高等数学ppt课件-第十一章-广义积分与含参变量的积分

第十一章广义积分与含参变量的积分第十一章广义积分与含参变量的积分1定积分条件积分区间有限被积函数有界推广定积分积分区间无限被积函数无界定积分条件积分区间有限被积函数有界推广定积分积分区间无限被积2abxy0y=f(x)abxy0y=f(x)31Axy01Axy04§1广义积分1.无穷积分(1)定义a：设函数f(x)在[a,+∞)上有定义，且对任意A>a,f(x)在[a,A]上可积。若存在，则称无穷积分收敛，并定义否则称无穷积分发散。§1广义积分1.无穷积分5例1.解:=1xy0y=e–x1例1.解:=1xy0y=e–x16例2.解:考虑1bxy0例2.解:考虑1bxy07例3.使两个带电粒子从初始距离a分开到距离b所需能量由给出,其中q1,q2是电荷的数量,k为常数.若q1,q2的单位为库仑(C),a,b是米(m),E的单位为焦耳(J).k=9109.一个氢原子由一个质子和一个电子组成,它们带有数值为1.610–19

C的相反电荷.求使氢原子激发(即使电子从其轨道移动到离质子无穷远处)的能量.假设电子和质子之间的初始距离为玻尔半径RB=5.310–11m.例3.使两个带电粒子从初始距离a分开到距离b所需能量由给8解:因为由初始距离RB移动到最终距离

的能量由广义积分表示为解:因为由初始距离RB移动到最终距离的能量由广义积分表9代入使用的单位(E的单位为J),有这是移动一个微尘粒离开地面0.00000001cm所需能量的量值,(换句话说不很大!)比较一下,移动彼此相距无穷远的两个相同符号的1C的电荷到相距1m以内所需要的能量大约等于使100万头大象离开地面15cm所需要的能量.代入使用的单位(E的单位为J),有这是移动一个微尘粒离开地10广义积分被用作分离氢原子所需能量的模型是因为通过无穷大的距离与通过很大的有限距离分离电子和质子所需能量之间的差是可以忽略不计的.而广义积分可以在不知道最终距离的情况下计算出来.广义积分被用作分离氢原子所需能量的模型是因为通过无穷大的距离11§1广义积分1.无穷积分(1)定义b:设函数f(x)在(-∞,b]上有定义，且对任意A<b,f(x)在[A,b]上可积。若存在，则称无穷积分收敛，并定义否则称无穷积分发散。§1广义积分1.无穷积分12§1广义积分1.无穷积分(1)定义c:设函数f(x)在(-∞,+∞)上有定义，且在任意区间[a,b]上可积。若与同时存在，则称无穷积分收敛，并定义否则称无穷积分发散。§1广义积分1.无穷积分13例4.确定指数p的值,使积分收敛或发散.解：对p

1,若–p+1<0，即p>1则积分收敛,若p<1则积分发散.若p=1时又怎么样呢？在这种情况下我们有发散例4.确定指数p的值,使积分收敛或发散.解：对p14我们得出结论:当p

1时,发散,当p>1时积分有值我们得出结论:发散,当p>1时积分有值151.无穷积分(2)无穷积分的性质若两个无穷积分与都收敛，则无穷积分也收敛，且其中k1,k2为常数。1.无穷积分(2)无穷积分的性质161.无穷积分(3)无穷积分收敛的充要条件柯西收敛原理:无穷积分收敛的充要条件是:任给ε>0,存在正数A0>a,只要A>A0,A’>A0,便有1.无穷积分(3)无穷积分收敛的充要条件17例.

