五年级奥数几何直线型面积平移旋转与对称（ABC级通用）学生版

平移与旋转平移与旋转知识框架知识框架图形变换图形变换指不改变图形的大小、形状，只通过位置关系的改变（旋转、平移、折叠等），构成新的图形．例题精讲例题精讲右图是一块长方形草地，长方形的长是16，宽是10．中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形，它们的宽都是2，求草地部分的面积（阴影部分）有多大？【考点】平移、旋转、割补【难度】2星【题型】解答如图所示，将道路平移后的。【答案】。如图所示，一个正十二边形的边长是1厘米，空白部分是等边三角形，一共有12【考点】平移、旋转、割补【难度】3星【题型】解答如图，将阴影部分分割成一个正六边形和12个小三角形，再把正六边形分割成6个正三角形，由于正十二边形的每个内角为，所以阴影小三角形的顶角等于，每个顶角的两边和与其相邻的正三角形的底边所成的角都是，所以通过如右上图所示的平移可以组成6个边长为1厘米的正方形，所以所求阴影部分面积为平方厘米．【答案】。如图所示，梯形中，平行于，又，，．试求梯形的面积．【考点】平移、旋转、割补【难度】3星【题型】解答如右图，将沿平移至,连接,在三角形中，有，，，有，所以三角形为直角三角形．由于，所以梯形的面积与三角形的面积相等，为．【答案】如下图，六边形中，，，，且有平行于，平行于，平行于，对角线垂直于，已知厘米，厘米，请问六边形的面积是多少平方厘米？【考点】平移、旋转、割补【难度】5星【题型】解答如图，我们将平移使得与重合，将平移使得与重合，这样、都重合到图中的了．这样就组成了一个长方形，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形的面积为平方厘米，所以六边形的面积为平方厘米．【答案】。如图2，六边形为正六边形，为对角线上一点，若、的面积为与，则正六边形的面积是．【考点】平移、旋转、割补【难度】4星【题型】解答这是一道几何问题，考察同学们对常见图形性质的认识．正六边形的六条边都相等，每个角都是，每一组对边都互相平行，正六边形可以看作是由六个正三角形拼成的（如图（1））．其中正六边形的面积是正三角形面积的6倍．每相邻两个正三角形拼成的是一个平行四边形．如图（2），连结，三角形的面积是平行四边形面积的一半．六边形的面积是平行四边形的3倍，故六边形的面积是三角形的面积的6倍．如图（3），连结，，三角形的面积与三角形的面积和是平行四边形面积的一半．而六边形的面积是平行四边形的1.5倍，故六边形的面积是三角形的面积与三角形的面积和的3倍．所以，由、的面积分别为3与4，可知正六边形的面积是．【答案】。正六边形A1A2A3A4A【考点】平移、旋转、割补【难度】5星【题型】解答如图，设与的交点为，则图中空白部分由个与一样大小的三角形组成，只要求出了的面积，就可以求出空白部分面积，进而求出阴影部分面积.连接、、

