湖南省长沙市长郡教育集团2022-2023学年数学九上期末学业质量监测试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。1．如图，随意向水平放置的大⊙O内部区域抛一个小球，则小球落在小⊙O内部(阴影)区域的概率为（）14A．B．C．D．2．在平面直角坐标系中，点P（m，1）与点A．﹣2B．﹣1C．03．国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2017年底有贫困人口,则mn的值是（）25万人，通过社会9万人．设2017年底至2019年底该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据各界的努力，2019年底贫困人口减少至题意可列方程（）B．25(1x)9A．25（1﹣2x）＝9C．9（1+2x）＝252D．25(1x)924．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ADC的度数是（）A．80°B．160°C．100°D．40°5．下列图像中，当ab0时，函数yaxyaxb与的图象时（）2A．B．C．D．k6．如图，一次函数y=2x与反比例函数y=（k＞0）的图象交于A，B两点，点P在以C（﹣2，0）为圆心，1为半x3Q是AP的中点，已知OQ长的最大值为，则k的值为（）225B．1832C．259D．849A．3223的顶点(坐标为)7．抛物线yx1A．1,31,3C．D．3,1B．1,38．一人担当组长，则女生当组长的概率是（）个学习兴趣小组有2名女生，3名男生，现要从这5名学生中任选出一2B．32C．53D．51A．29．如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体的左视图是（）A．B．C．D．D．10．下列几何体的左视图为长方形的是（）A．B．C．二、填空题(每小题3分,共24分)k2AB11．如图，反比例函数的图象与矩形ABCO相较于两点，若D是的中点，，则反比(x0)D,ESyBDEx例函数的表达式为__________．x0有两个不相的图象如图所示，并且关于的一元二次方：axbxcm2等的实数根，下列结论：①b24ac0；②abc0；③abc0；④m2，其中正确的有__________．13．某地区2017年投入教育经费2500万元，2019年计划投入教育经费3025万元，则2017年至2019年，该地区投入教育经费的年平均增长率为_____．114．从数﹣2，﹣，0，4中任取一个数记为m，再从余下的三个数中，任取一个数记为n，若k＝mn，则正比例函2数y＝kx的图象经过第三、第一象限的概率是_____．15．关于的方程（m﹣2）﹣2x+1＝0是一元二次方程，则m满足的条件是_____.2xx16．圆心角是60°且半径为2的扇形面积是______17．sin60tan30___________18．如图，AB是O的直径，弦CDAB,CDB30,CD23,则阴影部分图形的面积为_________．三、解答题(共66分)19．（10分）请回答下列问题．62018（2）解方程：220．（6分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在圆上，且四边形AOCD是平行四边形，过点D作⊙O的切线，分别交OA的延长线与OC的延长线于点E，F，连接BF.（1）求证：BF是⊙O的切线；（2）已知圆的半径为1，求EF的长.21．（6分）已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边做正方形ADEF，连接CF（1）如图（2）如图2，当点（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上①请直接写出CF，BC，CD三条线②若正方形ADEF的边长为，对角线AE，DF相交于点1，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，A，F分别在直线BC的两侧，D在线段BC上时．求证CF+CD=BC；请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；时，且点其他条件不变；段之间的关系；O，连接OC．求OC的长度．2222．（8分）解方程：（1）（x2）（）x312（2）3y2123yyyx(a1)xaxB与轴交于A，B两点（点A位于点的左侧），与轴交于点C．已23．（8分）如图①，抛物线2知ABC的面积是．