判断解:由于例.判断解:由于181.无穷积分(4)无穷积分绝对收敛与条件收敛的定义若收敛，则称绝对收敛；若收敛，但发散，则称

条件收敛。命题:若收敛,则也收敛。1.无穷积分(4)无穷积分绝对收敛与条件收敛的定义19xy0y=f(x)若积分则称f(x)在[a,+

)上的积分绝对收敛；若积分则称f(x)在[a,+

)上的积分条件收敛.xy0y=f(x)若积分则称f(x)在[a,+)上201.无穷积分(4)无穷积分绝对收敛与条件收敛的定义命题:若收敛,则也收敛。1.无穷积分(4)无穷积分绝对收敛与条件收敛的定义21(5)无穷积分收敛的判别法无穷积分收敛的充要条件引理：若f(x)是[a,+∞)上的非负可积函数，则收敛的充要条件是：对一切A≥a，积分有界。(5)无穷积分收敛的判别法无穷积分收敛的充要条件22高等数学ppt课件-第十一章-广义积分与含参变量的积分23高等数学ppt课件-第十一章-广义积分与含参变量的积分24(5)无穷积分收敛的判别法定理1（比较判别法）:设f(x)与g(x)在[a,+∞)上有定义，且当x≥X≥a时有0≤f(x)≤g(x).又设f(x)与g(x)在任一区间[a,b]上可积，则(1)由收敛可推出也收敛；(2)由发散可推出也发散。(5)无穷积分收敛的判别法定理1（比较判别法）:设f(x)与25高等数学ppt课件-第十一章-广义积分与含参变量的积分26xy0y=g(x)ay=f(x)xy0y=g(x)ay=f(x)27例5.

判断解：由于而由例4知收敛,故由定理1知原积分收敛.有时运用下面比较判别法的极限形式更为方便.例5.判断解：由于而由例4知收敛,故由定理1知原积分28例.

因为

例.因为29(5)无穷积分收敛的判别法推论（比较判别法的极限形式）:设当x≥a

时，f(x)≥0，g(x)≥0，它们在任意区间[a,b]上都可积，且则有以下结论：(1)当0≤k<+∞时,若收敛则收敛；(2)当0<k≤+∞时,若发散则发散。当0<k<+∞时,两无穷级数同时收敛或同时发散。(5)无穷积分收敛的判别法推论（比较判别法的极限形式）:设当30高等数学ppt课件-第十一章-广义积分与含参变量的积分31高等数学ppt课件-第十一章-广义积分与含参变量的积分32例6.

判断解:由于故由定理2知原积分收敛.例6.判断解:由于故由定理2知原积分收敛.33例7.

判别xy0

2

3

4

5

例7.判别xy0234534解:由于又而收敛,因此原积分绝对收敛.解:由于又而收敛,因此原积分绝对收敛.35例.

判断解:由于例.判断解:由于36例.

判断解:由于例.判断解:由于37例.

判断解:例.判断解:38(5)无穷积分收敛的判别法定理2(狄利克莱判别法):设f(x)与g(x)在[a,+∞)上有定义，并考虑无穷积分设对一切A≥a，积分有界，即存在常数M>0使又设函数g(x)在[a,+∞)上单调且趋于零(当x→+∞时)，则上述无穷积分收敛。(5)无穷积分收敛的判别法定理2(狄利克莱判别法):设f(x39(5)无穷积分收敛的判别法定理3(阿贝尔判别法):设f(x)与g(x)在[a,+∞)上有定义，并考虑无穷积分若无穷积分收敛，且函数g(x)在[a,+∞)

上单调有界，则无穷积分收敛。(5)无穷积分收敛的判别法定理3(阿贝尔判别法):设f(x40高等数学ppt课件-第十一章-广义积分与含参变量的积分41证明:由于又由狄利克莱判别法可知,证明:由于又由狄利克莱判别法可知,42证明:证明:43例.

判断解:由于例.判断解:由于44有另一种形式的广义积分,积分区间可能是有限的但函数可能在区间的某些点无界.比如,考察在x=0有一垂直的渐近线,在曲线、x轴和直线x=0与x=1之间的区域是无界的.xy与前面的广义积分在水平方向趋于无穷大不同,这一区域在垂直方向趋向于无穷大.2.瑕积分有另一种形式的广义积分,积分区间可能是有限的但函数可能在区45x1x1a现在令a0我们可以像前面一样以相同的方式讨论这个广义积分:对比0稍大的a值计算并看一看a从正的方向趋于0(记为a0+)时出现什么情况.x1x1a现在令a0我们可以像前面一样以相同的方式讨论这个46首先我们计算积分现在求极限:由于极限是有限的,我们说广义积分收敛,并且首先我们计算积分现在求极限:由于极限是有限的,我们说广义积47从几何意义上来说,我们已经计算出x=a和x=1之间的有限面积并得到a从右边趋于0时的极限.因为极限存在,我们说积分收敛于2,如果积分不存在,我们就说广义积分发散.x1x1a现在令a0从几何意义上来说,我们已经计算出x=a和x=1之间的有限面积48若

