七年级数学上册专题4.15 线段几何模型-双（多）中点模型（专项练习）-2022-2023学年七年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

/专题4.15线段几何模型-双（多）中点模型（专项练习）【模型一】线段单中点如图一，点P为线段AB中点，则有如下结论：：PA=PB;：AB=2AP=2PB；图一【模型二】线段双中点（1）线段上的双中点图二（2）线段延长线上的双中点模型图三一、单选题1．把根绳子对折成一条线段，在线段取一点，使，从处把绳子剪断，若剪断后的三段绳子中最长的一段为，则绳子的原长为（

）A． B． C．或 D．或2．将一段72cm长的绳子，从一端开始每3cm作一记号，每4cm也作一记号，然后从有记号的地方剪断，则这段绳子共被剪成的段数为（）A．37 B．36 C．35 D．343．点是线段上的三等分点，是线段的中点，是线段的中点，若，则的长为（

）A． B． C．或 D．或4．已知线段AB＝4cm，点C是直线AB上一点（不同于点A、B）．下列说法：①若点C为线段AB的中点，则AC＝2cm；②若AC＝1cm，则点C为线段AB的四等分点；③若AC+BC＝4cm，则点C一定在线段AB上；④若AC+BC＞4cm，则点C一定在线段AB的延长线上；⑤若AC+BC＝8cm，则AC＝2cm．其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．如图，B在线段AC上，且BC=2AB，D，E分别是AB，BC的中点．则下列结论：①AB=AC；②B是AE的中点；③EC=2BD；④DE=AB．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．已知线段AC和BC在同一直线上，AC＝8cm，BC＝3cm，则线段AC的中点和BC中点之间的距离是（）A．5.5cm B．2.5cmC．4cm D．5.5cm或2.5cm7．如图，C、D是线段AB上两点，M、N分别是线段AD、BC的中点，下列结论：①若AD=BM，则AB=3BD；②若AC=BD，则AM=BN；③AC-BD=2（MC-DN）；④2MN=AB-CD．其中正确的结论是（

）A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④8．已知，点C在直线AB上，ACa，BCb，且a≠b，点M是线段AB的中点，则线段MC的长为（

）A． B． C．或 D．或9．点C、D在线段AB上，若点C是线段AD的中点，2BD>AD，则下列结论正确的是(

).A．CD<AD－BD B．AB>2BD C．BD>AD D．BC>AD10．如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN=20，第一次操作：分别取线段AM和AN的中点；第二次操作：分别取线段和的中点；第三次操作：分别取线段和的中点；……连续这样操作10次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和(

)A． B． C． D．二、填空题11．如图，点C、D在线段AB上，且C为AB的一个四等分点，D为AC中点，若BC＝2，则BD的长为_________.12．如图，C、D是线段AB上的两点，CD=1cm，点M是AD的中点，点N是BC的中点，且MN=3.5cm，则AB=______cm.13．如图，已知直线l上两点A、B（点A在点B左边），且AB=10cm，在直线l上增加两点C、D（点C在点D左边），作线段AD点中点M、作线段BC点中点N；若线段MN=3cm，则线段CD=______cm．14．若点C为线段AB上一点，AB=12，AC=8，点D为直线AB上一点，M、N分别是AB、CD的中点，若MN=10，则线段AD的长为______．15．