人教B版（2023）必修第三册《8.2 三角恒等变换》同步练习（含解析）

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一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1.（5分）已知，则等于

A.B.C.D.

2.（5分）已知直线过点，且倾斜角为直线：的倾斜角的倍，则直线的方程为

A.B.

C.D.

3.（5分）已知，则的值为

A.B.C.D.

4.（5分）函数，则的奇偶性为

A.奇函数

B.偶函数

C.既是奇函数又是偶函数

D.非奇非偶函数

5.（5分）若，，，，则

A.B.

C.D.

6.（5分）的值为

A.B.C.D.

7.（5分）的面积为若，，则角等于

A.B.C.D.

8.（5分）已知是第四象限角，且，则

A.B.C.D.

二、多选题（本大题共5小题，共25分）

9.（5分）下列说法正确的是

A.在中，若，则

B.在中，

C.若，则定为直角三角形．

D.在锐角中，有，

10.（5分）在三角形中，下列命题正确的有

A.若，则三角形有两解

B.若，则一定是钝角三角形

C.若，则一定是等边三角形

D.若，则的形状是等腰或直角三角形

11.（5分）关于函数，下列结论正确的有

A.函数有最小值

B.存在，有时，成立

C.函数在区间上单调递增

D.函数的图象关于成中心对称

12.（5分）在中，角，，的对边分别是，，，若，，则下列结论正确的是

A.B.C.或D.的面积为

13.（5分）若，，则

A.B.

C.D.

三、填空题（本大题共5小题，共25分）

14.（5分）在中，已知角所对的边分别为，若，则的范围为_______________.

15.（5分）若sinαsinβ=1，则cos（α-β）的值是____________．

16.（5分）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称，若，则________．

17.（5分）已知，且为第四象限角，则______．

18.（5分）已知，，且，，则______．

四、解答题（本大题共5小题，共60分）

19.（12分）若复数满足，复数，是虚数单位，求的取值范围.

20.（12分）在中，角为钝角，，，．

求的值；

求边的长

21.（12分）已知函数．

求函数的最小正周期及单调递减区间；

如果的角，，所对的边为，，，且满足，试求的取值范围．

22.（12分）已知．

Ⅰ求的值域：

Ⅱ若，求．

23.（12分）中，三内角，，所对的边分别为，，，边上的高为，已知

求的值；

若，且的面积为，求的周长．

答案和解析

1.【答案】B;

【解析】解：，

则．

故选：．

利用两角差的正切公式计算即可．

该题考查了两角差的正切计算问题，是基础题．

2.【答案】D;

【解析】解：由题意，直线的斜率为，倾斜角为，所以，

过点的倾斜角为，

其斜率为，

故所求直线方程为：，即．

故选：．

先求直线的斜率，进而转化为倾斜角，用倍角公式求过点的斜率，再求解直线方程．

该题考查的知识点是点斜式方程，二倍角的正切公式，是直线与三角函数的综合应用，难度中档．

3.【答案】C;

【解析】解：，

故选：

由已知直接利用同角三角函数基本关系式及倍角公式求解．

此题主要考查三角函数的化简求值，考查倍角公式的应用，是基础题．

4.【答案】A;

【解析】

此题主要考查函数的奇偶性以及两角和与差的三角函数公式，考查学生灵活运用知识的能力，属于基础题.

运用两角和与差的三角函数公式展开化简可得，根据正弦函数的性质即可选择.

解：由题意可知，，

所以函数为奇函数.

故选：

5.【答案】A;

【解析】解：，，，，

，，

．

故选：．

由已知利用同角三角函数基本关系式可求，的值，进而根据两角和的余弦函数公式即可化简求解．

这道题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．

6.【答案】C;

【解析】解：

故选：．

由两角和的余弦公式可知，从而可求其值．

本题主要考察两角和的余弦公式，属于基础题．

7.【答案】C;

【解析】

此题主要考查两角和与差的三角函数以及正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式，是基础题.

先由正弦定理求出，再由余弦定理求出，利用求

解：，

，

即

又，，

，即

，

故有，

由余弦定理知，

，，又，

，

故选

8.【答案】C;

【解析】解：是第四象限角，且，则，

故选：．

利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得的值．

这道题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．

9.【答案】ABC;

【解析】此题主要考查正弦定理及两角和的正弦公式，是中档题，由大边对大角，可判断，由，，代入分式中可判断，由和角公式可判断，举反例可否定

解：在中，由正弦定理：，

若，故正确；

B.由正弦定理，，，

故，故正确；

C.若，

由正弦定理得，

得，

即，又，故，得，

则定为直角三角形，故正确；

D.锐角中，如，

由，，可知不成立，故错误．

故选

10.【答案】BCD;

【解析】

此题主要考查了正弦定理和两角和与差的三角函数公式，属于中档题.

根据题意逐一判定即可得出结论.