>0,函数f(x)在Û(x0,

)内无界,则称点x0为f(x)的一个瑕点.例如:x=a是若>0,函数f(x)在Û(x0,)内无界,492.瑕积分(1)定义a：设函数f(x)在(a,b]上有定义，且f(x)在任意区间[a+ε,b]上可积,但x→a+0时f(x)无界，我们称a为瑕点。若极限存在，则称瑕积分收敛，并定义否则称瑕积分发散。2.瑕积分(1)定义a：设函数f(x)在(a,b]上有定义502.瑕积分(1)定义b：设函数f(x)在[a,b)上有定义，且f(x)在任意区间[a,b-ε]上可积,但x→b-0时f(x)无界，我们称b为瑕点。若极限存在，则称瑕积分收敛，并定义否则称瑕积分发散。2.瑕积分(1)定义b：设函数f(x)在[a,b)上有定义51解：当p0时,所求积分为通常的定积分,且易求得积分值为a为其积分的瑕点,且例1.解：当p0时,所求积分为通常的定积分,且易求得积分52当p=1时,a为瑕点,且当p=1时,a为瑕点,且53当p>1时,当p>1时,54高等数学ppt课件-第十一章-广义积分与含参变量的积分552.瑕积分(1)定义c：设函数f(x)在(a,b)上有定义，且f(x)在任意区间[a+ε,b-ε]上可积,a与b均为f(x)的瑕点。若极限与都存在，则称瑕积分收敛，并定义若上述两个极限中至少有一个极限不存在，就称瑕积分发散。2.瑕积分(1)定义c：设函数f(x)在(a,b)上有定义56例2.–12xy例2.–12xy57解:有麻烦的点是x=0,而不是x=–1或x=2.为处理这一情况,我们将给定广义积分分为两个新的以x=0为其一个端点的广义积分:–12xy解:有麻烦的点是x=0,而不是x=–1或x=2.为58假如积分收敛,我们现在能够运用前述的技巧来计算新的积分.在这个例子中,两个积分都发散,因为因此,原积分发散.假如积分收敛,我们现在能够运用前述的技巧来计算新的积分.59很容易忽略因为被积函数在区间内部趋于无穷大而使积分为广义积分的情况.比如,说就是一个严重的错误.–12xy很容易忽略因为被积函数在区间内部趋于无穷大而使积分为广义积分60高等数学ppt课件-第十一章-广义积分与含参变量的积分612.瑕积分(2)瑕积分收敛的充要条件柯西收敛原理:以a为瑕点的瑕积分收敛的充要条件是:任给ε>0,存在δ>0,只要0<δ1<δ,0<δ2<δ,便有2.瑕积分(2)瑕积分收敛的充要条件622.瑕积分(3)瑕积分的绝对收敛与条件收敛若瑕积分收敛，则称瑕积分绝对收敛；若瑕积分收敛，但瑕积分发散，则称瑕积分条件收敛。命题:若瑕积分收敛,则也收敛。2.瑕积分(3)瑕积分的绝对收敛与条件收敛632.瑕积分收敛的判别法定理4（比较判别法）:设f(x)与g(x)在(a,b]上有定义，且a是它们的瑕点。设当x∈(a,c)属于(a,b)时有0≤f(x)≤g(x)，则(1)由收敛可推出也收敛；(2)由发散可推出也发散。2.瑕积分收敛的判别法定理4（比较判别法）:设f(x)与g642.瑕积分收敛的判别法推论（比较判别法的极限形式）:若f(x)与g(x)在(a,b]有定义，且f(x)≥0，g(x)≥0，并有则(1)当0≤k<+∞时,若瑕积分收敛则收敛；(2)当0<k≤+∞时,若瑕积分发散则发散。当0<k<+∞时,两瑕积分同时收敛或同时发散。2.瑕积分收敛的判别法推论（比较判别法的极限形式）:若f(65例3.判别积分的敛散性,若其收敛并求其值.解:易知x=0为函数lnsinx在[0,

/2]上的唯一瑕点,故积分a)及b)均收敛.