如图，数轴上的O点为原点，A点表示的数为，动点P从O点出发，按以下规律跳动：第1次从O点跳动到OA的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，…，第n次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点，，，…，（，n是整数）处，那么点所表示的数为_________．16．在数轴上，点A表示的数是-3，点B表示的数是5，点P表示的数是x，（I）若A、B两点间的距离表示为AB，则AB=_________；（Ⅱ）若点P为线段AB的中点，点P表示的数x=__________；（Ⅲ）若E，F，Q为数轴上的三个点，点Q表示的数为1，点F在点E的右侧，若EF=2则EA+EB+EQ+FA+FB+FQ的最小值为________17．线段，在直线上截取线段，为线段的中点，为线段的中点，那么线段__________．18．已知线段和在同一直线上，如果，，则线段和的中点之间的距离为______________．19．已知点A，B，C都在直线l上，点P是线段AC的中点.设，，则线段BC的长为________（用含a，b的代数式表示）20．已知线段AB=12,P是线段AB的三等点，Q是直线AB上一个动点，若AQ=PQ+BQ,则线段AQ的长为__________________三、解答题21．已知如图，点是线段上的两点，点和点分别在线段和线段上．已知，，，时，求的长度．22．小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣：如图1，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点．若AB＝12，AC＝8，求MN的长．(1)根据题意，小明求得MN＝___________；(2)小明在求解（1）的过程中，发现MN的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究．设AB＝a，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答．①如图1，M，N分别是AC，BC的中点，则MN＝______________；②如图2，M，N分别是AC，BC的三等分点，即，，求MN的长；③若M，N分别是AC，BC的n等分点，即，，则MN＝___________；23．点在线段上，．(1)如图1，，两点同时从，出发，分别以，的速度沿直线向左运动；①在还未到达点时，的值为；②当在右侧时(点与不重合)，取中点，的中点是，求的值；(2)若是直线上一点，且．则的值为．24．已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧，（1）若AB＝18，DE＝8，线段DE在线段AB上移动，①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；②当点C是线段DE的三等分点时，求AD的长；（2）若AB＝2DE，线段DE在直线上移动，且满足关系式，则＝．25．【新知理解】如图①，点M在线段AB上，图中共有三条线段AB、AM和BM，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段AB的“和谐点”．(1)线段的中点

这条线段的“和谐点”（填“是”或“不是”）；(2)【初步应用】如图②，若CD＝12cm，点N是线段CD的和谐点，则CN＝

