《数学分析I》课程标准

《数学分析I》课程标准一、课程概况

课程名称数学分析

I课程代码20105415适用专业数学与应用数学、应用统计学开课学期第

1

学期课程性质学科基础课程学时/学分84/5预修课程《高中数学》、《高中物理》

二、课程目标

掌握实数、极限和一元函数微分学的基本概念、基本性质与基本定理，理解数学分析知识体系；熟练掌握由基本概念、定理所呈现的基本思想和基本方法，提高数学分析素养。

通过本课程中重要定理的证明、重要例子的讲解及知识点的应用，培养抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力以及运算能力，养成反思和独立思考的习惯，为进一步学习复变函数论，微分方程，实变函数等后续课程打下坚实的基础。

：通过本课程的学习和训练，具备严谨的数学语言表达能力、逻辑思维能力与运算能力和数学建模的基本素养，养成良好的教学科研精神。具有阅读初等数学文献，初步撰写数学论文、数学教育教学论文的能力。

：通过本课程的学习,了解与《数学分析》理论相关的数学发展史,从理论和方法上加深对中学数学相关教学内容的认识，培养终身学习和专业发展的意识，

以便能够高屋建瓴地掌握和处理中学数学教材；同时激发探索与求知的欲望，培养自主学习与职后发展的能力。三、课程目标与毕业要求的关系1、课程目标与毕业要求的对应关系毕业要求指标点课程目标学会教学学科素养3.1掌握数学学科的基本知识、基本原理、基本思想和基本方法，了解现代数学分支的基本知识和专业发展趋势。课程目标1课程目标2课程目标3课程目标43.2善于整合应用数学知识分析问题、解决问题，具备对数学问题进行抽象概括化和逻辑推理的能力，具备良好的数学表达能力。课程目标1课程目标2课程目标3课程目标4教学能力4.1能够以教育学、心理学、数学课程教学论等教育教学理论为基础，根据中学数学课程标准，根据学生的认知发展水平，以学生为中心，明确教学目标以及要求，精心钻研教材，合理组织教学内容进行有效教学设计。课程目标1课程目标2课程目标3课程目标44.2

具备扎实的教学基本功，熟练掌握现代信息技术，积极采用启发式、案例式、合作式、研讨式等教学方法，准确、生动地向学生传授知识，实施教学。课程目标1课程目标2课程目标3课程目标4学会育人

综合育人6.1

接受数学学科独有的谨慎细腻，思维严密性的训练，能够将数学课堂教学与思政教育紧密结合。能有效掌握教学案例设计、学生情感价值观察和分析、掌握灵活多样化的教学方法。课程目标1课程目标2课程目标3课程目标46.2深入了解中学生的身心特点，开展多样化的主体班级活动，将德育与智育紧密结合，增强学生的民族自豪感，树立文化自信。课程目标1课程目标2课程目标3课程目标4学会发展学会反思7.1掌握数学教学专业发展的规律，具有数学教学反思意识，树立终身学习理念。能够利用反思改进教学手段、针对教育教学工作中的现实需要与问题和国内外学科发展趋势做纵深对比，初步具备数学教学研究能力。课程目标1课程目标2课程目标3课程目标47.2具有批判性思维与独立思考能力，掌握反思笔记、观察、行动、叙事分析等反思教学的基本方法和技能。课程目标1课程目标2课程目标3课程目标4沟通合作8.2

能够使用信息技术实现更广范围的、打破时间地域限制的合作和分享，能够与合作伙伴之间形成平等信任、自由沟通、情知相融的合作关系。课程目标1课程目标2课程目标3课程目标42、课程目标与毕业要求的矩阵关系图名称践行师德学会教学学会育人学会发展师德规范教育情怀学科素养教学能力班级管理综合育人学会反思沟通合作1.11.21.32.12.22.33.13.23.34.14.24.35.15.25.36.16.26.37.17.27.38.18.28.3数学分析IHHHHMMMML数学分析IHHMML课程目标1HHHHMMMM课程目标2HHHHMMMM课程目标3HHHMMMM课程目标4HHMMMMM四、课程教学要求与重难点序号课程内容框架教学要求教学重点教学难点1实数1、了解初等函数的性质和几个常见非初等函数的定义及性质，了解四则运算,复合函数,反函数的定义。2、理解实数的各条性质，理解上、下确界的定义及确界原理的实质，正确理解和掌握函数的概念和性质，理解函数的单调性,周期性,奇偶性等。3、会综合运用以上知识判别初等函数是否具备这些性质。(1)上、下确界的定义；(2)确界原理的实质a.