设的面积为“”，则面积为“”，面积为“”，那么面积为的倍，为“”，梯形的面积为，的面积为“”，的面积为根据蝴蝶定理，，故，所以，即的面积为梯形面积的，故为六边形面积的，那么空白部分的面积为正六边形面积的，所以阴影部分面积为(平方厘米).【答案】。如下左图，有两个大小相同的完全重叠在一起的正方形，现在以点为中心转动一个正方形．当厘米，厘米，厘米时(如下右图)，求右图中的两个正方形相重叠部分的面积(注意，图的尺寸不一定准确)．【考点】平移、旋转、割补【难度】3星【题型】解答右图由左图旋转而得，则右图中的8个空白小三角形都是完全相同的，右图中重叠部分的面积等于正方形面积减去4个小三角形的面积，从右图中可以看出正方形的边长为厘米，所以重叠部分的面积为：(平方厘米)．【答案】如图，在直角三角形中有一个正方形，已知厘米，厘米，求阴影部分的面积．【考点】平移、旋转、割补【难度】4星【题型】解答绕点逆时针旋转，使与重合，则点落在边上的点处，且．则阴影部分面积转化为直角三角形的面积，所以阴影部分的面积为平方厘米．【答案】。四边形ABCD中,AB=30,AD=48,BC=14,CD=40.又已知∠ABD+∠BDC=900,求四边形ABCD的面积．【考点】平移、旋转、割补【难度】5星【题型】解答如下图,以BD的垂直平分线为对称轴L,做△ABD关于L的对称图形△BD.连接C．因为∠ABD+∠BDC=9000而∠ABD=∠DB=900,所以有∠DB+∠BDC=900．那么CD为直角三角形,由勾股定理知=2500,所以.而在△BC中,有B=AD=48,有482+142=2500,即B2+BC2=C2,即△BC为直角三角形．有.而|.评注:Ⅰ.本题以∠ABC+∠BDC=900突破口,通过对称变换构造出与原图形相关的角三角形Ⅱ.对于这道题我们还可以将△BCD作L的对称图形.如下：【答案】如图,在三角形ABD中,当AB和CD的长度相等时,请求出“?”所示的角是多少度,给出过程．【考点】平移、旋转、割补【难度】5星【题型】解答因为AB=CD,于是可以将三角形ABC的边BA边与CD对齐,如下图．在下图中有∠BCA=110°,所以∠ACD=70°于是∠=∠+∠=∠+∠=70°+40°=110°；即∠=110°=∠；又因为只是移动的变化,所以=；则是一等腰梯形．于是,∠=180°110°=70°；又∠=30°,所以∠=70°30°=40°.【答案】°如图所示的四边形的面积等于多少？【考点】平移、旋转、割补【难度】4星【题型】解答题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形绕顶点逆时针旋转，使长为的两条边重合，此时三角形将旋转到三角形的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.因此，原来四边形的面积为.(也可以用勾股定理)【答案】如图，三角形是等腰直角三角形，是三角形外的一点，其中，，求四边形的面积．【考点】平移、旋转、割补【难度】5星【题型】解答因为和都是直角，和为，所以和的和也为，可以旋转三角形，使和重合，则四边形的面积转化为等腰直角三角形，面积为平方厘米．【答案】如图所示，中，，，，以为一边向外作正方形，中心为，求的面积．【考点】平移、旋转、割补【难度】5星【题型】解答如图，将沿着点顺时针旋转，到达的位置．由于，，所以．而，所以，那么、、三点在一条直线上．由于，，所以是等腰直角三角形，且斜边为，所以它的面积为．根据面积比例模型，的面积为．【答案】如图，直角梯形中，，，，，将腰以为中心逆时针旋转至，连接、，则的面积是．【考点】平移、旋转、割补【难度】5星【题型】解答如图所示，将以为中心顺时针旋转，到的位置．延长与交于．由于是直角梯形，与垂直，则四边形是长方形，则．由于与面积相等，而的底边，高，所以的面积为，那么的面积也为1．【答案】。如图，正方形和有一个公共点，试比较三角形和三角形的面积．【考点】平移、旋转、割补【难度】5星【题型】解答因为和是直角，所以和是互补角，将三角形顺时针旋转到达的位置，则、、在同一条直线上，且，即是的中点，所以三角形和三角形面积相等，则三角形和三角形面积相等．【答案】相等。如图，以正方形的边为斜边在正方形内作直角三角形，，、交于．已知、的长分别为、，求三角形的面积．【考点】平移、旋转、割补【难度】5星【题型】解答如图，连接，以点为中心，将顺时针旋转到的位置．那么，而也是，所以四边形是直角梯形，且，所以梯形的面积为：()．又因为是直角三角形，根据勾股定理，，所以()．那么()，所以()．【答案】。如图，已知，，，，则．【考点】平移、旋转、割补【难度】5星【题型】解答将三角形绕点和点分别顺时针和逆时针旋转，构成三角形和，再连接，显然，，，所以是正方形．三角形和三角形关于正方形的中心中心对称，在中心对称图形中有如下等量关系：；；．所以．【答案】。如图，在中，，求“？”的度数．【考点】平移、旋转、割补【难度】5星【题型】解答如图，由于，可以将移动到，由于，，所以，又，而，所以四边形是等腰梯形，有，．点评：通过构造全等三角形来转化．【答案】°。如图，正方形有三个顶点分别在的三条边上，．求正方形的面积．【考点】平移、旋转、割补【难度】5星【题型】解答如下图，我们设的面积为1，有，所以，，所以．如下图左，将三角形和三角形分别以、为中心按箭头方向旋转，形成由两个直角三角形连在一起的一个四边形，如下图右，、、被虚线分成两个直角三角形，它们的面积之和为：，所以．【答案】下图三角形是等腰三角形，，．三角形是正三角形，点在边上，．当三角形的面积是时，三角形的面积是多少？【考点】平移、旋转、割补【难度】5星【题型】解答以点为中心，由三个三角形可拼成右图：连结、、，则是一个正六边形．连结、、，显然是一个等边三角形，并且它的面积是正六边形面积的一半，所以是三角形的面积的3倍．由于，根据“鸟头定理”，，所以，则．【答案】。课堂检测课堂检测如下图,△ABC是边长为1的等边三角形,△BCD是等腰三角形BD=CD，顶角∠BDC=1200,∠MDN=600,求△AMN的周长.【考点】平移、旋转、割补【难度】4星【题型】解答如下图,延长AC至P,使CP=MB,连接DP.则有∠MBD=600+∠PCD；CP=BM；BD=CD,所以有△MBD≌△PCD.于是∠MDC=∠PDC；又因为∠MDB+∠NDC=600,所以∠PDC+∠NDC=∠NDP=600；MD=PD,在△MDN、△PND中,∠NDM=∠NDP,ND=ND,MD=PD,于是△MND≌△PND.有MN=PN.因为NP=NP=NC+CP,而AM=AB-MB=AB-CP,所以AM+AN+MN=(AB-CP)+AN+(NC+CP)=AB+AN+NC=2.即△AMN的周长为2.【答案】。若干个大小相同的正五边形如右图排成环状，下图中所示的只是3个五边形．那么要完成这一圈共需个正五边形．【考点】平移、旋转、割补【难度】4星【题型】解答如图，设为圆心，、、、为五边形的顶点，连接、、.从图中可以看出，和是完全相同的，所以，又五边形内角和为，所以正五边形的每个内角都为，即，