cm；(3)【解决问题】如图③，已知AB＝15cm，动点P从点A出发，以1cm/s速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点B出发，以2m/s的速度沿BA向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t，请直接写出t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的和谐点．26．如图，点A,B在数轴上表示的数分别为-4和+16，A,B两点间的距离可记为AB(1)点C在数轴上A,B两点之间，且AC=BC,则C点对应的数是_________(2)点C在数轴上A,B两点之间，且BC=4AC,则C点对应的数是_________(3)点C在数轴上,且AC+BC=30，求点C对应的数?(4)若点A在数轴上表示的数是a,B表示的数是b,则AB=_________参考答案1．C【分析】由于题目中的对折没有明确对折点，所以要分A为对折点与B为对折点两种情况讨论，讨论中抓住最长线段即可解决问题．解：如图∵，∴2AP=＜PB①若绳子是关于A点对折，∵2AP＜PB∴剪断后的三段绳子中最长的一段为PB=30cm，∴绳子全长=2PB+2AP=24×2+×24=64cm；②若绳子是关于B点对折，∵AP＜2PB∴剪断后的三段绳子中最长的一段为2PB=24cm∴PB=12cm∴AP=12×cm∴绳子全长=2PB+2AP=12×2+4×2=32cm；故选：C．【点拨】本题考查的是线段的对折与长度比较，解题中渗透了分类讨论的思想，体现思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．2．B【分析】先求出每3厘米作一个记号，可以作几个记号；再求出每4厘米作一个记号，可以作几个记号；因为3和4的最小公倍数是12，所以每12厘米处的记号重合，由此即可求出绳子被剪出的段数．解：∵绳子长72cm，∴每3cm作一记号，可以把绳子平均分成72÷3＝24（段），可以做24−1＝23个记号，每4cm也作一记号，可以把绳子平均分成72÷4＝18（段），可以做18−1＝17个记号，∵3和4的最小公倍数是12，所以重合的记号有：72÷12−1＝5（个），∴有记号的地方共有23＋17−5＝35，∴这段绳子共被剪成的段数为35＋1＝36（段）．故选：B．【点拨】此题主要考查了线段，关键是正确理解每3厘米、4厘米作一个记号，可以作几个记号，有多少的记号重合．3．D【分析】分两种情况分析：点C在AB的处和点C在AB的处，再根据中点和三等分点的定义得到线段之间的关系求解即可.解：①当点C在AB的处时，如图所示：因为，E是线段BC的中点，所以BC=12,又因为点C是线段AB上的三等分点，所以AB＝18；②当点C在AB的处时，如图所示：因为，E是线段BC的中点，所以BC=12,又因为点C是线段AB上的三等分点，所以AB＝36.综合上述可得AB=18或AB=36.故选：D.【点拨】考查了线段有关计算，解题关键根据题意分两种情况分析，并画出图形，从而得到线段之间的关系.4．C【分析】根据线段的中点，线段的延长线，线段的反向延长线，线段的和差计算正确结论即可.解：（1）如图1所示：∵点C为线段AB的中点，∴AC＝BC＝，又∵AB＝4cm，∴AC＝2cm，∴结论①正确；（2）如图2所示：∵AC1＝1，AB＝4，∴，∴点C1为线段AB的四等分点又∵AC2＝1，∴又∵点C2在AB的反向延长线上，∴点C2不是线段AB的四等分点，∴结论②错误；（3）如图3所示：点C为线段AB上的一动点，∴AB＝AC+BC，又∵AB＝4cm，∴AC+BC＝4cm，∴结论③正确；（4）如图4所示：若点C在AB的延长线上时，AC1+BC1＞AB，∵AB＝4，∴AC1+BC1＝AB+2BC1＞4cm，若点在AB的反向延长线上时，AC2+BC2＞AB，∵AB＝4，∴AC2+BC2＝AB+2AC2＞4cm，∴结论④正确；（5）如图5所示：若点C在线段AB的延长线时，且AC1＝6cm，有AC1+BC1＝8cm，若点C在线段AB的反向延长线时，且AC2＝2cm，有AC2+BC2＝8cm，∴结论⑤错误．综合所述；正确结论是①、③、④，故选：C．【点拨】本题考查线段的中点，线段的延长线，线段的反向延长线，线段的和差计算，熟练掌握各定义和运算法则是关键.5．D【分析】根据线段中点的性质进行分析即可.