6（2）在ABC内是否存在一点M，使得点M到点A、点和点BC的距离相等，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；Q为射线CA上一点，且、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线BP同PP2d，且PAQAQB，求点的坐标．d，的面积为Q24．（8分）根据要求画出下列立体图形的视图．xPxx2x2m10有实根．25．（10分）关于的方程2m121（1）求证：∠BCO＝∠D；（2）若，＝1，求劣弧BD的长．CD23AE参考答案1、Ba2⊙O内部(阴影)区域的概率1为4．2a2故选：B．【点睛】本题考查了概率问题，掌握圆的面积公式是解题的关键．2、A【分析】已知在平面直角坐标系中，点P(m,1)与点Q(﹣2,n)关于原点对称，则P和Q两点横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数即可求得m，n，进而求得mn的值．点P(m,1)与点Q(﹣2,n)关于原点对称【详解】∵∴m=2，n=-1∴mn=-2故选：A【点睛】本题考查了直角坐标系中，关于原点对称的两个点的坐标特点，它们的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．3、B【分析】根据2017年贫困人口数×(1-平均下降率为)=2019年贫困人口数列方程即可.2【详解】设年平均下降率为x，∵2017年底有贫困人口25万人，2019年底贫困人口减少至∴25(1-x)2=9，9万人，故选：B.【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，即一元二次方程解答有关平均增长率问题．对于平均增长率问题，在理解的基础上，可归结为a（1+x）2=b（a<b）；平均降低率问题，在理解的基础上，可归结为a（1-x）2=b（a>b）．4、C【分析】根据圆周角定理以及圆内接四边形的性质即可解决问题；【详解】解：∵∠AOC=2∠B，∠AOC=160°，∴∠B=80°，∵∠ADC+∠B=180°，∴∠ADC=100°，故选：C．【点睛】本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．5、D【分析】根据直线直线y=ax+b经过的象限得到a＞0，b＜0，与ab＞0矛盾，开口向上得到a＞0，而由直线y=ax+b经过第二、四象限得到a＜0，由此可对B进行判断；根据抛物线y=ax2开口向下得到a＜0，而由直线y=ax+b经过第一、三象限得到a＞0，由此可对C进行判断；根据抛物线y=ax2开口向下得到a＜0，则直线y=ax+b经过第二、四象限，并且b＜0，得到直线与y轴的交点在x轴下方，由D进行判断．A、对于直线y=ax+b，得a＞0，b＜0，与ab＞0矛盾，以所A选项错误；则可对A进行判断；根据抛物线y=ax2此可对【详解】解：B、由抛物线y=ax2开口向上得到a＞0，而由直线y=ax+b经过第二、四象限得到a＜0，以所B选项错误；C、由抛物线y=ax2开口向下得到a＜0，而由直线y=ax+b经过第一、三象限得到a＞0，以所C选项错误；D、由抛物线y=ax2开口向下得到a＜0，则直线y=ax+b经过第二、四象x轴下方，以所D选项正确．D．限，由于ab＞0，则b＜0，以所直线与y轴的交点在故选：【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图像与性质，掌握函数的性质，从而判断图像是解题的基础．

6、C【解析】如图，连接BP，由反比例函数的对称性质以及三角形中位线定理可得OQ=BP，再根据OQ的最大值从而12可确定出BP长的最大值，由题意可知当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD⊥x轴于kB坐标，再根据点B在反比例函数y=（k＞0）的图象上，利用待定系数法即可求出xD，继而根据正比例函数的性质以及勾股定理可求得点k的值.【详解】如图，连接BP，由对称性得：OA=OB，∵Q是AP的中点，1∴OQ=BP，23∵OQ长的最大值为，23∴BP长的最大值为×2=3，2如图，当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD⊥x轴于D，∵CP=1，∴BC=2，∵B在直线y=2x上，设B（t，2t），则CD=t﹣（﹣2）=t+2，BD=﹣2t，在Rt△BCD中，由勾股定理得：BC2=CD2+BD2，∴22=（t+2）2+（﹣2t），24t=0（舍）或t=﹣，548∴B（﹣，﹣），55kB在反比例函数y=（k＞0）的图象上，x∵点4832∴k=﹣×（-）=，5525故选C．