2023-2024学年福建省莆田二中高二（上）返校数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年福建省莆田二中高二（上）返校数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.设z=2+i1A.1−2i B.1+2i2.已知直线l的一个方向向量为AB=(−3,A.30° B.60° C.120°3.设直线l的斜率为k，且−1≤k<3，求直线lA.[0,π3)∪(3π4.已知向量a=(1,1)，bA.λ+μ=1 B.λ+μ5.如图：在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，M为A1C1

A.−12a+12b+c6.已知圆锥PO的底面半径为3，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，∠AOB=A.π B.6π C.3π7.已知O为△ABC的外心，且AO=λAB+(1−λ)A.[110,320] B.[8.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，NA.25 B.42 C.二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.已知直线l的倾斜角等于30°，且l经过点(0,1A.l的一个方向向量为n=(3,1) B.l的一个法向量为m=(1,10.有一组样本数据x1，x2，⋯，x6，其中x1是最小值，xA.x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，⋯，x6的平均数

B.x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，⋯，x6的中位数

C.x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，⋯，11.如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为Ω={1,2,3,4,5,6A.事件B与C互斥 B.P(A⋃B)=34

C.12.下列物体中，能够被整体放入棱长为1(单位：m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有(

)A.直径为0.99m的球体

B.所有棱长均为1.4m的四面体

C.底面直径为0.01m，高为1.8m的圆柱体

D.底面直径为三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a，b满足|a−b|=3，14.过点(3,−2)且在x轴、y15.甲、乙两人下围棋，若甲执黑子先下，则甲胜的概率为23；若乙执黑子先下，则乙胜的概率为12.假定每局之间相互独立且无平局，第二局由上一局负者先下，若甲、乙比赛两局，第一局甲、乙执黑子先下是等可能的，则甲胜第一局，乙胜第二局的概率为______16.已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，PA=四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

甲、乙两人进行乒乓球比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，且各局比赛的胜负互不影响.有两种比赛方案供选择，方案一：三局两胜制(先胜2局者获胜，比赛结束)；方案二：五局三胜制(先胜3局者获胜，比赛结束)．

(1)若选择方案一，求甲获胜的概率；

(2)用抛掷骰子的方式决定比赛方案，抛掷两枚质地均匀的骰子，观察两枚骰子向上的点数，若“两枚骰子向上的点数之和不大于18.(本小题12.0分)

已知直线l的方程为(a+1)x+y−5−2a=0(a∈R)．

(1)求直线l过的定点19.(本小题12.0分)

如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D中，AB=2，AA1=4.点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC20.(本小题12.0分)

已知△ABC的顶点B(3,2)，AB边上的高所在的直线方程为x−2y−5=0．

(1)求直线AB的方程；

21.(本小题12.0分)

为庆祝“五四”青年节，广州市有关单位举行了“五四”青年节团知识竞赛活动，为了解全市参赛者成绩的情况，从所有参赛者中随机抽样抽取100名，将其成绩整理后分为6组，画出频率分布直方图如图所示(最低90分，最高150分)，但是第一、二两组数据丢失，只知道第二组的频率是第一组的2倍．

(1)求第一组、第二组的频率各是多少？

(2)现划定成绩大于或等于上四分位数即第75百分位数为“良好”以上等级，根据直方图，估计全市“良好”以上等级的成绩范围(保留1位小数)；

(3)现知道直方图中成绩在[130,140)内的平均数为136，方差为8，在22.(本小题12.0分)

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，底面是边长为2的等边三角形，CC1=2，∠ACC1=60°.D，E分别是线段AC，CC1

