第二章-拉伸压缩与剪切4

王培荣

材料力学课堂教学课件Monday,September18,2023教学要求了解静不定杆系的一般解法，熟练掌握一次静不定杆系(包括温度应力和装配应力)的解法。本章难点：静不定问题的分析方法和步骤。§2．10拉伸、压缩

静不定问题静不定问题及其解法1.静不定问题:未知力数目>独立平衡方程数目。2.静不定次数:未知力数目-独立平衡方程数目。3.多余约束:多于维持平衡所必需的支座或杆件。4.变形谐调:在外力作用下，虽然各个杆件都发生了变形，但是这些变形之间必定存在着一定的制约条件与几何关系，变形几何谐调(几何)方程。5.建立变形谐调方程是解静不定结构的难点。(1)判断静不定问题，确定静不定次数。(2)设各杆的受力状态，画出节点或杆件的受力图，列独立的静力平衡方程。(3)根据受力图画出杆件或节点的位移图(变形几何关系图),列出变形几何方程。(4)根据内力与变形之间的物理关系，将变形几何方程改写成所需的补充方程。(5)联立求解静力平衡方程和补充方程。变形几何方程:F123ABCD123AA'╳例:已知各杆横截面面积均相同，杆①、②长度相等，l1=l2＝l，论求在下列两种情况下各杆的内力。(1)三杆材料均相同；(2)杆①，杆②为弹性杆，且E1＝E2=E，杆③为刚性杆。解：一.三杆材料相同(1)一次静不定;(2)设②、③杆拉,①杆压;画节点C的受力图，ΣX=0,N1+N3sin450=0ΣY=0,N2+N3cos450-P=0(3)根据受力图画变形图,拉杆②、③变形为伸长，压杆①的变形为缩短;列静力平衡方程:变形几何方程：将变形几何方程改写成所需的补充方程：2N3-N1-N2=0(4)物理关系：(5)联立求解静力平衡方程和补充方程。N1+N3sin45o=0N2+N3cos45o-P=02N3-N1-N2=0得：N1为负，说明N1的方向与所设方向相反，N1不是压力应为拉力。1各杆的轴力N与杆刚度EA有关截面C上作用P力，求两端反力。杆件制成后，其尺寸有微小误差是难免的。静不定问题:未知力数目>独立平衡方程数目。e＝b(-)在超静定结构中，情况就不一样了。当DT＝80C时，sT高达200MPa，而低碳钢的ss仅235MPa，而许用应力[s]通常仅120MPa左右。ΣY=0,N2+N3cos450-P=0在超静定结构中，情况就不一样了。e＝b(-)sT=EaDTx10-6x200x103DDT(MPa)(5)联立求解静力平衡方程和补充方程。例9木制短柱的四角用四个40404的等边角钢加固，角钢和木材的许用应力分别为[]1=160MPa和[]2=12MPa，弹性模量分别为E1=200GPa和E2=10GPa；计算温度应力与解一般静不定问题一样，关键也在于要根据问题的变形谐调条件来建立必需的补充方程。例:已知各杆横截面面积均相同，杆①、②长度相等，l1=l2＝l，论求在下列两种情况下各杆的内力。N1b＝P(e+)截面积相同，材料相同，中间一节短于名义长度。注意1.受力图与变形图对应原则;一定任意性;3.变形图各杆伸长量、缩短量任意，不能画特殊位置;注意4.变形图是表示伸长量、缩短量几何关系，无正负。5.物理关系中各物理量均不加正负号。静不定问题特性：1各杆的轴力N与杆刚度EA有关2在静不定结构中，往往某些部分的材料，不得不有多余储备。注意讨论与思考题设①、②、③杆拉,画受力图、变形图:-N1+N3sin450=0N2+N3cos450-P=0这种由于温度改变而在杆内引起的应力称为温度应力。计算温度应力与解一般静不定问题一样，关键也在于要根据问题的变形谐调条件来建立必需的补充方程。在静不定结构构件制造不准确变形图是表示伸长量、缩短量几何关系，无正负。由于构件制造不准确，在强行装配后就要在构件内产生装配应力。装配应力是杆件或结构在荷载作用之前已经具有的应力，所以，它是一种初应力。1各杆的轴力N与杆刚度EA有关(1)三杆材料均相同；图中所示三杆的截面积相同，杆1与杆3的弹性模量不相等(E1>E3)，有人从平衡的角度出发，认为杆1和杆3的内力相等；要使两杆均匀拉伸，则两杆伸长必相同要使两杆均匀拉伸，求拉力P的偏心距。两根杆材料不同，截面尺寸相同，且E1＞E2。ΣX=0,N1+N3sin450=0(2)杆①，②为弹性杆，且E1＝E2=E，杆③为刚性杆，设①、②、③杆拉，画受力图、变形图-N1+N3sin45o=0N2+N3cos45o-P=0N3=0?╳§2．11温度应力