又因为例3.判别积分的敛散性,若其收敛并求其值.解:易知66另外,作代换从而做变换t=2x另外,作代换从而做变换t=2x67高等数学ppt课件-第十一章-广义积分与含参变量的积分68高等数学ppt课件-第十一章-广义积分与含参变量的积分69高等数学ppt课件-第十一章-广义积分与含参变量的积分70高等数学ppt课件-第十一章-广义积分与含参变量的积分712.瑕积分收敛的判别法定理(狄利克莱判别法):设积分有唯一的瑕点a,是η的有界函数，g(x)单调且当x→a时趋于零，则积分收敛。2.瑕积分收敛的判别法定理(狄利克莱判别法):设积分722.瑕积分收敛的判别法定理(阿贝尔判别法):设积分有唯一的瑕点a,收敛，g(x)单调有界，则积分收敛。2.瑕积分收敛的判别法定理(阿贝尔判别法):设积分73解:

例.解:例.74解:

例.解:例.75解:

例.发散解:例.发散76解:

例.解:例.77的敛散性.解:考虑到例4.的敛散性.解:考虑到例4.78且当s–1<0时,x=0为其瑕点,故该积分为混合型广义积分,进一步有2)当0<s<1时,由于且当s–1<0时,x=0为其瑕点,故该积分为混合793)当s>0时,有3)当s>0时,有80§2含参变量的正常积分含参变量的积分设u=f(x,y)是[a,b]×[c,d]上的一个连续函数，对任意的y∈[c,d],y到积分值的对应形成了[c,d]上的一个函数。§2含参变量的正常积分含参变量的积分81§2含参变量的正常积分1.连续性定理1：设二元函数f(x,y)在闭矩形域[a,b]×[c,d]上连续，则参变量积分在区间[c,d]上连续。即对任意的y0∈[c,d],有§2含参变量的正常积分1.连续性82解:例.解:例.83解:例.下面的例子说明，被积函数的二元连续性是积分运算和极限运算可交换的充分条件。原因在于解:例.下面的例子说明，被积函数的二元连续性原因在于84§2含参变量的正常积分2.可积性定理2：设二元函数f(x,y)在闭矩形域[a,b]×[c,d]上连续，则函数在区间[c,d]上可积。且即§2含参变量的正常积分2.可积性85解:例.解:例.86§2含参变量的正常积分3.可微性定理3：设二元函数f(x,y)

与fy(x,y)

都在闭矩形域[a,b]×[c,d]上连续，则函数在区间[c,d]上可微。且即§2含参变量的正常积分3.可微性87高等数学ppt课件-第十一章-广义积分与含参变量的积分88解:例.解:例.89解:例.解:例.90解:例.解:例.91§2含参变量的正常积分4.积分上下限是参变量的函数的情况考虑参变量积分若f(x,y)在[a,b]×[c,d]上连续,u(y),v(y)在[c,d]上连续,且值域包含于[a,b]之内,则g(y)在[c,d]上连续并可积。若f(x,y)及fy(x,y)在[a,b]×[c,d]上均连续,u(y),v(y)在[c,d]上可导，且值域包含于[a,b]之内,则g(y)在[c,d]上可导,并有§2含参变量的正常积分4.积分上下限是参变量的函数的情况92高等数学ppt课件-第十一章-广义积分与含参变量的积分93解:例4.解:例4.94§3含参变量的广义积分1.含参变量的无穷积分(1)无穷积分点点收敛设二元函数f(x,y)在a≤x<+∞,c≤y≤d上有定义。若对任意取定的一个y,无穷积分都收敛，则称无穷积分在[c,d]上点点收敛。§3含参变量的广义积分1.含参变量的无穷积分95(2)含参变量的无穷积分:(2)含参变量的无穷积分:96高等数学ppt课件-第十一章-广义积分与含参变量的积分97高等数学ppt课件-第十一章-广义积分与含参变量的积分98高等数学ppt课件-第十一章-广义积分与含参变量的积分99§3含参变量的广义积分(2)含参变量的无穷积分在y=y0收敛，即指存在，记为

