重难点专题10导数与不等式恒成立九大题型汇总（原卷版）

重难点专题10导数与不等式恒成立九大题型汇总TOC\o"13"\h\z\u题型1直接求导型 1题型2端点赋值法 2题型3隐零点型 3题型4分离参数法 5题型5分离参数法洛必达法则 6题型6构造辅助函数求参 6题型7绝对值同构求参 7题型8函数取“整”型 9题型9“存在”成立问题 10题型1直接求导型若f(x)在区间D上有最值，则（1）恒成立：∀x∈D,fx>0⇔fx（2）能成立：∃x∈D,fx>0⇔fx若能分离常数，即将问题转化为：a>fx（或a<f（1）恒成立：a>fx⇔a>fx（2）能成立：a>fx⇔a>fx【例题1】（2023秋·河南·高三校联考开学考试）已知函数fx=lnx(1)求函数fx在点1(2)若gx=-ax，且∀x∈D，【变式11】1.（2023秋·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习）已知函数fx(1)当m=1时，证明：fx(2)若关于x的不等式fx<m-2【变式11】2.（2023秋·陕西西安·高三校联考开学考试）已知函数fx=x2-mx(1)当m=1时，求曲线y=fx在点1,f(2)若关于x的不等式fx≥2ex【变式11】3.（2023秋·重庆·高三统考阶段练习）已知函数mx=t⋅(1)若函数Fx=mx-nx(2)若函数mx>2恒成立，求【变式11】4.（2023秋·云南保山·高三统考期末）已知函数fx(1)当a=1时，求曲线y=fx在点0,f(2)当x>0时，fx≥axcos题型2端点赋值法1．端点赋值法（函数一般为单增或者单减，此时端点，特别是左端点起着至关重要的作用）2．为了简化讨论，当端点值是闭区间时候，代入限制参数讨论范围．注意，开区间不一定是充分条件．有时候端点值能限制讨论范围，可以去除不必要讨论．【例题2】（2022·河南郑州·统考一模）设函数f(x)=ln（1）当p=1时，求函数fx（2）设函数g(x)=xf(x)+p2x2-x-1对任意x≥1都有【变式21】1.（2022秋·黑龙江鸡西·高三校考阶段练习）已知函数fx(1)若x=3是fx的极值点，求f(2)若fx【变式21】2.（2022秋·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考阶段练习）设函数fx=x+aex(1)求实数a的值；(2)若不等式fx≥tx+lnx+1【变式21】3.（2023春·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）已知函数f(x)=2ln(1)当b=2时，求过点0,-2的fx(2)设g(x)=ex-1+【变式21】4.（2023·四川成都·校联考二模）已知函数f(x)=-x2ex+(b-1)x+a在x=0(1)设g(x)=x+22ex，x∈(0,+∞)，当a=1时，求证：函数(2)∀x∈0,+∞，不等式2e题型3隐零点型1．导函数（主要是一阶导函数）等零这一步，有根x0但不可解．但得到参数和x2.知原函数最值处就是一阶导函数的零点处，可代入虚根x3.利用x0与参数互化得关系式，先消掉参数，得出x0不等式，求得4.再代入参数和x0【例题3】（2023秋·湖北随州·高三随州市曾都区第一中学校考开学考试）已知函数fx=ax2+xlnx(1)求实数a的值；(2)若存在k∈Z，使得f(x)>k【变式31】1.（2023秋·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知函数fx=e(1)讨论fx(2)若当x≥-1时，fx>ax，求(3)若存在实数a、b，使得fx+ax【变式31】2.（2022秋·江西抚州·高三临川一中校考期中）已知函数fx=e(1)讨论函数fx(2)若a∈N*，当x≥0时，φx≥0恒成立时，求【变式31】3.（2023·福建泉州·校考模拟预测）已知函数fx(1)若m=1，求fx(2)若对任意x>0，fx题型4分离参数法【例题4】（2023秋·江苏镇江·高三统考开学考试）已知函数fx(1)求函数fx在x=1(2)若fx+x-1【变式41】1.（2023秋·广东江门·高三统考阶段练习）已知函数fx(1)若x=1是函数y=f(x)的极值点，求m的值；(2)若对任意的x∈1e,【变式41】2.（2023秋·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）已知函数f(x)=2x(1)讨论函数fx(2)若f-1=1，函数g(x)=aln【变式41】3.（2023秋·陕西西安·高三校联考开学考试）已知函数fx=ln(1)当m=1时，求曲线y=fx在点1,f(2)若关于x的不等式fx<0在0,1上恒成立，求【变式41】4.（2023·江西·校联考模拟预测）设函数fx(1)若fx≥0恒成立，求实数(2)在（1）的条件下，证明：ex-1题型5分离参数法洛必达法则1．若分离参数后，所求最值恰好在“断点处”，则可以通过洛必达法则求出“最值”2．注意“断点”是在端点处还是区间分界处．【例题5】设函数f(x)=sinx2+（2）如果对任何x≥0，都有f(x)≤ax，求a的取值范围．【变式51】1.设函数f(x)=ln（1）求f(x)的单调区间和极值；（2）是否存在实数a，使得关于x的不等式f(x)≥a的解集为（0，+∞）？若存在，求a的取值范围；若不存在，试说明理由．【变式51】2.已知函数fx=ex，曲线y=fx(1)证明：对于∀x∈R，fx(2)当x≥0时，fx≥1+ax题型6构造辅助函数求参1．含有x1和x2．可以利用第一问的某些结论或者函数结构寻找构造的函数特征．【例题6】（2023·四川宜宾·四川省宜宾市第四中学校校考三模）已知函数f(x)=aln(x-1)+1(1)当a=-1时，求函数f(x)的极值；(2)若任意x1,x2∈(1,+∞)【变式61】1.