广东省梅州市坭陂中学高三数学文期末试卷含解析

广东省梅州市坭陂中学高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.从某小学中随机抽取100名学生，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图2)．由图中数据可知，身高在[120,130]内的学生人数为()图2A．20

B．25

C．30

D．35参考答案：C略2.在等差数列中，，

（

）

A.

B.

C．

D．以上都不对参考答案：B3.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的的值是（）。A．2

B．

C．

D．3参考答案：D知识点：由三视图求几何体的体积．解析：解：根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：

故选D．思路点拨：根据三视图判断几何体为四棱锥，再利用体积公式求高x即可．4.若直线y=a分别与直线y=2x-3，曲线y=ex-x（x≥0）交于点A，B，则|AB|的最小值为（）A. B. C.e D.参考答案：B【分析】设A（x1，a），B（x2，a），建立方程关系用x1表示x2，则|AB|＝x1﹣x2，构造函数求函数的导数，研究函数的最值即可．【详解】作出两个曲线的图象如图，设A（x1，a），B（x2，a），则x1＞x2，则2x1﹣3＝e，即x1（e+3），则|AB|＝（e+3）（﹣3+e3），设f（x）（ex﹣3x+3），x≥0，函数的导数f′（x）（﹣3+ex），由f′（x）＞0得x＞ln3，f（x）为增函数，由f′（x）＜0得0≤x＜ln3，f（x）为减函数，即当x＝ln3时，f（x）取得最小值，最小值为f（ln3）（3+3﹣3ln3）＝3ln3，故选：B．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，设出坐标，利用两点间的距离公式，构造函数，求函数的导数，利用导数求函数的最值是解决本题的关键．5.函数的定义域为，，对任意，，则

的解集为

（

）

A.

B．

C.

D．参考答案：【知识点】其他不等式的解法．E9

【答案解析】B解析：设F（x）=f（x）﹣（2x+4），则F（﹣1）=f（﹣1）﹣（﹣2+4）=2﹣2=0，又对任意x∈R，f′（x）＞2，所以F′（x）=f′（x）﹣2＞0，即F（x）在R上单调递增，则F（x）＞0的解集为（﹣1，+∞），即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞）．故选B【思路点拨】把所求的不等式的右边移项到左边后，设左边的式子为F（x）构成一个函数，把x=﹣1代入F（x）中，由f（﹣1）=2出F（﹣1）的值，然后求出F（x）的导函数，根据f′（x）＞2，得到导函数大于0即得到F（x）在R上为增函数，根据函数的增减性即可得到F（x）大于0的解集，进而得到所求不等式的解集．6.对于任意两个正整数,定义某种运算“※”如下:当都为正偶数或正奇数时,※;当中一个为正偶数,另一个为正奇数时,※．则在此定义下,集合※中的元素个数是

(

)A．10个 B．15个 C．16个 D．18个参考答案：B7.已知是两个不同的平面，下列四个条件中能推出的是（

）①在一条直线,

③存在两条平行直线；②存在一个平面；

④存在两条异面直线.A.①③

B.②④

C.①④

D.②③参考答案：C8.已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线l的直线(A)只有一条，不在平面α内

(B)有无数条，不一定在平面α内(C)只有一条，且在平面α内

(D)有无数条，一定在平面α内参考答案：C9.若条件，条件，则是的A．必要不充分条件

B．充分不必要条件C．充要条件

D．既不充分又不必要条件参考答案：B10.阅读程序框图，若输入，，则输出分别是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在平面直角坐标系xOy中，曲线C：上任意一点P到直线l：的距离的最小值为

．参考答案：，所以，得，由图象对称性，取点，所以。

12.关于x的不等式则实数a的值等于

。参考答案：-3【知识点】一元二次不等式的解法E3

解析：因为关于x的不等式x2﹣2ax﹣3a2＜0（a＜0）的解集为（x1，x2），所以x1+x2=2a，x1?x2=﹣3a2，又x2﹣x1=12,因为（x2﹣x1）2=（x2+x1）2﹣4x1?x2，所以144=4a2+12a2=16a2，解得a=±3，因为a＜0，所以a=﹣3,故答案为：﹣3.【思路点拨】利用不等式的解集以及韦达定理得到两根关系式，然后与已知条件化简求解a的值即可．13.已知抛物线到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为，若双曲线一条渐近线与直线垂直，则实数=