解：①、由BC=2AB，AC=AB+BC，得：AC=3AB，故正确；②、由E分别是BC的中点，BC=2AB，得BE=AB，故正确；③、由D，E分别是AB，BC的中点，得：EC=BE=AB=2BD，故正确；④、由上述结论，得：DE=DB+BE=AB+AB=AB，故正确．故选D．【点拨】考核知识点：线段中点.6．D【分析】先根据线段中点的定义求出CE，CF，然后分点B不在线段AC上时，EF＝CE+CF，点B在线段AC上时，EF＝CE﹣CF两种情况计算即可得解．解：设AC、BC的中点分别为E、F，∵AC＝8cm，BC＝3cm，∴CE＝AC＝4cm，CF＝BC＝1.5cm，如图所示，当点B不在线段AC上时，EF＝CE+CF，＝4+1.5，＝5.5cm，如图所示，当点B在线段AC上时，EF＝CE﹣CF，＝4﹣1.5，＝2.5cm，综上所述，AC和BC中点间的距离为2.5cm或5.5cm．故答案为2.5cm或5.5cm故选D．【点拨】对于没有给出图形的几何题，要考虑所有可能情况，分点B在不在线段AC上的两种情况，然后根据不同图形分别进行计算7．D【分析】根据M、N分别是线段AD、BC的中点，可得AM=MD，CN=BN.由①知，当AD=BM，可得AM=BD，故而得到AM=MD=DB，即AB=3BD；由②知，当AC=BD时，可得到MC=DN，又AM=MD，CN=BN，可解得AM=BN；由③知，AC-BD=AM+MC-BN-DN=(MC-DN)+(AM-BN)=(MC-DN)+(MD-CN)=2(MC-DN)；由④知，AB-CD=AC+BD=AM+MC+DN+NB=MD+MC+DN+CN=MD+DN+MC+CN=2MN逐一分析，继而得到最终选项.解：∵M，N分别是线段AD，BC的中点，∴AM=MD，CN=NB.①∵AD=BM，∴AM+MD=MD+BD，∴AM=BD.∵AM=MD，AB=AM+MD+DB，∴AB=3BD.②∵AC=BD，∴AM+MC=BN+DN.∵AM=MD，CN=NB，∴MD+MC=CN+DN，∴MC+CD+MC=CD+DN+DN，∴MC=DN，∴AM=BN.③AC-BD=AM+MC-BN-DN=(MC-DN)+(AM-BN)=(MC-DN)+(MD-CN)=2(MC-DN)；④AB-CD=AC+BD=AM+MC+DN+NB=MD+MC+DN+CN=MD+DN+MC+CN=2MN.综上可知，①②③④均正确故答案为：D【点拨】本题主要考查线段长短比较与计算，以及线段中点的应用.8．D【分析】由于点B的位置以及a、b的大小没有确定，故应分四种情况进行讨论，即可得到答案．解：由于点B的位置不能确定，故应分四种情况讨论：①当a＞b且点C在线段AB上时，如图1．∵AC=a，BC=b，∴AB=AC+BC=a+b．∵点M是AB的中点，∴AMAB=，∴MC=AC﹣AM==．②当a＞b且点C在线段AB的延长线上时，如图2．∵AC=a，BC=b，∴AB=AC-BC=a-b．∵点M是AB的中点，∴AMAB=，∴MC=AC﹣AM==．③当a＜b且点C在线段AB上时，如图3．∵AC=a，BC=b，∴AB=AC+BC=a+b．∵点M是AB的中点，∴AMAB=，∴MC=AM﹣AC==．④当a＜b且点C在线段AB的方向延长线上时，如图4．∵AC=a，BC=b，∴AB=BC-AC=b-a．∵点M是AB的中点，∴AMAB=，∴MC=AC+AM==．综上所述：MC的长为或（a＞b）或（a＜b），即MC的长为或．故选D．【点拨】本题考查了中点的定义，线段之间的和差关系，两点间的距离，掌握线段间的和差关系与分类讨论的数学思想是解题的关键．9．D【分析】根据点C是线段AD的中点，可得AD=2AC=2CD，再根据2BD>AD，可得BD>AC=CD，再根据线段的和差，逐一进行判即可．解：∵点C是线段AD的中点，∴AD=2AC=2CD，∵2BD>AD，∴BD>AC=CD，A.CD=AD-AC>AD－BD，该选项错误；B.由A得AD－BDCD，则ADBD+CD=BC,则AB=AD+BDBC+BD2BD，该选项错误；C.由B得AB2BD，则BD+AD2BD,则ADBD,该选项错误；D.