北师大版八年级数学下册 （直角三角形）三角形的证明教学课件(第2课时)

北师版八年级下册直角三角形（第2课时）第一章三角形的证明

设矩形的对角线AC与BD的交点为O，那么BO是直角△ABC中一条怎样的特殊线段？它与AC有什么大小关系？ABCDOABCO定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半∵∠ABC=90°，OA=OC∴AC=2BO

或OA=OB=OC讲授新课特殊的直角三角形的性质:1.在直角三角形中,如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半.2.在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于300.讲授新课如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.如果两个角相等，那么这两个角是对顶角.三角形中相等的边所对的角相等.三角形中相等角的所对的边相等.直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.勾股定理：勾股定理逆定理：讲授新课从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺.另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了.知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程.（只列不解）问题讨论讲授新课直角三角形全等的判定定理及其三种语言定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(斜边,直角边或HL).如图,在△ABC和△A′B′C′中,∠C=∠C′=900,∵AC=A′C′,AB=A′B′(已知),∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL).ABCA′B′C′讲授新课用三角尺作角平分线再过点M作OA的垂线,如图:在已知∠AOB的两边OA,OB上分别取点M,N,使OM=ON;过点N作OB的垂线,两垂线交于点P,那么射线OP就是∠AOB的平分线.请你证明OP平分∠AOB.ABO●●●PMN已知:如图,OM=ON,PM⊥OM,PN⊥ON.求证:∠AOP=∠BOP.先把它转化为一个纯数学问题:讲授新课如图,已知∠ACB=∠BDA=900,要使△ABC≌△BDA,还需要什么条件?把它们分别写出来.增加AC=BD;ABCD增加BC=AD;增加∠ABC=∠BAD;增加∠CAB=∠DBA;你能分别写出它们的证明过程吗?若AD,BC相交于点O,图中还有全等的三角形吗?O你能写出图中所有相等的线段,相等的角吗?你能分别写出它们的证明过程吗?讲授新课定理1直角三角形的两个锐角互余.定理2在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.定理3在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.定理4直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半特殊图形直角三角形的性质讲授新课命题:在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于300.是真命题吗?如果是,请你证明它.300ABC已知:如图,△ABC,∠ACB=900,BC=AB/2.求证:∠A=300.讲授新课∵∠ACB=900,CD=BC(已知)∴AB=AD(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)又∵BC=AB/2(已知),BC=BD/2(作图),∴AB=BD(等量代换).∴AB=BD=AD(等式性质）.∴△ABD是等边三角形(等边三角形意义)∴∠B=600(等边三角形意义).∴∠A=300(直角三角形两锐角互余).ABCD证明:延长BC至D,使CD=BC,连接AD.讲授新课这是一个通过线段之间的关系来判定一个角的具体度数(300)的根据之一.定理:在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于300.在△ABC中∵∠ACB=900,BC=AB/2(已知),∴∠A=300(在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于300).ABC300讲授新课1.如图(1):四边形ABCD是一张正方形纸片,E,F分别是AB,CD的中点,沿着过点D的折痕将A角翻折,使得A落在EF上(如图(2)),折痕交AE于点G,那么∠ADG等于多少度?你能证明你的结论吗?DACBEFDACBEF(1)(2)GA巩固提高DACBEF(2)GA1证明:∵DF=DC/2(中点意义),A1D=AD=CD(正方形各边都相等)∴DF=A1D/2(等量代换).∴∠DA1F=300(在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于300).又∵AD∥EF∴∠A1DA=∠DA1F=300(两直线平行,内错角相等).∴∠ADG=∠A1DA/2=150(角平分线意义).●●300巩固提高直角三角形全等的判定定理:定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(斜边,直角边或HL).公理:三边对应相等的两个三角形全等（SSS）.公理:两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）.公理:两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）.推论:两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）.综上所述,直角三角形全等的判定条件可归纳为:一边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等;两边对应相等的两个直角三角形全等;课后小结1.已知:如图,D是△ABC的BC边上的中点,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别为E,F,且DE=DF.求证:△ABC是等腰三角形.分析:要证明△ABC是等腰三角形,就需要证明AB=AC;进而需要证明∠B∠C所在的△BDF≌△CDE;而△BDF≌△CDE的条件:从而需要证明∠B=∠C;BD=CD,DF=DE均为已知.因此,△ABC是等腰三角形可证.DBCAFE课后练习2.已知:如图,AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分别为E,F,DE=BF.求证:(1)AE=AF;(2)AB∥CD.

老师期望:请将证明过程规范化书写出来.