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：∵i2=−1，i5=i，

∴z=2+i1+i2+2.【答案】C

【解析】解：因为直线l的一个方向向量为AB=(−3,3)，

所以直线l的斜率k=tanα=3−33.【答案】D

【解析】解：直线l的斜率为k，且−1≤k<3，

∴−1≤tanα<3，α∈[0,π)，

4.【答案】D

【解析】解：∵a=(1,1)，b=(1,−1)，

∴a+λb=(λ+1,1−λ5.【答案】A

【解析】【分析】

利用向量的运算法则：三角形法则、平行四边形法则表示出BM．

本题考查利用向量的运算法则将未知的向量用已知的基底表示从而能将未知向量间的问题转化为基底间的关系解决．

【解答】

解：∵BM=BB1+B1M

6.【答案】B

【解析】解：根据题意，设该圆锥的高为h，即PO=h，取AB的中点E，连接PE、OE，

由于圆锥PO的底面半径为3，即OA=OB=3，

而∠AOB=120°，故AB=OA2+OB2−2OA⋅OB⋅cos120°=3+3+3=3，

同时OE=OA×sin307.【答案】D

【解析】解：因为AO=λAB+(1−λ)AC，

所以CO=λCB，

又因为O为△ABC的外心，

所以△ABC为直角三角形且AB⊥AC，O为斜边BC的中点，

过A作BC的垂线AQ，垂足为Q，

因为BA在BC上的投影向量为μBC，

所以OA在BC上的投影向量为OQ=BQ−BO=μBC8.【答案】A

【解析】解：分别取CC1、DD1的中点E、F，连接BE、EF、AF，设BE∩CN=O，

在正方体ABCD−A1B1C1D1中，CC1//DD1且CC1=DD1，

因为E、F分别为CC1、DD1的中点，则CE//DF且CE=DF=1，

故四边形DCEF为平行四边形，故EF//CD且EF=CD=2，

因为AB//CD且AB=CD，∴AB//EF且AB=EF，故四边形ABEF为平行四边形，

因为BC=CC1，CE=C1N，∠BCE=∠CC1N=90°，故Rt△BCE≌Rt△CC19.【答案】AC【解析】解：直线l的倾斜角等于30°，

则直线l的斜率为tan30°=33，

对于A，直线l的斜率为33，

则直线l的一个方向向量为n=(3,1)，故A正确，

对于B，法向量m=(1,3)与直线l不垂直，故B错误，

对于C，直线3x−3y+2=10.【答案】BD【解析】解：A选项，x2，x3，x4，x5的平均数不一定等于x1，x2，⋯，x6的平均数，A错误；

B选项，x2，x3，x4，x5的中位数等于x3+x42，x1，x2，⋯，x6的中位数等于x3+x42，B正确；

C选项，设样本数据x1，x2，⋯，x6为0，1，2，8，9，10，可知x1，x2，⋯，x6的平均数是5，x2，x3，x4，x5的平均数是5，

x1，x2，⋯，x6的方差s111.【答案】BD【解析】解：由题意得，事件A的样本点为{1,3,5,7}，

事件B的样本点为{1,2,3,4}，

事件C的样本点为{2,3,5,7}，

对于A，事件B与C共有样本点2，3，所以不互斥，故A错误；

对于B，A∪B事件样本点{1,2,3,4,5,7}，所以P(A∪B)12.【答案】AB【解析】解：对于A，棱长为1的正方体内切球的直径为1>0.99，选项A正确；

