∈(c,d),x1<x2,则f(x1)与f(x2)的大小关系是(

)A.f(x1)<f(x2)

B.f(x1)>f(x2)C.f(x1)=f(x2) D.不能确定答案

D解析

根据函数单调性的定义可知,所取的两个自变量的值必须在同一单调区间内才能由函数的单调性比较其函数值的大小,故选D.知识点二、函数的平均变化率一般地,当x1≠x2时,称

为函数y=f(x)在区间[x1,x2](x1<x2时)或[x2,x1](x1>x2时)上的平均变化率.微思考

给定平面直角坐标系中任意两点A(x1,y1),B(x2,y2),如何确定直线AB的斜率?提示

当x1≠x2时,直线AB的斜率为

;当x1=x2时,直线AB的斜率不存在.知识点三、判断函数单调性的步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间I上的单调性的一般步骤:(1)任取x1,x2∈I,且Δx=x2-x1>0;(2)作差:Δy=f(x2)-f(x1);(3)变形(通常所用的方法有:因式分解、配方、分子有理化、分母有理化、通分等);(4)定号(即判断Δy的正负);(5)下结论(即指出函数f(x)在给定的区间I上的单调性).微练习求证:函数f(x)=在区间[0,+∞)上是增函数.课堂篇探究学习探究一用定义法证明(判断)函数的单调性例1利用单调性的定义证明函数f(x)=在(-∞,0)内是增函数.分析解题的关键是对Δy=f(x2)-f(x1)合理变形,最终要变为几个最简单因式乘积或相除的形式,以便于判号.反思感悟

证明函数的单调性的步骤1.取值:设x1,x2为给定区间内任意的两个值,且x1<x2(在证明函数的单调性时,由于x1,x2的取值具有任意性,它代表区间内的每一个数,所以在证明时,不能用特殊值来代替它们);2.作差变形:作差Δy=f(x2)-f(x1),并将差向有利于判断差值的符号的方向变形(作差后,尽量把差化成几个简单因式的乘积或几个完全平方式的和的形式,这是值得学习的解题技巧,在判断因式的正负号时,经常采用这种变形方法);3.定号:判断符号的依据是自变量的取值范围、假定的大小关系及符号的运算法则;4.判断:根据定义作出结论(若Δx=x2-x1与Δy=f(x2)-f(x1)同号,则函数在给定区间是增函数;异号,则是减函数).探究二利用图像求函数的单调区间例2已知x∈R,函数f(x)=x|x-2|,试画出y=f(x)的图像,并结合图像写出函数的单调区间.分析首先分类讨论,去掉绝对值号,将函数化为分段函数,然后画出图像求解即可.由图像可知,函数的单调递增区间为(-∞,1],[2,+∞);单调递减区间为[1,2].变式训练

2写出y=|x2-2x-3|的单调区间.所以y=|x2-2x-3|的单调递减区间为(-∞,-1],[1,3];单调递增区间为[-1,1],[3,+∞).探究三函数单调性的简单应用例3已知函数f(x)=x2+ax+b.(1)若函数f(x)的图像过点(1,4)和(2,5),求f(x)的解析式;(2)若函数f(x)在区间[1,2]上不单调,求实数a的取值范围.解

(1)∵f(x)=x2+ax+b过点(1,4)和(2,5),∴f(x)=x2-2x+5.(2)由f(x)在区间[1,2]上不单调可知1<-<2,即-4<a<-2,a的取值范围为(-4,-2).反思感悟

函数单调性的应用(1)函数单调性定义的“双向性”:利用定义可以判断、证明函数的单调性,反过来,若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围.(2)若一个函数在区间[a,b]上是单调的,则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的.延伸探究把本例(2)条件“不单调”改为“单调”,求实数a的取值范围.解

由f(x)在区间[1,2]上单调可知

,即a≤-4或a≥-2.a的取值范围为(-∞,-4]∪[-2,+∞).

素养形成分类讨论思想在函数单调性中的应用分析要讨论函数的单调性,只需要用定义判定,由于函数中含有参数,因此要注意分类讨论思想的应用.解

设x1,x2是(-1,1)内的任意两个自变量,且x1<x2.∴当a>0时,f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),此时f(x)在(-1,1)内是减函数;当a<0时,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),此时f(x)在(-1,1)内是增函数.综上所述,当a>0时,函数f(x)在(-1,1)内是减函数;当a<0时,函数f(x)在(-1,1)内是增函数.方法点睛

1.讨论一个含参数的函数的单调性与证明一个函数的单调性的方法类似,都是利用定义,通过运算,判断f(x1)-f(x2)的正负,从而得出结论,若所含参数符号不确定,必须分类讨论.2.本题的规范解答中每一个环节都不能省略,既有开头和结尾形式上的要求,也有对f(x1)-f(x2)的正负判定进行实质性说明.

当堂检测1.下列函数中,在区间(0,+∞)上不是增函数的是(

)A.y=2x+1 B.y=3x2+1C.y=

D.y=|x|答案

C解析

由一次函数、二次函数、反比例函数及y=|x|的图像与性质知,只有选项C中的函数在区间(0,+∞)上不是增函数.故选C.2.下列命题正确的是(

)A.定义在(a,b)内的函数f(x),若存在x1<x2,使得f(x1)<f(x2),则f(x)在(a,b)内为增函数B.定义在(a,b)内的函数f(x),若有无数多对x1,x2∈(a,b),使得当x1<x2时有f(x1)<f(x2),则f(x)在(a,b)内为增函数C.若f(x)在区间I1上为增函数,在区间I2上也为增函数,则f(x)在I1∪I2上为增函