解：由正弦定理得，即，得，

由，所以，所以为锐角，所以三角形有一解，故错误；

若，则，，所以、为锐角，

则，所以，

所以为锐角，所以为钝角，则一定是钝角三角形，故正确；

若，

所以，

则，则，则一定是等边三角形，故正确；

若，则由正弦定理得，

即，

则，

所以，则或，

所以或，所以的形状是等腰或直角三角形，故正确.

故选

11.【答案】ABC;

【解析】解：，

选项，最小值为，即正确；

选项，最小正周期，不妨计算，，有，即正确；

选项，令，，则，，

当时，在上单调递增，即正确；

选项，因为，所以不可能关于成中心对称，即错误．

故选：

化简可得，再根据正弦函数的图象与性质，逐一判断选项，即可．

此题主要考查三角函数的综合，熟练掌握正弦函数的图象与定制，辅助角公式，二倍角公式是解答该题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．

12.【答案】ABD;

【解析】

此题主要考查正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，两角和与差的三角函数公式，属于中档题.

由已知，，利用余弦定理，正弦定理可求角，的三角函数值，进而求，利用三角形的面积公式即可求其面积．

解：，

，则，故正确；

，

，

，

，

又是的内角，，

，是的内角，，故正确；

，

，则由正弦定理得，故错误；

，故正确．

故选

13.【答案】AC;

【解析】解：，，

，

则，故正确；

，故错误；

，故正确；

，故错误．

故选：

由已知求解，再由倍角公式及两角差的正弦逐一分析四个选项得答案．

此题主要考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及倍角公式的应用，考查两角差的正弦，是基础题．

14.【答案】;

【解析】

此题主要考查正弦定理的应用，以及二倍角公式的应用，属于中档题.

解：因为，

所以由正弦定理，

可得：，

，可得：，

，

故答案为

15.【答案】1;

【解析】解：由sinαsinβ=1，得cosαcosβ=0，

∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=1．

故答案为：1．

16.【答案】;

【解析】角与角均以为始边，它们的终边关于y轴对称，

，，

，

，

故答案为．

17.【答案】;

【解析】解：由，且为第四象限角，得，

，

则，

．

故答案为：．

由已知求得，得到，再由倍角公式求得，然后展开两角差的正切求的值．

该题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式、倍角公式及两角差的正切，是基础题．

18.【答案】-;

【解析】解：已知，，且，，，，

，，，

则，

故答案为：．

利用同角三角函数的基本关系求得、的值，再利用二倍角公式求得的值，再利用两角差的正切公式求得的值．

这道题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式、两角差的正切公式的应用，属于中档题．

19.【答案】解：设，则，

代入，得，

即，

，

，

，

;

【解析】此题主要考查复数的四则运算，复数的模与两角和与差的三角函数，正弦函数的值域，属于中档题.

设出复数，利用复数相等的条件列出方程组，求出复数，然后通过复数的模利用两角和与差的三角函数，通过正弦函数的值域，求出复数模的范围即可．

20.【答案】解：（1）在△ABC中，角C为钝角，

所以，，

所以，，

又，所以，

所以sinB=sin[A-（A-B）]=sinAcos（A-B）-cosAsin（A-B）=．

（2）因为，且，所以，

又，，

所以，在△ABC中，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB==，

由正弦定理得，，又b=5，

所以．;

【解析】

利用同角三角函数间的关系得到、、，从而利用两角和差公式得到的值；

利用正弦定理解三角形，从而求得边长．

本题是常考题型，考查解三角形，需对三角函数的各类公式熟练掌握．

21.【答案】解：（1）f（x）=sinxcosx+cox-=sin2x+cos2x=sin（2x+），

∴函数f（x）的最小正周期T=π；

由2kπ+π≤2x+≤2kπ+π，可得+kπ≤+kπ，

∴单调递减区间为[+kπ，+kπ]（k∈Z）；

（2）∵=ac，=+-2accosB，

∴ac=+-2accosB，

解得1＞cosB≥，

∴0＜B≤，

∴＜2B+≤π，

∴0≤sin（2B+）≤1，

即f（B）的取值范围为[0，1]．;

【解析】

利用二倍角公式化简函数，再求函数的最小正周期及单调递减区间；

利用余弦定理，结合基本不等式，三角函数的性质，即可求的取值范围．

此题主要考查三角函数的化简，考查基本不等式的运用，考查学生综合分析问题的能力，属于中档题．

22.【答案】解：（Ⅰ）∵=（sinx-cosx）cosx=sin2x-cos2x-=sin（2x-）-，

∵-≤sin（2x-）≤，

∴-≤sin（2x-）-≤，

故f（x）的值域为[-，]．

（Ⅱ）∵f（+）=sin（α+β）-=-，

∴则sin（α+β）=，

∵tan=，

∴tanα===＞1，

∵，可得sinα=，cosα=，

∵sinα＞sin（α+β），

∴则α+β∈（，π），cos（α+β）=-，

∴cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=-．;

【解析】

Ⅰ利用三角函数恒等变换的应用可求函数解析式为，利用正弦函数的性质可求其值域．

Ⅱ由已知可求，利用二倍角的正切函数公式可求，根据同角三角函数基本关系式可求，，的