ε-N语言：对任意ε>0,存在N(依赖ε和

y0),当A>N时，§3含参变量的广义积分(2)含参变量的无穷积分100§3含参变量的广义积分(3)含参变量无穷积分一致收敛定义：设无穷积分对于区间Y中的一切y都收敛(Y可以是开区间，闭区间，半开半闭区间或无穷区间)。若对任给ε>0，存在一个与y无关的实数N>a，使当A>N时，对一切y∈Y，都有则称含参变量的无穷积分在Y上一致收敛。§3含参变量的广义积分(3)含参变量无穷积分一致收敛101§3含参变量的广义积分(4)无穷积分一致收敛的几何意义(5)无穷积分不一致收敛的充分条件命题：设含参变量的无穷积分在Y上点点收敛。若存在常数l>0,不论N多么大,总存在A>N及yA∈Y，使则无穷积分在Y上不一致收敛。§3含参变量的广义积分(4)无穷积分一致收敛的几何意义102解:例.解:例.103解:例.解:例.104解:例.解:例.105§3含参变量的广义积分(5)无穷积分一致收敛的充要条件柯西收敛准则:无穷积分在区间Y上一致收敛的充要条件是:对任给ε>0,存在与y无关的实数N，使当A>N,A’>N时，对一切y∈Y,都有§3含参变量的广义积分(5)无穷积分一致收敛的充要条件106(6)无穷积分一致收敛的M判别法定理1（比较判别法）:设当

y∈Y时，对任意A>a,函数f(x,y)关于x在区间[a,A]上可积。又当x≥a时，对一切y∈Y，有且无穷积分收敛，则含参变量积分在Y上一致收敛。(6)无穷积分一致收敛的M判别法定理1（比较判别法）:设当107高等数学ppt课件-第十一章-广义积分与含参变量的积分108证明:例.证明:例.109(7)无穷积分一致收敛的狄利克莱判别法定理2(狄利克莱判别法)若函数f(x,y)与g(x,y)满足：(1)当x充分大后g(x,y)是x的单调函数(y∈Y),且当x→+∞时，对

y∈Y，g(x,y)一致趋于0;(2)对任意A>a，积分存在且对y∈Y一致有界，即存在常数M，使对任意A>a及一切

y∈Y，都有则含参变量无穷积分在Y上一致收敛。(7)无穷积分一致收敛的狄利克莱判别法定理2(狄利克莱判别法110(8)无穷积分一致收敛的阿贝尔判别法定理3(阿贝尔判别法):若函数f(x,y)与g(x,y)满足：(1)当x充分大后g(x,y)是x的单调函数(y∈Y),且对y∈Y一致有界，即存在常数M，使当x∈[a,+∞)，y∈Y时，有(2)在Y上一致收敛。则含参变量无穷积分在Y上一致收敛。(8)无穷积分一致收敛的阿贝尔判别法定理3(阿贝尔判别法):111证明:例.证明:例.112(9)含参变量无穷积分的连续性和可积性定理4：设函数f(x,y)在区域[a,+∞)×[c,d]上连续，且积分在[c,d]上一致收敛，则(1)g(y)在[c,d]上连续；(2)g(y)在[c,d]上可积，且(9)含参变量无穷积分的连续性和可积性定理4：设函数f(x,113例.例.114例.例.115(10)含参变量无穷积分的可微性定理5：设函数f(x,y)及