由A得AD－BDCD，则ADBD+CD=BC,该选项正确故选D．【点拨】本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．10．A【分析】根据，分别为的中点，求出的长度，再由的长度求出的长度，找到的规律即可求出的值.解：∵，分别为的中点，∴，∵分别为的中点，∴，根据规律得到，∴，故选A.【点拨】本题是对线段规律性问题的考查，准确根据题意找出规律是解决本题的关键，相对较难.11．5解：先根据四等分点的定义求出AB=4BC=8，由AC=AB-BC求出AC8-2=6，再根据中点的定义可得CD=AC=3，而BD=CD+BC=3+2=5．故答案为5．点睛：此题主要考查了两点间的距离的计算；求出与所求线段相关的线段CD的长是解决本题的突破点．12．8【分析】先根据已知条件求得AM+CN＝4.5，再由AB＝AM+CN+MN代入计算即可.解：因为点M是AD的中点，点N是BC的中点，所以AM＝MD，CN＝BN，又因为CD＝1，所以MC＝MD－CD＝AM－1，因为MN＝MC+CN＝3.5，所以MN＝AM－1+CN＝3.5，所以AM+CN＝4.5，所以AB＝AM+NB+MN＝AM+CN+MN＝4.5+3.5＝8.故答案是：8.【点拨】考查了线段中点的性质，解题关键是求得AM+CN＝4.5，利用了整体思想.13．16或4解：如图，把直线放到数轴上，让点A和原点重合，则点A所对应的数为0，点B所对应的数是10，设点C所对应的数为、点D所对应的数为，∵则点M是线段AD的中点，点N是线段BC的中点，∴点M所对应的数是，点N所对应的数是，∵MN=3，∴（1）如图1，当点M在点N的左侧时，MN=，化简得：，由点C在点D的左侧可得：CD=；（2）如图2，当点M在点N的右侧时，MN=，化简得：，由点C在点D的左侧可得：CD=.【点拨】（1）在数轴上任意两点A、B，若它们在数轴上所对应的数是，则线段AB的中点所对应的数是：；（2）在本题中，只限定了点C在点D的左侧，没有说明点M和点N的位置关系，因此要分点M在点N左侧和右侧两种情况讨论，不要忽略了其中任何一种情况.14．16或24根据线段的和、差及中点定义并利用分类讨论思想即可得出答案.解：有三种情况：①当点D在线段AB上时，如图所示，MN≠10，与已知条件不符，故此种情况不成立；②当点D在线段AB的延长线上时，如图所示，∵M是AB的中点，AB=12，∴AM＝6，∵AC=8，∴MC=2,∵MN=10，∴CN=MN-MC=10-2=8，∵N是CD的中点，∴CD=16,∴AD=CD+AC=16+8=24;②当点D在线段AB的反向延长线上时，如图所示，∵M是AB的中点，AB=12，∴AM＝6，∵AC=8，∴MC=2,∵MN=10，∴CN=MN+MC=10+2=12，∵N是CD的中点，∴CD=24,∴AD=CD-AC=24-8=16.故线段AD的长为16或24.点睛：本题主要考查线段和、差及中点定义，利用分类讨论思想正确作图是解题的关键.15．【分析】根据题意找出规律，，，…，，求出的长即可得到结果．解：∵A表示的数是，∴∵是AO的中点，∴，同理，，…，，∴，∵在负半轴，∴点所表示的数是．故答案是：．【点拨】本题考查找规律，解题的关键是根据数轴上中点的性质找出点表示的数的规律．16．

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18【分析】（I）根据数轴的定义即可得；（Ⅱ）根据数轴的定义、线段中点的定义即可得；（Ⅲ）先找出所求式子取最小值时，点E、F的位置，再根据数轴的定义求解即可得．解：（I）；（Ⅱ）；（Ⅲ）由题意得：当点E在点A、Q之间，点F在点B、Q之间时，取得最小值，此时，，，，即的最小值为18；故答案为：8，1，18．【点拨】本题考查了数轴、线段中点的定义，熟练掌握数轴的定义是解题关键．17．1或2【分析】根据题意，可分为两种情况进行分析：①点C在线段AB上；②点C在线段AB的延长线上；分别作出图形，求出答案，即可得到DE的长度.