【点睛】本题考查的是代数与几何综合题，涉及了反比例函数图象上点的坐标特征，中位线定理，圆的基本性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，确定出BP过点C时OQ有最大值是解题的关键.7、A【分析】根据顶点式的特点可直接写出顶点坐标．【详解】因为y=（x-1）2+3是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（1，3）．故选A．【点睛】本题考查了二次函数的性质：顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h，此题考查了学生的应用能力．8、C【分析】直接利用概率公式求解即可求得答案．【详解】∵一个学习兴趣小组有2名女生，3名男生，2∴女生当组长的概率是：．5故选：C．【点睛】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率情况数与总情况数之比．=所求9、A【解析】左图视从左往右看，正方形的个数依次为：3，1．故选A．10、C【解析】分析：找到每个几何体从左边看所得到的图形即可得出结论．A．球的左视图是圆B．圆台的左视图是梯形；详解：；C．圆柱的左视图是长方形；D．圆锥的左视图是三角形．故选C．点睛：此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握每个几何体从左边看所得到的图形.二、填空题(每小题3分,共24分)811、yxkkkD（a，），则B纵坐标也为，代入反比例函数的y=，即可求得E的横坐标，则根据三角形的面积aax【分析】设公式即可求得k的值．kk【详解】解：设D（a，），则B纵坐标也为，aa∵D是AB中点，kE横坐标为2a，代入解析式得到纵坐标：，2a∴点∵BE=BC-EC=kkka2a2a，∴E为BC的中点，1kk2，2a4S△BDE=a2∴k=1．8表达式为；yx∴反比例函数的8故答案是：y．x【点睛】本题考查了反比例函数的性质，以及三角形的面积公式，度是关键．正确表示出BE的长12、③b4ac可以用来判定二【分析】①利用y次函数2当x1时的与轴交点个数，即可得出答案；②根据图中xya向可判断的正负，根据对称轴可判断的正负，b值得正负即可判断；③由函数开口方再根据函数与轴交点可得出c的正负，即可得出答案；yaxbxcm，就当相于函数yax2bxc(a0)向下平移可以看做函数m④根据方程axbxcm022x个单位长度，且与有两个交点，即可得出答案.x【详解】解：①∵函数与轴有两个交点，∴b24ac0，所以①错误；②∵当x1时，ya-bc,由图可知当x1，y0，∴abc0，所以②错误；③∵函数开口向上，∴a0，∵对称轴xb0，a0，2a∴b0，y∵函数与轴交于负半轴，∴c0,∴abc0，所以③正确；可以看做函数yax2bxcm当y=0时也就是与轴交点，x④方程ax2bxcm0∵方程有两个不相等的实数根，∴函数yax2bxcm与轴有两个交点x∵函数yax2bxcm就相当于函数yax2bxca0m向下平移个单位长度向上平移大于2个单位长度时，交点不足2个，yax2bxca0∴由图可知当函数∴m2，所以④错误.正确答案为:③【点睛】本题考查了二次函数与系数a、b、c的关系：b24ac可以用来判定二次函数与x轴交点的个数，当时，函数与x轴有2个交点；当0时，函数与x轴有1个交点；当时，函数与x轴没有交点.；二次函数系数中a决定开口方向，当a0时，开口向上，当时，开口向下；共同决定对称轴的位置，可以根据“左同右异”a0a、byc来判断；决定函数与轴交点.13、10%【解析】设年平均增长率为x，则经过两次变化后2019年的经费为2500(1+x)2；2019年投入教育经费3025万元，建立方程2500(1+x)2=3025，求解即可.【详解】解：设年平均增长率为x，得2500(1+x)2=3025，解得x=0.1=10%，或x=-2.1（不合题意舍去）.114、612，﹣，1，4中任取1个数记为m，再从余下，3个数中，任取一个数记为n．2【解析】从数﹣根据题意画图如下：共有12种情况，由题意可知正比例函数y=kx的图象经过第三、第一象限，即可得到k=mn＞1．由树状图可知符合mn21＞1的情况共有2种，因此正比例函数y=kx的图象经过第三、第一象限的概率是．=1261故答案为．6m215、【分析】根据一元二次方程的定义ax+bx+c=0(a≠0),列含m的不等式求解即可.2【详解】解：∵关于x的方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，∴m-2≠0,∴m≠2.