在区域[a,+∞)×[c,d]上连续，且积分在[c,d]上点点收敛。又设积分在[c,d]上一致收敛，则含参变量积分g(y)在[c,d]上可导，且(10)含参变量无穷积分的可微性定理5：设函数f(x,y)及116高等数学ppt课件-第十一章-广义积分与含参变量的积分117高等数学ppt课件-第十一章-广义积分与含参变量的积分118高等数学ppt课件-第十一章-广义积分与含参变量的积分119高等数学ppt课件-第十一章-广义积分与含参变量的积分120高等数学ppt课件-第十一章-广义积分与含参变量的积分121高等数学ppt课件-第十一章-广义积分与含参变量的积分122例.例.123(11)两个累次无穷积分可交换积分次序的充分条件定理6：设函数f(x,y)在区域[a,+∞)×[c,+∞)上连续。又设两个参变量积分分别关于y及x在任意有穷区间[c,d]及[a,b]上一致收敛，并且两积分中至少有一个存在，则两积分都存在且相等，即亦即可交换积分次序。(11)两个累次无穷积分可交换积分次序的充分条件定理6：设函124定理6‘：设函数f(x,y)在区域[a,+∞)×[c,+∞)上二元连续。又分别关于y及x在任意有穷区间[c+ε,d]及[a+ε,b]上一致收敛，且中至少有一个存在，则(11)两个累次无穷瑕积分可交换积分次序的充分条件定理6‘：设函数f(x,y)在区域[a,+∞)×[c,+125例.例.126例.例.1272.含参变量的瑕积分(1)定义：设函数f(x,y)在(a,b]×Y(区间)上有定义，且在[a+ε,b]×Y上连续,这里ε是任意充分小的数。此外对任意固定的y∈Y，f(x,y)作为x的函数在x=a点附近无界，即a为瑕点。则称是一个以a为瑕点的含参变量的瑕积分。2.含参变量的瑕积分(1)定义：设函数f(x,y)在(a,1282.含参变量的瑕积分(2)一致收敛的定义定义：设含参变量的瑕积分在Y上点点收敛。若对任给ε>0，存在与y无关的正数δ0，使得当0<δ<δ0时，对一切y∈Y，都有则称该含参变量的瑕积分在Y上一致收敛。2.含参变量的瑕积分(2)一致收敛的定义1292.含参变量的瑕积分(3)一致收敛的充要条件柯西收敛原理:以a为瑕点的瑕积分一致收敛的充要条件是:任给ε>0,存在与y无关的δ>0,只要0<δ1<δ,0<δ2<δ,对一切y∈Y，都有2.含参变量的瑕积分(3)一致收敛的充要条件130(4)含参变量的瑕积分一致收敛的M判别法定理7:设函数f(x,y)在(a,b]×Y(区间)上连续，且对于任意的y∈Y，f(x,y)以a为瑕点。又设f(x,y)在(a,b]×Y上满足下列条件：其中g(x)是定义在(a,b]上的连续函数,且使得瑕积分收敛，则瑕积分在Y上一致收敛。(4)含参变量的瑕积分一致收敛的M判别法定理7:设函数f(x1312.含参变量的瑕积分(5)含参变量的瑕积分收敛的狄利克莱判别法(6)含参变量的瑕积分收敛的阿贝尔判别法(7)含参变量的瑕积分的连续性和可积性定理8:设函数f(x,y)在(a,b]×[c,d]连续，且含参变量的瑕积分在[c,d]上一致连续，则(1)

g(y)在区间[c,d]上连续；(2)

g(y)在[c,d]上可积，且2.含参变量的瑕积分(5)含参变量的瑕积分收敛的狄利克莱判别1322.含参变量的瑕积分(8)含参变量的瑕积分的可导性定理9：设函数f(x,y)

与fy(x,y)

都在区域(a,b]×[c,d]上连续，瑕积分在区间[c,d]上点点收敛，而瑕积分在[c,d]上一致收敛，则含参变量的瑕积分g(y)在[c,d]上可导，且2.含参变量的瑕积分(8)含参变量的瑕积分的可导性133高等数学ppt课件-第十一章-广义积分与含参变量的积分134高等数学ppt课件-第十一章-广义积分与含参变量的