和

装配应力一、温度应力在超静定结构中，由于各个杆件的变形受到相互的约束，在温度改变时必然要在杆内引起附加应力。这种由于温度改变而在杆内引起的应力称为温度应力。计算温度应力与解一般静不定问题一样，关键也在于要根据问题的变形谐调条件来建立必需的补充方程。不过在表示杆件的变形时，应包括由温度改变引起的变形和由内力引起的变形这两部分。发电机输热管道化工管道桥梁裸露的输气管及水管例题由温度引起的伸长为DlT＝aDT·l由于基座的约束，AB杆其实并无伸长DlT＝DlsDls

＝RBlEA可解得aDT·l

=RBlEARB=EAaDTs=EaDT碳钢的温度应力碳钢的ax10-6/C，E=200GPa。sT=EaDTx10-6x200x103DDT(MPa)当DT＝80C时，sT高达200MPa，而低碳钢的ss仅235MPa，而许用应力[s]通常仅120MPa左右。所以应力是非常大的。温度应力伸缩节波纹管伸缩节伸缩缝火车钢轨伸缩缝钢轨钢轨负温度系数的材料梳状伸缩缝叠合伸缩缝二、装配应力杆件制成后，其尺寸有微小误差是难免的。在静定结构中，这种误差只是引起结构物的几何形状有微小的改变，不会在杆内引起内力。在超静定结构中，情况就不一样了。由于构件制造不准确，在强行装配后就要在构件内产生装配应力。装配应力装配应力是杆件或结构在荷载作用之前已经具有的应力，所以，它是一种初应力。装配应力的存在对于结构往往是不利的，因此，工程中要求制造时保证足够的加工精度，来防止或降低有害的装配应力。但是事物都是一分为二的，装配应力有时则可能是有益的，我们也可以利用它。例如机械上的紧配合就是根据需要而有意识地使其产生适当的装配应力。预应力空心楼板混凝土预应力钢筋在静定结构构件制造不准确在静不定结构构件制造不准确吊桥链条的一节由三根长为l的钢杆组成。截面积相同，材料相同，中间一节短于名义长度。加工误差为d=l/2000，求装配应力。E=200GPa由平衡方程得2N1=N2由位移协调方程得Dl1+Dl2＝dDl1=N1l1E1A1Dl2=N2l2E2A2由N1=EA6000N2=EA3000N1+N2=EA2000得最后得s1=33.3MPas2=66.7MPa例9木制短柱的四角用四个40

40

4的等边角钢加固，角钢和木材的许用应力分别为[

]1=160MPa和[

]2=12MPa，弹性模量分别为E1=200GPa和E2=10GPa；求许可载荷P。几何方程物理方程及补充方程：解：平衡方程:

解平衡方程和补充方程，得:

求结构的许可载荷：方法1:角钢面积由型钢表查得:A1cm2所以在△1=△2的前提下，角钢将先达到极限状态，即角钢决定最大载荷。

求结构的许可载荷：另外：若将钢的面积增大5倍，怎样？若将木的面积变为25mm，又怎样？结构的最大载荷永远由钢控制着。方法2:截面C上作用P力，求两端反力。ACBPabPR2R1由平衡方程得R1+R2＝P设A端固定，则B点位移dB为dB

＝0此即位移协调方程dB

＝N1aEA

=N2bEA+R1aEA-R2bEA

R1a

=R2bPaa+b

R1

=Pba+b

R2

=即最后得两根杆材料不同，截面尺寸相同，且E1＞E2。要使两杆均匀拉伸，求拉力P的偏心距。分析：要使两杆均匀拉伸，则两杆伸长必相同所以d1＝d2d1

＝N1lE1Ad2

＝N2lE2A由平衡方程得N1+N2＝PE1PE1+E2

N1

=E2PE1+E2

N2

=最后得N1b

＝P(e+)b2e

＝b(-)12E1E1+E2PN1N2eb铸铁套筒中穿过钢螺栓。旋进1/4圈，求螺栓与套筒间的预紧力。设螺距为h。N2+N3cos450-P=0两根杆材料不同，截面尺寸相同，且E1＞E2。在超静定结构中，情况就不一样了。拉杆②、③变形为伸长，(5)联立求解静力平衡方程和补充方程。加工误差为d=l/2000，求装配应力。截面C上作用P力，求两端反力。N2+N3cos45o-P=0截面C上作用P力，求两端反力。要使两杆均匀拉伸，求拉力P的偏心距。在超静定结构中，情况就不一样了。例9木制短柱的四角用四个40404的等边角钢加固，角钢和木材的许用应力分别为[]1=160MPa和[]2=12MPa，弹性模量分别为E1=200GPa和E2=10GPa；ΣY=0,N2+N3cos450-P=0在超静定结构中，情况就不一样了。(5)联立求解静力平衡方程和补充方程。(2)杆①，杆②为弹性杆，且E1＝E2=E，杆③为刚性杆。解作业2．432．472．492．52讨论与思考题p62例3-7平衡方程：变形几何方程:物理关系:？FFAFBACB讨论与思考题p62例3-7平衡方程：变形几何方程:物理关系:？FFAFBACB讨论与思考题图中所示三杆的截面积相同，杆1与杆3的弹性模量不相等(E1>E3)，有人从平衡的角度出发，认为杆1和杆3的内力相等；有人则从