故答案为：m≠2.【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，满足二次项系数不为0是解答此题的关键.216、360222扇形面积公式得：S=360．【解析】由32故答案是：.3317、6【分析】代入特殊角度的三角函数值计算即可．3=33【详解】sin60tan30236【点睛】本题考查了特殊角度的三角函数值计算，熟记特殊角度的三角函数值是关键．218、3【分析】根据垂径定理求得CE=ED=3；然后由圆周角定理知∠COE=60°．然后求出扇形COB面积，【详解】∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD=23，通过解直角三角形求得线段OC，即可得出答案．解：1∴CE=CD=3，∠CEO=90°，2∵∠CDB=30°，∴∠COB=2∠CDB=60°，CE∴OC==2，sin60，60222∴阴影部分的面积S=S扇形COB==36032故答案为：．3【点睛】本题考查了垂径定理、解直角三角形，圆周角定理，扇形面积的计算等知识点，能知道阴影部分的面积=扇形COB的面积是解此题的关键．三、解答题(共66分)19、（1）-4；（2）x317317x，.2212【分析】（1）先把特殊角的三角函数值代入，再计算乘方，再进行二次根式的运算即可；（2）用公式法解方程即可.6(13)1）原式=1232321(13)(13)2=13232333=-4；（2）(3)41(2)=172∴x317317，2x2，21【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值及二次根式的混合运算、一元二次方程的解法，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键.20、（1）证明见解析；（(1)、先证明四边形AOCD是菱形，从而得到∠AOD=∠COD=60°，再根据切线的性质得∠FDO=90°，接着证明△FDO≌△FBO得到∠ODF=∠OBF=90°，然后根(2)、在Rt△OBF中，利用60度的正切的定义求解．(1)、连结OD，如图，∵四边形AOCD是平行四边形，而OA=OC，∴四边形AOCD是菱形，∴△OAD和△OCD都是等边三角形，∴∠AOD=∠COD=60°，∴∠FOB=60°，∵EF为切线，∴OD⊥EF，2）EF=23.【分析】据切线的判定定理即可得到结论；【详解】ODOB∴∠FDO=90°，在△FDO和△FBO中FODFOB，∴△FDO≌△FBO，∴∠ODF=∠OBF=90°，FOFO∴OB⊥BF，∴BF是⊙O的切线；BF(2)、在Rt△OBF中，∵∠FOB=60°，而tan∠FOB=，∴BF=1×tan60°=3．∵∠E=30°，OB∴EF=2BF=2．考点：(1)、切线的判定与性质；(2)、平行四边形的性质21、（1）证明见解析；（1）CF﹣CD=BC；（3）①CD﹣CF=BC；②1．【分析】（1）三角形ABC是等腰直角三角形，利用SAS即可证明△BAD≌△CAF，从而证得CF=BD，据此即可证得．（1）同（1）相同，利用SAS即可证得△BAD≌△CAF，从而证得BD=CF，即可得到CF﹣CD=BC．（3）①同（1）相同，利用SAS即可证得△BAD≌△CAF，从而证得BD=CF，即可得到CD﹣CB=CF．②证明△BAD≌△CAF，△FCD是直角三角形，然后根据正方形的性质即可求得DF的长，则OC即可求得．1）∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠ACB=∠ABC=45°．∴AB=AC．∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°．【详解】解：（∵∠BAD=90°﹣∠DAC，∠CAF=90°﹣∠DAC，∴∠BAD=∠CAF．∵在△BAD和△CAF中，AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF，∴△BAD≌△CAF（SAS）．∴BD=CF．∵BD+CD=BC，∴CF+CD=BC．（1）CF-CD=BC；理由：∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠ACB=∠ABC=45°，∴AB=AC，∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°，∵∠BAD=90°-∠DAC，∠CAF=90°-∠DAC，∴∠BAD=∠CAF，ABACBADCAF，∵在△BAD和△CAF中，ADAF∴△BAD≌△CAF（SAS）∴BD=CF∴BC+CD=CF，∴CF-CD=BC；（3）①∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠ACB=∠ABC=45°，∴AB=AC，∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°，∵∠BAD=90°-∠BAF，∠CAF=90°-∠BAF，