.参考答案：14.将函数y=sinωx（ω＞0）的图象向左平移个单位，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应的函数的解析式是．参考答案：y=sin（2x+）【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题．【分析】依题意可得，ωx+=，从而可求得ω，继而可得所求函数的解析式．【解答】解：∵函数y=sinωx（ω＞0）的图象向左平移个单位，为y=sinω（x+），∴由图象得：ω×+=，解得：ω=2，∴平移后的图象所对应的函数的解析式为：y=sin2（x+）=sin（2x+），故答案为：y=sin（2x+）．【点评】本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，由ωx+=求得ω是关键，考查识图与分析解决问题的能力，属于中档题．15.如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动，设顶点P（x,y）的轨迹方程是，则在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为

。参考答案：

16.关于函数,有下列命题：①其图象关于轴对称；②当时,是增函数；当时,是减函数；③的最小值是；④在区间上是增函数；⑤无最大值,也无最小值．其中所有正确结论的序号是

．参考答案：解：（1），………2分……4分

……………5分（2）

为：………………6分而为：，

…………8分又是的必要不充分条件，即………9分所以

或

或即实数的取值范围为。

………………10分17.有一个奇数组成的数阵排列如下：

则第30行从左到右第3个数是

．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，四边形ABCD是矩形，AB=1，，E是AD的中点，BE与AC交于点F，GF⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：AF⊥面BEG；（Ⅱ）若AF=FG，求点E到平面ABG距离．参考答案：【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定．【分析】利用勾股定理证明AC⊥BE，然后证明AC⊥GF，即可证明AF⊥平面BEG．（2）设点E到平面ABG的距离为d，利用，求解即可．【解答】证明：∵四边形ABCD为矩形，∴△AEF∽△CBF，∴…（1分）又∵矩形ABCD中，，∴在Rt△BEA中，∴，…（2分）在△ABF中，∴∠AFB=90°，即AC⊥BE…（4分）∵GF⊥平面ABCD，AC?平面ABCD∴AC⊥GF…又∵BE∩GF=F，BE，GF?平面BCE∴AF⊥平面BEG…（6分）（2）在Rt△AGF中，=在Rt△BGF中，=…（8分）在△ABG中，，BG=AB=1∴=…（10分）设点E到平面ABG的距离为d，则，…（11分）∴=…（12分）【点评】本题考查点到平面的距离距离的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查计算能力．19.（12分）（1）证明两角差的余弦公式C（α﹣β）：cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ；（2）若cosα=﹣，α∈（0，π），求cos（α﹣）的值．参考答案：（Ⅰ）如图，在直角坐标系中作单位圆，当为锐角时作出角，其终边分别交单位圆于两点，则，由诱导公式可以得到为任意角时上式也成立

--------6分

（Ⅱ）∵∴

------9分又.------12分20.（本小题满分12分）如图,已知三棱锥的侧棱两两垂直,且,,是的中点.(1)求点到面的距离；(2)求二面角的正弦值.参考答案：(1)取的中点,连、、则面,的长就是所要求的距离.

………3分、,,在直角三角形中,有…6分（另解:由

(2)连结并延长交于,连结、.

则就是所求二面角的平面角.

……………9分

作于,则在直角三角形中,在直角三角形中,……………10分,

故所求的正弦值是

……………12分

方法二:(1)以为原点,、、分别为、、轴建立空间直角坐标系.则有、、、……2分

设平面的法向量为则由由,……4分

则点到面的距离为……6分

(2)……8分设平面的法向量为则由知:由知:取

……………9分

由(1)知平面的法向量为

……………10分

则<>.

……………11分

结合图形可知,二面角的正弦值是

……………12分

21.如图6，四棱锥的底面是平行四边形，底面，，，，．⑴求证：；⑵是侧棱上一点，记，是否存在实数，使平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．

参考答案：⑴连接，则……1分（方法一）底面，所以，……2分，……3分，所以，……4分因为，所以……5分（方法二），所以，……2分底面，所以……3分因为，所以平面……4分因为平面，所以……5分⑵（方法一）过作于，则平面……6分连接，由⑴知平面当且仅当……7分又，所以平面……8分，……9分依题意，，所以，……10分，是的平分线，从而也是的平分线……11分在和中，，……12分所以……13分，，即所求的值为……14分．（方法二）在平面内过点作，以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系……6分则，，……7分，……8分设，由得，……9分解得，，