上、下确界的定义；b.

确界原理的实质2数列极限1、数列极限的严格定义。2、掌握数列极限的各条性质,

能综合用数列极限的严格定义解决有关问题和证明极限的存在性。3、综合运用四则运算定理,单调有界定理,两边夹定理,柯西收敛准则证明极限存在性,能用柯西收敛原理证明极限不存在。(1)数列极限的严格定义(2)求极限及运用数列极限的严格定义证明极限的存在性.a单调有界定理b两边夹定理c柯西收敛准则3函数极限1、正确理解和掌握函数极限的严格定义；左右极限定义和无穷小无穷大及其阶的含义。2、正确掌握极限不存在的含义并会叙述。3、能用极限的严格定义解决有关问题和证明极限的存在性；掌握极限与左右极限的关系。4、会用极限性质,归结原理,柯西收敛原理,

单调有界定理,柯西收敛原理证明极限的存在性。5、会用四则运算性质,复合运算性质,两个重要极限及等价无穷小量替换来计算函数极限.(1)函数极限的严格定义,极限与左右极限的关系;(2)两个重要极限应用上述基本定理论证极限的存在性。4函数的连续性1、深刻理解函数连续,函数左右连续,区间上函数连续,间断点及其分类等概念。2、对一般的函数特别是初等函数可以讨论其间断点并且分类。3、函数在连续点的局部性质和闭区间上连续函数的性质.(1)函数在连续点的局部性质;(2)闭区间上连续函数的性质及其应用。讨论函数间断点并且分类。5导数与微分1、理解导数的定义及其几何,物理意义；理解高阶导数定义。2、理解函数微分的概念。3、了解一阶微分形式的不变性的含意及高阶微分不具有微分形式的不变性。4、可导与连续的关系.

熟练掌握求导运算的四则运算法则,复合函数求导法则及初等函数求导公式。5、会求参数方程所决定函数的导数；会求平面曲线的切线方程和法线方程。导数的定义；求导法则及函数微分的概念。a一阶微分形式的不变性的含意;b高阶微分不具有微分形式的不变性。6微分中值定理及其应用1、了解洛必达法则求极限的定理的条件；2、理解微分学中值定理的条件,结论和证明方法；洛必达法则求极限的方法；3、熟练掌握函数取得单调区间,极值,最值,凹凸性,拐点的各充分必要条件。4、能用中值定理解决一些证明问题。5、会求一些重要函数的泰勒公式及拉格朗日余项,皮亚诺余项；会用泰勒公式求极限和求常见函数的近似值；能画一般函数的图象；对一般的函数会求其单调区间,极值,最值,

凹凸性,拐点及函数的渐近线。微分学中值定理；洛必达法则求极限；函数的单调区间,极值,

最值,凹凸性,拐点。微分学中值定理的条件,结论和证明方法。7实数的完备性1、了解区间套定理,聚点定理,致密性定理,有限覆盖定理的条件和结论；2、理解这些定理的含义及关系,

各定理的证明思路。3、理解闭区间上连续函数性质的证明思路和证明方法.理解上,下极限的定义,性质,相互关系及上,下极限和极限的关系.实数集完备性的基本定理；闭区间上连续函数性质的证明.a.关于实数完备性定理的含义及关系；b.各定理的证明思路。