那么，则，

又，所以

所以要用个正五边形才能围成一圈.【答案】。家庭作业家庭作业如图所示的四边形中，，，厘米，连接对角线，．求四边形的面积．【考点】平移、旋转、割补【难度】4星【题型】解答由，，可得，．将剪下来，翻转，再贴在边上，即将点粘在点上，点粘在点上，如右上图所示．则点在点的位置．由于，所以、、三点在同一条直线上．由于，所以，即是等腰直角三角形，它的面积就等于四边形的面积，所以四边形的面积为平方厘米．【答案】。如图，ABCD是矩形，BC=6cm,AB=10cm,AC和BD是对角线，图中的阴影部分以C为轴旋转一周，则阴影部分扫过的立体的体积是多少立方厘米？（【考点】平移、旋转、割补【难度】3星【题型】解答①设三角形BCO以CD为轴旋转一周所得到的立体的体积是s，S等于高为10厘米，底面半径是6厘米的圆锥的体积减去2个高为5厘米，底面半径是3厘米的圆锥的体积。

②即：，2S＝180π＝565.2（立方厘米）体积是565.2立方厘米。【答案】。一个半径为1厘米的圆盘沿着一个半径为4厘米的圆盘外侧做无滑动的滚动，当小圆盘的中心围绕大圆盘中心转动90度后（如图2），小圆盘运动过程中扫出的面积是（）平方厘米。（=3.14）【考点】平移、旋转、割补【难度】3星【题型】解答【答案】。按照图中的样子，在一平行四边形纸片上割去了甲、乙两个直角三角形．已知甲三角形两条直角边分别为和，乙三角形两条直角边分别为和，求图中阴影部分的面积．【考点】平移、旋转、割补【难度】3星【题型】解答如右图，我们将三角形甲与乙进行平移，就会发现平行四边形面积等于平移后两个长方形面积之和．所以阴影部分面积为：【答案】。在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段(见右图)，求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几.【考点】平移、旋转、割补【难度】3星【题型】解答阴影总值是一个梯形.我们用三种方法解答.⑴割补法(见下图).显然，阴影部分正好是长方形的，所以原题阴影部分占整个图形面积的.⑵拼补法将两个这样的三角形拼成一个平行四边形(下页左上图).