解：根据题意，①当点C在线段AB上时；如图：∵，，又∵为线段的中点，为线段的中点，∴，，∴；②当点C在线段AB的延长线上时；如图：与①同理，可求，，∴；∴线段DE的长度为：1或2；故答案为：1或2.【点拨】本题考查了线段的中点，两点之间的距离，以及线段的和差关系，解题的关键是熟练掌握线段的中点，线段的和差关系进行解题.18．4cm或1.6cm．【分析】此题有两种情况：①当C点在线段AB上，此时AB=AC+BC，然后根据中点的性质即可求出线段AC和BC的中点之间的距离；②当B在线段AC上时，那么AB=AC-CB，然后根据中点的性质即可求出线段AC和BC的中点之间的距离．解：此题有两种情况：①当C点在线段AB上，此时AB=AC+BC，而AC=5．6cm，BC=2.4cm，∴AB=AC+BC=8cm，∴线段AC和BC的中点之间的距离为cm；②当B点在线段AC上，此时AB=AC-BC，而AC=5．6cm，BC=2.4cm，∴AB=AC-BC=2.8cm，∴线段AC和BC的中点之间的距离为cm．故答案为：4cm或1.6cm．【点拨】本题考查了比较线段的长短的知识，本题渗透了分类讨论的思想，要防止漏解．19．2b-a或2b+a或a-2b【分析】由于点A.B、C三点都在直线l上,点P是线段AC的中点，故分点B在A的右侧，点B在AP之间,点B在PC之间,点B在C的左侧四种情况进行讨论.解：当点B在A的右侧，如图∵，∴AP=b-a∵点P是线段AC的中点∴PC=AP=b-a∴BC=BA+AP+PC=a+（b-a）+（b-a）=2b-a当点B在AP之间,如图∵，∴AP=b+a∵点P是线段AC的中点∴PC=AP=b+a∴BC=BP+PC=b+（b+a）=2b+a当点B在PC之间,如图∵，∴AP=a-b∵点P是线段AC的中点∴PC=AP=a-b，∴BC=PC-PB=（a-b）-b=a-2b当点B在C的左侧，如图∵，∴AP=a-b∵点P是线段AC的中点∴AC=2AP=2a-2b，∴BC=AB-AC=a-（2a-2b）=2b-a综上所述：BC=2b-a或BC=2b+a，或BC=a-2b故答案为：2b-a或2b+a或a-2b【点拨】本题考查了线段的中点，注意图形不确定时需要进行分类讨论是解题的关键.20．8、16、20、【分析】分点P是靠近点A的三分点和点P是靠近点B的三分点两种情况讨论.解：分点P是靠近点A的三分点和点P是靠近点B的三分点两种情况讨论：（1）点P是靠近点A的三分点，①当点Q在点B右侧时，此时AP==4，因为AQ=AP+PQ=PQ+BQ，所以AP=BQ=4，所以AQ=AB+BQ=12+4=16；②当点Q在点B左侧时，此时AP==4，因为AQ=AP+PQ=PQ+BQ，所以AP=BQ=4，所以AQ=AB-BQ=12-4=8；（2）点P是靠近点B的三分点，①当点Q在点B右侧时，此时AP==8，因为AQ=AP+PQ=PQ+BQ，所以AP=BQ=8，所以AQ=AB+BQ=12+8=20；②当点Q在点P左侧时，此时AP==8，BP=4，因为AQ=AP-PQ=PQ+BQ=BP+2PQ，即8-PQ=4+2PQ，解得PQ=，所以AQ=AP-PQ=8-=；故答案为8、16、20、【点拨】此题考查了线段的和差计算，对点P的位置以及点Q的位置分类讨论是解答此题的关键.21．4.5cm【分析】先求出BM+CN的长度，再根据BC=MN-（BM+CN）即可得出结果．解：，．,，．【点拨】本题考查线段的和差定义、两点间距离等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．22．(1)6(2)①；②；③【分析】（1）由AB=12，AC=8，得BC=AB-AC=4，根据M，N分别是AC，BC的中点，即得CM=AC=4，CN=BC=2，故MN=CM+CN=6；（2）①由M，N分别是AC，BC的中点，知CM=AC，CN=BC，即得MN=AC+BC=AB，故MN=a；②由AM=AC，BN=BC，知CM=AC，CN=BC，即得MN=CM+CN=AC+BC=AB，故MN=a；③由AM=AC，BN=BC，知CM=AC，CN=BC，即得MN=CM+CN=AC+BC=AB，故MN=a．