BCAEDF分析:(1)要证明AE=CF,由此AE=CF可证.需要证明内错角∠A=∠C;而由△ABF≌△CDE可得证.(2)要证明AB∥CD,由已知条件,AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,DE=BF.可证得△ABF≌△CDE,从而可得AF=CE.课后练习第一章

三角形的证明直角三角形第1课时

知识回顾①直角三角形的两个锐角互余.问题1直角三角形的定义是什么？问题2三角形内角和的性质是什么？有一个是直角的三角形叫直角三角形.三角形内角和等于180°.问题3前面我们探究过直角三角形的哪些性质？②在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.③在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°.你能证明这两个结论吗？获取新知知识点一：直角三角形中的角的关系想一想(1) 直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？为什么？定理直角三角形的两个锐角互余.定理有两个角互余的三角形是直角三角形.知识点：三角形内角和，你能行的你来给出完整的证明过程吧，试一试例题讲解例1

如图，在△ABC中，∠C＝70°，∠B＝30°，AD⊥BC于点D，AE为∠BAC的平分线，求∠DAE的度数．解：由题意可知，∠BAC＝180°－∠B－∠C＝80°.∵AE为∠BAC的平分线，∴∠CAE＝∠BAE＝∠BAC＝40°.∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°.∴∠CAD＝90°－∠C＝90°－70°＝20°.∴∠DAE＝∠CAE－∠CAD＝40°－20°＝20°.知识点二：直角三角形的边的关系获取新知勾股定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.ACB关于勾股定理的证明，可以欣赏“16页的读一读”，并可以上网搜索，诸如美国第二十任总统的证法、赵爽弦图法等如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形．勾股定理反过来，怎么叙述呢？这个命题是真命题吗？为什么？已知：如图，在△ABC中，AB2+AC2=BC2.求证：△ABC是直角三角形.证明：如图(2)，作Rt△A′B′C′

，使∠A′＝90°A′B′＝AB,A′C′＝AC,则A′B′

2＋A′C′2

＝B′C′2（勾股定理）.∵AB2＋AC2＝BC2

，∴BC2

＝B′C′2.∴BC＝B′C′.∴△ABC≌

△A′B′C′

(SSS).∴∠A＝∠A′＝90°(全等三角形的对应角相等）.因此，△ABC是直角三角形.例题讲解例2

已知：在△ABC中，AB＝13cm，BC＝10cm，BC边上的中线AD＝12cm.求证：AB＝AC.解：如图，因为AD是BC边上的中线，所以BD＝

BC＝×10＝5(cm)．在△ABD中，∵AB＝13cm，AD＝12cm，BD＝5cm，∴AB2＝AD2＋BD2.∴△ABD为直角三角形．所以AD⊥BC.在Rt△ADC中，AC＝

＝13(cm)，所以AB＝AC.获取新知知识点三：逆命题与逆定理议一议：观察上面第一个定理和第二个定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系？第三个定理和第四个定理呢？定理：直角三角形的两个锐角互余.定理：有两个角互余的三角形是直角三角形.定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.条件和结论互换了位置

在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.

如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题.命题“两直线平行，内错角相等”的条件和结论为：条件为：两直线平行.结论为：内错角相等．因此它的逆命题为：原命题都存在逆命题，但是互逆命题的真假无法保证

如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理.注意1：逆命题、互逆命题不一定是真命题，但逆定理、互逆定理，一定是真命题.注意2：不是所有的定理都有逆定理.定理“两直线平行，内错角相等”逆定理：“内错角相等，两直线平行”例题讲解例3

指出下列命题的条件和结论，并说出它们的逆命题.(1)一个三角形中相等的边所对的角相等；(2)等边三角形的每个角都等于60°；(3)全等三角形的对应角相等.解：(1)条件：一个三角形有两条边是相等的结论：这两条边所对的角也是相等的.

逆命题：一个三角形中相等的角所对的边相等.(2)条件：一个三角形是等边三角形.结论：它的每个角都等于60°.

逆命题：如果一个三角形的每个角都等于60°，那么这个三角形是等边三角形.(3)条件：两个三角形是全等三角形.结论：它们的对应角相等

逆命题：对应角相等的两个三角形全等.随堂演练1.在一个直角三角形中,有一个锐角等于35°,则另一个锐角的度数是(

)A.75° B.65° C.55° D.45°B2.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=2,点D在BC上,∠ADC=2∠B,AD=，则BC的长为()D3.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别记为a,b,c,由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是(

)A.∠A+∠B=∠CB.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3C.a2=c2-b2D.a∶b∶c=3∶4∶6D4.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD平分∠BAC,交BC于点D,DE⊥AB,垂足为E,则∠ADE的度数是

.5.直角三角形的两边长为4和5,则第三边长为

.60°6.如图所示,在△ABC中,AD是