∴∠BAD=∠CAF，ABACBADCAF，ADAF∵在△BAD和△CAF中，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴BD=CF，∴CD-BC=CF，②∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠ACB=∠ABC=45°．∴AB=AC．∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°．∵∠BAD=90°﹣∠BAF，∠CAF=90°﹣∠BAF，∴∠BAD=∠CAF．∵在△BAD和△CAF中，AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF，∴△BAD≌△CAF（SAS）．∴∠ACF=∠ABD．∵∠ABC=45°，∴∠ABD=135°．∴∠ACF=∠ABD=135°．∴∠FCD=90°．∴△FCD是直角三角形．∵正方形ADEF的边长为且对角线AE、DF相交于点O，22∴DF=2AD=4，O为DF中点．1∴OC=DF=1．2x1，x6322、（1）；（2）yy12312【分析】（1）首先把方程整理成一元二次方程的一般式，然后利用因式分解法解方程即可；（2）首先把方程整理成一元二次方程的一般式，然后利用因式分解法解方程即可．【详解】（1）方程变形为：x5x612即x5x60，22因式分解得：x1x60，则x10或x60，x1，x6；解得：12（2）方程变形为：3y23y10，20，2因式分解得：3y1则3y10，3解得：yy．312【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，关键是掌握因式分解法解方程的步骤．M1,123、（1）-3；（2）存在点，使得点M到点A、点和点的距离相等；（）坐标为BC3Q4,1y0【分析】（1）令，求出的值即可求出、的坐标，令，求出的值即可求出点的坐标，从而求出ABxx=0yCAB和OC，然后根据三角形的面积公式列出方程即可求出a的值；（2）由题意，点M即为ABC外接圆圆心，即点M为三边中垂线的交点，利用ABCA、C两点的坐标即可求出A、C的中点坐标，然后根据等腰三角形的性质即可得出线段AC的垂直平分线过原点，从而求出线段AC的垂直平分D线解析式，然后求出AB中垂线的解析式，即可求出点M的坐标；（3）作PMx轴交轴于M，易证xSSAQ//PB，从而求出，利用待定系数法和一次函数的性质分别求PQBPABPBQBPA，出直线AC、BP的解析式，和二次函数的解析式联立，即可求出点P的坐标，然后利用SAS证出从而得出PQAB4Q(m,m3)，利用平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式即可求出，从而求出点，设mQ的坐标．【详解】解：（1）yx(a1)xa2y0令，即x(a1)xa02xax12解得，1a0由图象知：A(a,0)，B(1,0)∴AB=1aa令x=0，解得y=0,a∴点C的坐标为∴OC=aS1AB•OC62ABC1(1a)(a)62a3解得：，a4（舍去）（2）存在，由题意，点M即为ABC外接圆圆心，即点M为ABC三边中垂线的交点A(3,0)，，C(0,3),D坐标为3322，A、C的中点线段AC的垂直平分线过原点，ykx，设线段AC的垂直平分线解析式为：将点D的坐标代入，得3k322解得：k1∴线段AC的垂直平分线解析式为：yxA3,0B1,0由，，线段AB的垂直平分线为x1yx将x1代入，y1解得：M1,1C存在点，使得点M到点A、点B和点的距离相等（3）作PMx轴交轴于M，则S12ABPM14d2d2xBAP∴SPQBSPABA、Q到的距离相等，PBAQ//PB设直线AC:yaxc，A3,0C0,3将，代入，得3ac0c3a1解得c3即直线AC:yx3，∴设直线PB解析式为：yxb直线经过点B1,0PB的解析式为yx1所以：直线yx2x32联立，yx1x4解得：y54,5点坐标为P又PAQAQB，BPAPBQ，设AP与QB交于点G∴GA=GQ，GP=G