(1)解：∵AB=12，AC=8，∴BC=AB-AC=4，∵M，N分别是AC，BC的中点，∴CM=AC=4，CN=BC=2，∴MN=CM+CN=6；故答案为：6；(2)解：①∵M，N分别是AC，BC的中点，∴CM=AC，CN=BC，∴MN=AC+BC=AB，∵AB=a，∴MN=a；故答案为：a；②∵AM=AC，BN=BC，∴CM=AC，CN=BC，∴MN=CM+CN=AC+BC=AB，∵AB=a，∴MN=a；③∵AM=AC，BN=BC，∴CM=AC，CN=BC，∴MN=CM+CN=AC+BC=AB，∵AB=a，∴MN=a，故答案为：a．【点拨】本题考查了线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算．23．（1）①；②;（2）或或或【分析】（1）由线段的和差关系，以及QB=2PC，BC=2AC，即可求解；（2）设AC=x，则BC=2x，∴AB=3x，D点分四种位置进行讨论，①当D在A点左侧时，②当D在AC之间时，③当D在BC之间时，④当D在B的右侧时求解即可．解：（1）①AP=AC-PC，CQ=CB-QB，∵BC=2AC，P、Q速度分别为1cm/s、2cm/s，∴QB=2PC，∴CQ=2AC-2PC=2AP，∴②设运动秒，分两种情况A:在右侧，，分别是，的中点，，∴B:在左侧，，分别是，的中点，，∴（2）∵BC=2AC．设AC=x，则BC=2x，∴AB=3x，①当D在A点左侧时，|AD-BD|=BD-AD=AB=CD，∴CD=6x，∴；②当D在AC之间时，|AD-BD|=BD-AD=CD，∴2x+CD-x+CD=CD，x=-CD（不成立），③当D在BC之间时，|AD-BD|=AD-BD=CD，∴x+CD-2x+CD=CD，CD=x，∴；|AD-BD|=BD-AD=CD，∴2x-CD-x-CD=CD，∴CD=；④当D在B的右侧时，|AD-BD|=BD-AD=CD，∴2x-CD-x-CD=CD，CD=6x，∴．综上所述，的值为或或或【点拨】题考查线段的和差问题，距离与绝对值的关系，动点问题．画好线段图，分类讨论是解决本题的关键．24．（1）①AD＝7；②AD＝或；（2）或【分析】（1）根据已知条件得到BC＝6，AC＝12，①由线段中点的定义得到CE＝3，求得CD＝5，由线段的和差得到AD＝AC﹣CD＝12﹣5＝7；②当点C线段DE的三等分点时，可求得CE＝DE＝或CE＝DE＝，则CD＝或，由线段的和差即可得到结论；（2）当点E在线段BC之间时，设BC＝x，则AC＝2BC＝2x，求得AB＝3x，设CE＝y，得到AE＝2x+y，BE＝x﹣y，求得y＝x，当点E在点A的左侧，设BC＝x，则DE＝1.5x，设CE＝y，求得DC＝EC+DE＝y+1.5x，得到y＝4x，于是得到结论．解：（1）∵AC＝2BC，AB＝18，∴BC＝6，AC＝12，①∵E为BC中点，∴CE＝3，∵DE＝8，∴CD＝5，∴AD＝AC﹣CD＝12﹣5＝7；②∵点C是线段DE的三等分点，DE＝8，∴CE＝DE＝或CE＝DE＝，∴CD＝或CD＝，∴AD＝AC﹣CD＝12﹣＝或12-=；（2）当点E在线段BC之间时，如图，设BC＝x，则AC＝2BC＝2x，∴AB＝3x，∵AB＝2DE，∴DE＝1.5x，设CE＝y，∴AE＝2x+y，BE＝x﹣y，∴AD＝AE﹣DE＝2x+y﹣1.5x＝0.5x+y，∵，∴，∴y＝x，∴CD＝1.5x﹣x＝x，∴；当点E在点A的左侧，如图，设BC＝x，则DE＝1.5x，设CE＝y，∴DC＝EC+DE＝y+1.5x，∴AD＝DC﹣AC＝y+1.5x﹣2x＝y﹣0.5x，∵，BE＝EC+BC＝x+y，∴，∴y＝4x，∴CD＝y+1.5x＝4x+1.5x＝5.5x，BD＝DC+BC＝y+1.5x+x＝6.5x，∴AB＝BD﹣AD＝