（2023春·江苏扬州·高三扬州中学校考阶段练习）已知函数fx(1)讨论fx(2)设gx=xex-lne【变式61】2.（2023秋·重庆渝北·高三重庆市渝北中学校校考阶段练习）已知函数fx=1(1)当a=-1时，求函数fx(2)若任意x1、x2∈1,+∞且x【变式61】3.（2022·陕西西安·西安中学校考模拟预测）已知函数f(x)=12x(1)当a=1时，求函数y=fx在区间(0,(2)若a∈0,12，证明对任意x【变式61】4.（2021·甘肃嘉峪关·嘉峪关市第一中学校考三模）已知函数fx（1）若曲线y=fx在x=1处的切线与y轴垂直，求y=（2）若对任意0≤x1≤x2题型7绝对值同构求参1．含绝对值型，大多数都是有单调性的，所以可以通过讨论去掉绝对值．2．去掉绝对值，可以通过“同构”重新构造函数．【例题7】（2023·上海徐汇·位育中学校考模拟预测）已知函数fx=x(1)判断函数fx(2)若函数Fx=x⋅fx在x=1(3)记gx=-ex（e是自然对数的底数）.若对任意x1、x【变式71】1.（2022秋·天津北辰·高三校联考期中）已知函数fx=1(1)当a=2时，求曲线y=fx在点1,f(2)当a≠1时，求函数fx(3)若a∈0,12，证明对任意x1，【变式71】2.（2022秋·天津东丽·高三校考阶段练习）已知函数f((1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线的方程为(2)当a=1时，f(x1)=(3)若0<a≤1，对任意x1，x2∈【变式71】3.（2021·吉林长春·吉林省实验校考模拟预测）已知函数fx(1)讨论函数fx(2)若对任意x1，x2∈0,1都有fx1【变式71】4.（2020秋·海南海口·高三校考阶段练习）已知函数fx=ln（1）讨论函数Fx（2）若-3≤a≤-1时，对任意x1、x2∈【变式71】5.（2021秋·山西长治·高三山西省长治市第二中学校校考阶段练习）已知函数fx（1）若fx在0,1上的最大值为-2，求a（2）记gx=fx+a-1lnx+1，当a≤-2题型8函数取“整”型讨论出单调性，要注意整数解中相邻两个整数点函数的符号问题【例题8】（2023秋·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）已知函数f(x)=2x(1)讨论函数fx(2)若f-1=1，函数g(x)=aln【变式81】1.（2023秋·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习）已知函数fx(1)当m=1时，证明：fx(2)若关于x的不等式fx<m-2【变式81】2.（2022秋·黑龙江哈尔滨·高三校考阶段练习）设函数f(x)=(1)若a=1，b=0，求曲线y=f(x)在点1,f1(2)若0<a<b，不等式f1+lnx【变式81】3.（2023·广西桂林·校考模拟预测）已知函数fx(1)讨论函数gx(2)若a=1，且存在整数k使得fx>k恒成立，求整数（参考数据：ln2≈0.69，ln【变式81】4.（2022秋·云南·高三云南民族大学附属中学校考期中）已知函数fx(1)讨论函数fx(2)若m为整数，且关于x的不等式fx≤m题型9“存在”成立问题1．当不能分离参数时候，要移项分类讨论．2．确定是最大值还是最小值．【例题9】（2023秋·湖南株洲·高三株洲二中校考开学考试）已知函数fx(1)证明：当x>0时，fx(2)若关于x的方程fxx+x2【变式91】1.（2023秋·内蒙古赤峰·高三统考开学考试）已知函数fx=cosxx，x∈(1)证明：f'(2)若关于x的不等式f'【变式91】2.（2023·全国·高三专题练习）设函数fx(1)讨论函数fx(2)当a=1时，记gx=xfx【变式91】3.（2022·辽宁·校联考一模）已知函数fx(1)讨论函数fx(2)证明：存在α∈-π6【变式91】4.（2022秋·北京·高三北京市第十二中学校考阶段练习）已知函数f(x)=e(1)当a=1时，求函数f(x)的单调区间：(2)若关于x的不等式f(x)≤ea在(3)若曲线y=f(x)存在两条互相垂直的切线，求实数a的取值范围；（只需直接写出结果）【变式91】5.（2022·北京海淀·101中学统考模拟预测）设函数f(x)=ln（1）求函数φ(x)=f(x)+g(x)的单调递增区间；（2）当a=1时，记h(x)=f(x)g(x)，是否存在整数λ，使得关于x的不等式2λ⩾h(x)有解？若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由．1.（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）已知函数fx=x-1ex(1)设gx=fx(2)当x>0时，f'2.（2023·河南开封·统考三模）已知函数fx(1)若x>0，函数fx的图象与函数y=a(2)若m<fx-1x<nm,n∈3.（2023·福建厦门·厦门一中校考一模）函数fx(1)当a=0时，求函数fx(2)若对任意x∈0,1∪1,+∞，不等式4.（2023·贵州毕节·校考模拟预测）已知函数fx(1)当b=1时，若fx≤1恒成立，求(2)若b=12,fx在π,5.（2023·广东深圳·统考二模）已知函数fx=ae2x(1)求a的值及函数fx(2)设gx=ax2-1lnx，若关于6.（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知函数fx=asin(1)若fx≤x在0,+∞(2)证明：∀x∈0,+∞，有7.（2022·贵州安顺·统考模拟预测）已知函数fx(1)讨论