北京西城5中高三上学期月月考数学（理）试题

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精高三年级12月月考数学试卷一、选择题：1．若集合，，则（)．A． B． C． D．【答案】C【解析】,∴．故选．2．设命题，，则为（)．A．， B．， C．， D．，【答案】C【解析】特称命题的否定需将特称量词变为全称量词，同时否定结论，所以命题，，则为,．故选．3．极坐标方程和参数方程(为参数）所表示的图形分别是(）．A．直线、直线 B．圆、圆 C．直线、圆 D．圆、直线【答案】D【解析】极坐标方程化为直角坐标方程为，表示圆，参数方程，化为普通方程为，表示直线．故选．4．为了得到函数的图象，只需要把函数的图象上所有的点（）．A．向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度B．向右平移个单位长度,再向上平移个单位长度C．向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度D．向右平移个单位长度,再向下平移个单位长度【答案】C【解析】函数，所以为了得到的图象，只需把函数的图象上所有的点，向左左平移个单位长度，再向下平移个单位长度．故选．5．已知两条直线,，两个平面，，给出下面四个命题：①， ②,，③, ④,，其中正确命题的序号是()．A．①③ B．②④ C．①④ D．②③【答案】C【解析】①若,,则，①正确;②若，，，则或，异面，②错误；③若，,则或，③错误；④若，,,则，④正确．综上,正确命题的序号为①④，故选．6．已知数列中，其前项和为，且，，成等差数列,则（）．A． B． C． D．【答案】D【解析】∵，，成等差数列，∴，当时，，，当时，，∴，即，∴,∴是以为首项，为公比的等比数列，∴，∴，∴．故选．7．设函数的图象为，下面结论中正确的是(）．A．函数的最小正周期是B．图象关于点对称C．图象向右平移个单位后关于原点对称D．函数的区间上是增函数【答案】B【解析】项．的最小正周期，故项错误；项．，所以的图象关于点对称对称,故项正确;项．向右平移个单位后得到的图象，不关于原点对称，故项错误；项．时,，当，即时,单调递增，当，即时，单调递减，故错误．综上，故选．8．直线绕原点逆时针旋转，再向右平移个单位，所得到的直线（）．A． B． C． D．【答案】A【解析】直线绕原点逆时针旋转的直线，将再向右平移个单位得到,即．故选．9．已知是定义在上的奇函数，当时，,则不等式的解集为（)．A． B． C． D．【答案】A【解析】∵是定义在上的奇函数，当时，,∴当时，，当时,，当时,，∴不等式的解集为．故选．10．在空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是，,，，则该四面体的体积为（）．A． B． C． D．【答案】D【解析】．故选．二、填空题：11．已知平面量,，若向量，则实数的值是__________．【答案】【解析】∵,，∴，∵，∴，∴，解得，．12．已知方程表示圆，则的取值范围为__________．【答案】【解析】若方程表示圆，则，解得，故的取值范围为．13．一平面截一球得到直径是的圆面,球心到这个平面的距离是，则该球的体积是__________．【答案】【解析】球的半径为，故球的体积为．14．如图中的曲线为,则阴影部分面积为__________．【答案】【解析】．15．已知、满足以下约束条件,使取得最小值的最优解有无数个,则的值为__________．【答案】【解析】∵，则，为直线在轴上的截距，要使目标函数的最优解有无穷多个,则截距最小时的最优解有无数个,∵，把平移，使之与可行域的边界重合即可，∴，．16．在中,角，，的对边分别为，，，若,，，则__________．【答案】或【解析】由余弦定理可得，将，，，代入得，解得或．17．已知向量，满足且，则与的夹角为__________．【答案】【解析】∵且，∴,∴，．18．如图，已知边长为的正方形，是边上一动点（与、不重合），连结，作交的外角平分线于．设，记，则函数的值域是__________．【答案】【解析】如图，作，交延长线于，则，易证得，∴，设，则，∴，∴，由题知，所以，故的值域是．三、解答题:19．已知圆过点，，且圆心在轴上．（）求圆的标准方程．（）若过原点的直线与圆无交点，求直线斜率的取值范围．【答案】见解析【解析】(）∵圆心在轴上,∴可设⊙的标准方程为,∵⊙过点和点，∴，解得，∴⊙的标准方程为．(）设过原点的直线的方程为，即,∵与圆无交点，∴圆心到直线的距离大于，∴，解得．20．已知向量,互相垂直，其中．（）求,的值．(）若，,求的值．【答案】见解析【解析】（）∵，∴，即，又∵，，∴，．（）∵∴,又,，∴．21．已知等比数列中,，．（）求数列的通项公式．（)若，分别为等差数列的第项和第项，求．【答案】见解析【解析】（)∵在等比数列中，，，∴，∴数列的通项公式为，．（）∵,分别为等差数列的第项和第项，∴，，,设等差数列的公差为，则：，解得，,,∴等差数列的通项公式，当时，，当时，．综上所述：．22．如图，在三棱柱，底面，，，，分别是棱，的中点，为棱上的一点，且平面．（)求的值．（）求证：．（）求二面角的余弦值．【答案】【解析】()∵平面,又平面，平面平面，∴，∵为的点，且侧面为平行四边形，∴为中点，∴．（）证明:∵底面,，，又，如图，以为原点建立空间直角坐标系,设，则由可得，，，，∵，分别是，的中点，∴,，∴，∴，∴．（)设平面的法向量为，则:，即，令,则，，∴,由已知可得平面的法向量，∴，由题意知二面角为钝角,∴二面角的余弦值为．23．设函数．（）若，求函数的单调区间．（)若函数在区间上是减函数,求实数的取值范围．（）过坐标原点作曲线的切线，证明：切点的横坐标为．【答案】见解析【解析】（）当时,,，令，则,令，则，∴函数的单调减区间为,单调增区间为．（），∵在区间上是减函