五、课程教学内容、教学方式、学时分配及对课程目标的支撑情况序号课程内容框架教学内容教学方式学时支撑课程目标1实数集与函数实数的基础知识和理论：包括实数的定义性质分类，以及实数的发展和完备性过程，以及基本定理和理论（阿基米德原理等）。数集的概念，上下确界定义和确界原理，讲授、课堂讨论、课后练习6课程目标1课程目标3课程目标4函数的概念和简单分类（函数定义，运算法则，复合函数，反函数，初等函数等），常用几种特殊类型函数（有界函数，单调函数，周期函数等）。讲授、课堂讨论、课后练习22数列极限数列极限的基本概念和定义，收敛数列的基本性质，以及数列极限存在的条件等；讲授、课堂讨论、课后练习6课程目标1课程目标2课程目标43函数极限函数极限的基本概念，定义和几何意义、函数左右极限的分类和性质，函数极限的一般性质定理（唯一性，局部有界性，保号性，迫敛性）。讲授、课堂讨论、课后练习6课程目标1课程目标2课程目标3归结原则、柯西收敛准则。两类特殊重要的极限类型及其应用。无穷大量与无穷小量的定义及它们的联系，无穷小量阶的比较，等价无穷小替换的应用等；讲授、课堂讨论、课后练习64函数的连续性有关函数连续,

函数左、右连续,

以及区间上函数连续的基本概念和定义，函数间断点的定义及其分类。初等函数的连续性。函数在连续点的局部性质以及闭区间上连续函数的性质。讲授、课堂讨论、课后练习6课程目标1课程目标2课程目标35导数与微分导数的基本概念和定义，几何意义和应用，导函数概念，求导法则（基本函数求导，复合函数求导，反函数求导，复杂类型函数求导等）；讲授、课堂讨论、课后练习8课程目标1课程目标2课程目标3高阶导数的求导规则；微分的基本概念和定义，几何意义，微分提出的目的，运算法则，性质，应用等讲授、课堂讨论、课后练习8课程目标1课程目标2课程目标36微分中值定理及其应用微分中值定理体系：罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理。讲授、课堂讨论、课后练习8课程目标1

课程目标2课程目标3课程目标4微分中值定理的在不等式和不定式极限中的应用，应用微分中值定理解决数学中的极值，凹凸性，拐点等问题。泰勒公式及其应用。讲授、课堂讨论、课后练习87实数的完备性实数完备性定理体系内容（区间套定理,聚点定理,

致密性定理,有限覆盖定理等），关于完备性定理之间的区别联系。讲授、课堂讨论、课后练习6课程目标1

课程目标2课程目标3课程目标4闭区间上连续函数性质的证明思路和证明方法。函数与数列的上下极限概念和应用等。讲授、课堂讨论、课后练习4六、课程目标与考核内容课程目标考核内容评价依据课程目标1：掌握实数、极限和一元函数微分学的基本概念、基本性质与基本定理，理解数学分析知识体系；熟练掌握由基本概念、定理所呈现的基本思想和基本方法，提高数学分析素养。