对于B，如图，

正方体内部最大的正四面体D−A1BC1的棱长为12+12=2>1.4，选项B正确；

对于C，棱长为1的正方体的体对角线为3<1.8，选项C错误；

对于D，如图，六边形EFGHIJ为正六边形，E，F，G，H，I，J为棱的中点，

高为0.01米可忽略不计，看作直径为1.2米的平面圆，

六边形EFGHIJ棱长为22米，∠GFH=∠GHF=30°，

所以FH=3FG=13.【答案】3【解析】解：∵|a−b|=3，|a+b|=|2a−b|，

∴14.【答案】2x+3【解析】解：由题知，若在x轴、y轴上截距均为0，

即直线过原点，又过(3,−2)，则直线方程为y=−23x，

若截距不为0，设在x轴、y轴上的截距为a，

则直线方程为xa+ya=1，

又直线过点(3,−2)，

则315.【答案】724【解析】解：第一局甲胜，第二局乙胜：

若第一局甲执黑子先下，则甲胜第一局的概率为23，第二局乙执黑子先下，则乙胜的概率为12，

若第一局乙执黑子先下，则甲胜第一局的概率为12，第二局乙执黑子先下，则乙胜的概率为12，

所以第一局甲胜，第二局乙胜的概率为P=12×216.【答案】40π

2【解析】解：设PC中点为O，则OP=OC=OD=OB=OA=10，

所以O为四棱锥P−ABCD外接球的球心，10为该球半径，

所以其表面积为4π(10)2=40π；

如图，将△PAC绕AC翻折到与△DAC所在面重合，

连接PB，交AC于点Q，此时17.【答案】(1)由题意可得，选择方案一，三局两胜制，记甲获胜的事件为A

甲获胜事件A包含甲连胜两局记为A1；甲第一局负，第二、三局胜记为A2；

甲第一局胜，第二局负、第三局胜记为A3.且A1，A2，A3，互斥，且每局比赛相互独立，

则P(A1)=23×23=49，P(A2)=13×23×23=827,P(A3)=23×13×23=827，

∴P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=49+827+827=2027，

∴甲获胜的概率为2027．

(2)抛掷两枚质地均匀的骰子，设向上的点数为(a,b)，有36个样本点，

为(1,1)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(1,【解析】(1)由互斥事件及相互独立事件的概率乘法公式即可得解；

(218.【答案】解：(1)由题意，直线l的方程可化为(a+1)x+y−5−2a=0，

联立方程组x−2=0x+y−5=0，解得x=2y=3，

所以直线l过的定点P(2,3)．

(2)设直线xa+yb=1(a>0,b>【解析】(1)将直线l的方程变形，列出方程组即可求解；

(2)利用直线的截距式方程设出直线l的方程，根据19.【答案】解：(1)证明：根据题意建系如图，则有：

B2(0,2,2)，C2(0,0,3)，A2(2,2,1)，D2(2,0,2)，

∴B2C2=(0,−2,1)，A2D2=(0,−2,1)，

∴B2C2=A2D2，又B2，C2，A2，D2四点不共线，

∴B2C2//A2D2；

(【解析】(1)建系，根据坐标法及向量共线定理，即可证明；

(220.【答案】解：(1)因为AB边上的高所在的直线方程为x−2y−5=0，

所以直线AB的斜率为k=−2，又△ABC的顶点B(3,2)，

所以直线AB的方程为y−2=−2(x−3)，即2x+y−8=0；

(2)若选①，角A的平分线所在直线方程为x+2y−13=0，

由2x+y−8=0x+2y−13=0，解得x=1y=6，所以点A坐标为A(1,6)，

设点B关于x+2y−13=0的对称点为B′(x0,y0)，【解析】(1)根据AB边上的高所在的直线方程，可求得直线AB的斜率，再求出直线AB的方程；

(2)选①，先求出点A坐标，再求得点B关于角A的平分线的对称点坐标，该对称点一定在直线AC上，由此可求得直线AC的方程；

选②，联立方程，先求出点A坐标，根据BC边上的中线所在的直线方程，求出点21.【答案】解：(1)设第一组的频率为a，则第二组的频率为2a，

由题意可得3a+(0.034+0.03+0.018+0.006)×10=1，解得a=0.04，

因此，第一组的频率为0.04，第二组的频率为0.08；

(2)设样本的第75百分位数为m，前三个矩形的面积之和为0.12+0.34=0.46，

前四个矩形的面积之和为0.46+0.3=0.76，所以，m∈(120,130)，

由百分位数的定义可得0.46+(m−120)×【解析】(1)设第一组的频率为a，则第二组的频率为2a，利用频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1可求得a的值，即可得解；

(2)计算出样本的第75百分位数，即可得出全市“良好”以上等级的成绩范围；22.【答案】解：(1)证明：连接AC1，如图所示：

在三棱柱ABC−A1B1C1中，四边形AA1C1C为菱形，∴A1C⊥AC1，

∵D，E分别为AC，CC1中点，∴DE//AC1，

∴A1C⊥DE，

又D为线段AC中