实数的基础知识和理论部分：包括实数的定义性质分类，数集的概念，上下确界定义和确界原理，函数的概念和简单分类（函数定义，运算法则，复合函数，反函数，初等函数等），常用几种特殊类型函数（有界函数，单调函数，周期函数等）；数列极限的基本概念和定义，收敛数列的基本性质，以及数列极限存在的条件等；函数极限方面的基本概念与理论部分：函数极限的定义和几何意义、函数左右极限的分类和性质，函数极限的一般性质，极限的存在条件与应用，一些特殊重要的极限类型，无穷大量与无穷小量的定义与区别联系等；函数的连续性部分：函数在一点的连续性，间断点及其分类，区间上的连续函数以及性质；闭区间上连续函数的性质与应用，初等函数的连续性；导数和微分的基本知识和基本概念包括：导数的基本概念和定义，几何意义和应用，导函数概念，求导法则（基本函数求导，复合函数求导，反函数求导，复杂类型函数求导等），高阶导数的求导规则；微分的基本概念和定义，几何意义，微分提出的目的，运算法则，性质，应用等；微分中值定理部分：罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，微分中值定理的应用，泰勒公式及其应用。1、出勤、课堂表现和平时作业的完成情况；2、平时测验成绩；3、期末考试成绩。课程目标2：通过本课程中重要定理的证明、重要例子的讲解及知识点的应用，培养抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力以及运算能力，养成反思和独立思考的习惯，为进一步学习复变函数论，微分方程，实变函数等后续课程打下坚实的基础。函数的几何特性，数列收敛的分析定义，数列极限的证明，一元函数极限的分析定义，函数极限及函数左极限与右极限的相关性质的证明，一元函数的连续性的相关性质的证明。一元函数的导数及其微分的性质。确界存在定理，单调有界定理，区间套定理，数列的子列概念，数列极限与其子列极限的关系，致密性定理，有限覆盖定理、柯西收敛原理等实数系六大定理的之间相互关系的证明。利用函数求函数的单调区间与极值，凹凸区间与拐点.1、出勤、课堂表现和平时作业的完成情况。2、平时测验成绩；3、期末考试成绩。课程目标3：通过本课程的学习和训练，具备严谨的数学语言表达能力、逻辑思维能力与运算能力,养成良好的教学科研精神。具备运用互网络获取信息、整理和分析信息的能力，能阅读、翻译初等数学文献，具有初步撰写数学论文、数学教育教学论文的能力。

数列极限的计算，函数极限的计算，并能够运用所学定理严格证明极限的存在性唯一性。运用一元函数微积分知识解决数学和物理中的几何问题，运动问题。熟练求取函数取得单调区间,极值,最值,凹凸性,

拐点的各充分必要条件.

能用中值定理解决一些证明问题。会求一些重要函数的泰勒公式及拉格朗日余项,皮亚诺余项，会用泰勒公式求极限和求常见函数的近似值。能画一般函数的图象，对一般的函数会求其单调区间,极值,最值,凹凸性,拐点及函数的渐近线等。1、出勤、课堂表现和平时作业的完成情况。2、课程论文成绩；3、期末考试成绩。课程目标4：通过本课程的学习,了解与《数学分析》理论相关的数学发展史,从理论和方法上加深对中学数学相关教学内容的认识，培养终身学习和专业发展的意识，

以便能够高屋建瓴地掌握和处理中学数学教材；同时激发探索与求知的欲望，培养自主学习与职后发展的能力。

了解与本课程相关的著名数学家的生平及贡献（如阿基米德、牛顿、莱布尼兹、柯西、拉格朗日、泰勒等）,阅读

1-2

本数学发展有关的课外读物如《古今数学思想》、《数学的内容方法和意义》；自习本课程附录

I

微积分简史；综合利用本课程的高观点知识解决初等数学的相关问题。如利用导数理论讨论函数的单调性、证明常见不等式、证明恒等式、求函数最值，利用零点定理讨论多项式的因式分解等等。1、出勤、课堂表现和平时作业的完成情况；2、平时测验、或课程论文成绩；3、展示课外阅读笔记或读后感。七、考核方式与评价细则考核方式比例考核/评价细则课堂出勤10%评价标准：根据学生上课出勤情况(1)

全勤

100

分；

10

(3)

迟到、早退、事假一次扣

5

(4)

上课时玩手机、睡觉一次扣

5

(5)

病假、公假、丧假不扣分；平时作业10%-20%评价标准：根据学生提交的作业情况每个班分成二个小组，每次批改一个小组的作业，根据学生作业完成情况给出A+(全对且字迹工整)、A(全对)、B(错一个)、C(错两个及以上)四个等级，一学期一个学生大约上交

8

次作业至少批改

4

次。（1）全部为A+计100分；（2）两次及以上A+，95分；（3）一次及以上A+，90分；（4）一次及以上A，85分；（5）其他80分；在此标准下，少交一次作业扣

10

分。期中测验10%-20%价标准：评价标准：课堂小测，利用一次课的时间将半个学期学习的内容进行考核。考试过程采用学生自觉做测验，可以参考书本。期末考试50%评价标准：严格按照《数学分析